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我們上上期講了用焦點、準線的方式定義橢圓，本期將介紹如何根據這個定義用數學軟件畫橢圓。然后還將講解幾條與橢圓有關的平面幾何性質。相關性質很多，我們可能會分很多期逐步介紹。

今天這篇篇幅有些長，但內容確實豐富，份量很重。所以，收獲一定也會很豐厚。

(一)橢圓作圖

如下圖所示。先畫一條直線n，我們稱其為軸或軸線；再畫一條與軸垂直的直線l，我們把它當做準線。在準線右側軸上取一點F，我們把它當做焦點。

設準線與軸的交點為N。在線段NF上取一點A。讓點A位于線段NF中點的右側即靠近焦點的一側。則AF/NA<1。這個值就是離心率e。在軸上點A的右側取點E。過E作軸的垂線m。測得線段NE的長度，用它乘以離心率e得一數r(其實就是已知成比例的四項中的三項求第四項，這是可以通過尺規作圖法作出的)。以所得之數r為半徑，以點F為圓心作一個圓，這個圓與垂線m交于兩點P和P'。讓點E運動，則點P和P'就描繪出橢圓。見下面的動畫。

(二)橢圓的一條重要基本性質

下面介紹橢圓的一條重要且基本的性質，它是后面所講其他性質的基礎。如下圖所示。P、Q是橢圓上任何兩點，連接PQ并延長與準線交于點R。連接焦點F與P和Q，得線段FP和FQ。再連接FR。則FR為三角形PFQ角F的外角∠QFR'的平分線，即∠1=∠2。

證明：

(1)分別過點P和Q作準線l的垂線，設垂足分別為M和M'。于是，根據橢圓焦點、準線的定義，FQ/M'Q=FP/MP，即FQ/FP?=?M'Q/MP。又因為三角形RQM'與三角形RPM相似，所以M'Q/MP?=?RQ/RP。所以由這兩個比式，得出：

FQ?/?FP?=?RQ?/?RP

(2)如下圖所示。以F為圓以，以FQ為半徑作圓，與FP交于點S。連接QS。所以FQ=FS。代入上面所得的比例式，得：

FS?/?FP?=?RQ?/?RP

這說明

三角形PQS 與 三角形PRF 相似

所以

QS ∥ RF

從而有

∠1 = ∠3，?∠2 = ∠4

而三角形FQS為等腰三角形(因為FQ=FS)，所以

∠3=∠4

所以

∠1=∠2

即FR平分∠QFR'

(三)焦點弦的相關性質(1)

如下圖所示。PP'為橢圓的焦點弦(過焦點的弦)。連接PN和P'N。則軸線平分角PNP'。

證明：

如下圖所示。如果P與P'兩點關于軸是對稱的點，那么顯然角PNP'被軸線所平分。下面不妨設FP>FP'。在橢圓上找到點P'關于軸線對稱的點Q。連接PQ，并延長，與準線相交于點N'。那么，由上一條所講的性質，FN' 平分∠QFP'。因點Q和P'關于軸線對稱，所以，過焦點F且平分角QFP'的直線就是軸線。所以，點N'就是點N。PN'就是PN。再次利用點Q與點P'關于軸線對稱這一條件，就得到

∠QNF?=?∠P'NF(圖中紅色角=藍色角)

即軸線n平分角PNP'。也就是說，分別連接焦點弦兩個端點與點N所得到的兩條線段，它們構成的夾角被軸線所平分。即n平分∠QNP' 。也可以說，若把準線設想為一個與橢圓所在面垂直的平面鏡，那么，從焦點弦一個端點發出的光，照射到準線與軸線的交點后，經鏡面反射，光線一定會照射到焦點弦的另一個端點。

(四)焦點弦的相關性質(2)

PP'為橢圓的焦點弦。焦點為F，橢圓靠近準線的頂點為A。連接PA并延長，與準線交于點R;?連接P'A并延長，與準線交于點R'。連接FR，連接FR'。則三角形RFR'為直角三角形，其中直角位于點F處。

證明不難。仍然是利用前面那個基本性質。用兩次。FR和FR'分別是三角形PAF和P'AF在點F處的外角平分線。觀察圖形，相信您自己應該能看出來的。

另外，觀察上圖，問您，R'，P，A'這三點共線吧？答案是共線，因為FR'也是三角形FPA'角F處外角的平分線。同理，R，P'，A'這三點也共線。所以，我們有一個推論：焦點弦一端點和橢圓一頂點的連線與焦點弦另一端點和橢圓另一頂點的連線在準線上交匯。

(五)

有橢圓的兩條弦PQ和P'Q，它們有一個公共端點Q。分別延長PQ和P'Q，與準線分別交于點R和R'。連接FR，連接FR'。則有下面的角的關系成立：

∠PFP'?= 2∠RFR' (∠α?= 2∠β?)

證明：也很簡單。延長PF與準線交于點S；延長P'F與準線交于點S'。于是有

∠α??= ∠PFP'?

? ? ? ?= ∠3?+∠4(對頂角相等)

? ? ? ?= ∠3?+(∠1+∠2+∠3?)(因為FR平分∠QFS?)

? ? ? ?= 2∠3?+(∠1+∠2?)

? ? ? ?=?2∠3?+?2∠2(因為FR'平分∠QFS'，有∠1=∠2)

? ? ? ?=?2(∠3?+ ∠2)

? ? ? ?= 2∠β?

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相信看到這里的您，一定收獲不小！那就給點個“好看“吧。

總結

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