圖(3)

然后對(duì)此圖作以下幾個(gè)步驟的處理與分析：

第一步：在保持原圖的所有點(diǎn)與連線的基礎(chǔ)下，再將原圖中尚未相連但卻能夠相連的各點(diǎn)兩兩之間盡可能多地連接起來(lái)，(應(yīng)注意不再增加新的著色點(diǎn)，而僅僅增加連線)直至成為“三角剖分圖”為止。由前面定理5可知這樣處理之后新圖的著色數(shù)不會(huì)比原圖減少，這一步稱之為“添線”。

第二步：任取圖內(nèi)某一個(gè)“圈內(nèi)點(diǎn)”及圍繞這點(diǎn)的“最小圈”進(jìn)行分析。例如我們?nèi)〉倪@個(gè)“圈內(nèi)點(diǎn)”為V

，且在“添線”時(shí)我們已經(jīng)連接了V 與V 及V 與V ，并且還連接了V 與V 及V

與V …已經(jīng)把原圖變成了一個(gè)“三角剖分圖”這時(shí)V 的“最小圈”就是V —V

—V —V —V —V

。對(duì)于這個(gè)“局部圖形”進(jìn)行著色調(diào)整與分析。根據(jù)定理4，我們可以把V

的最小“點(diǎn)外圈”安排第一、第二、第三種顏色進(jìn)行著色。把V

安排為第四種顏色進(jìn)行著色。若然后再給所有“圈外的點(diǎn)”都著上顏色，由假設(shè)可知其“著色數(shù)”X(G)≧5，但由前面的“公理2”和“公理3”可知“圈內(nèi)點(diǎn)”與“圈外點(diǎn)”不可能直達(dá)，故可以把V

這點(diǎn)的著色由原來(lái)安排的第四種顏色調(diào)整為第五種顏色，再由定義5可知若這時(shí)把V

這點(diǎn)連同V

直接相連的所有連線都去掉。這樣做也并不會(huì)減少原圖的“著色數(shù)”。(因?yàn)閂

這點(diǎn)是被它的四周的“最小圈”阻斷隔絕在圈內(nèi)的，它與“圈外點(diǎn)”的著色是無(wú)關(guān)的。如果說(shuō)這樣做減少了原圖的著色數(shù)，例如“著色數(shù)”從五減少為四，則說(shuō)明原圖的“著色數(shù)”本來(lái)就應(yīng)該是四。)這一步稱之為“去點(diǎn)”與“去線”。(這時(shí)的V

點(diǎn)是“著色可省略點(diǎn)”，而V

點(diǎn)既然已經(jīng)去掉，則與它直接相連的各條線，也就自然沒(méi)有存在的必要了。因?yàn)楸疚牟捎玫氖屈c(diǎn)著色的方法。)

第三步：反復(fù)對(duì)圖中其它各“圈內(nèi)點(diǎn)”作第一步的“添線”或第二步的“去點(diǎn)”與“去線”，(可交替或不交替地使用)直至對(duì)圖中的任何一點(diǎn)來(lái)說(shuō)都再也沒(méi)有“圈內(nèi)點(diǎn)”可去了為止。最終使它成為一個(gè)“三角剖分圖”。因?yàn)椤包c(diǎn)”在一個(gè)又一個(gè)地減少，且“圈內(nèi)點(diǎn)”與“圈外點(diǎn)”是相對(duì)而言的。所以最終的結(jié)果只能如圖(1)或圖(2)，即得到只有一個(gè)“圈”且圈內(nèi)只有一個(gè)點(diǎn)的圖(這時(shí)“圈內(nèi)點(diǎn)”與“圈上點(diǎn)”相連)或一個(gè)只有“圈上點(diǎn)”的“三角剖分圖”。但這時(shí)的“著色數(shù)”X(G)≤4。這顯然與開(kāi)始的假設(shè)X(G)≥5相矛盾，所以一開(kāi)始的假設(shè)X(G)≥5是錯(cuò)誤的。故在“球面”或“平面”上的著色數(shù)有X(G)≤4成立。證明完。

為了便于讀者更好地理解這一證明，讀者可以多自選一些圖形，由簡(jiǎn)單到復(fù)雜，按照本文中所提供的方法(即證明中的三個(gè)步驟)進(jìn)行反復(fù)試驗(yàn)和思考，便能夠悟出本證明其中的無(wú)比奧妙和正確性。

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的四色定理已利用计算机证明,四色定理的一证明过程的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問(wèn)題。

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