定義

支配樹(shù)一般用來(lái)求有向圖必經(jīng)點(diǎn)問(wèn)題，
即：給定起點(diǎn)S，問(wèn)對(duì)于每個(gè)點(diǎn)i，S到i的必經(jīng)點(diǎn)有哪些；

點(diǎn)i在支配樹(shù)上父親就是距離它最近的必經(jīng)點(diǎn)，
顯然的，必經(jīng)點(diǎn)是具有一定傳遞性的，所以對(duì)于點(diǎn)i，S到i的所有必經(jīng)點(diǎn)，就是支配樹(shù)上i到根的路徑上的所有點(diǎn)。

建樹(shù)

首先，對(duì)于一棵樹(shù)，它的支配樹(shù)就是它本身；

對(duì)于一個(gè)DAG，它的支配樹(shù)也很好求，
先排拓?fù)湫?#xff0c;對(duì)于點(diǎn)i，它在支配樹(shù)上的父親就是所有能到達(dá)它的點(diǎn)在支配樹(shù)上的LCA，這個(gè)挺好理解的，

那么對(duì)于一般的有向圖呢?

先定義一些東西：dfn[x]表示x這個(gè)點(diǎn)的dfs序，

定義點(diǎn)y是點(diǎn)x的半支配點(diǎn)，當(dāng)且僅當(dāng)存在一條從y到x的路徑$y,v_1,v_2,v_3....,v_k,x$，滿足$dfn[v_i]>dfn[x](1\le i\le k)$，這條路徑就叫它支配路徑好了（捂臉）；
設(shè)semi[x]表示x的所有半支配點(diǎn)中，dfn最小的那個(gè)； 顯然最小的是唯一的
（顯然的，每個(gè)點(diǎn)semi至少是它在dfs樹(shù)上的父親）
定義idom[x]表示點(diǎn)x在支配樹(shù)上的父親（距離x最近的必經(jīng)點(diǎn)）

通過(guò)定義可以得出一個(gè)結(jié)論：
結(jié)論1：刪除原圖中的非樹(shù)邊（dfs樹(shù)），再添加邊(semi[x],x)，支配樹(shù)依舊不變。

證明：
我們考慮對(duì)于每個(gè)點(diǎn)x，刪除它的其他入邊并加上(semi[x],x)后，對(duì)全局的影響，
對(duì)于一個(gè)點(diǎn)，它的入邊分成3類(lèi)：

樹(shù)邊

父親連過(guò)來(lái)(dfn小于當(dāng)前點(diǎn))

后代/橫叉邊(dfn大于當(dāng)前點(diǎn))

第一種邊得到了直接的保留，不用管，

對(duì)于第二種，第三種邊，這些邊存在的意義就是提供一條路徑，使得不經(jīng)過(guò) x到根路徑上的樹(shù)邊 也能從x的某一個(gè)祖先走過(guò)來(lái)，
而又因?yàn)槿绻鹹在semi[x]到x在dfs樹(shù)的路徑上（不含semi[x]），那么y一定不是x的必經(jīng)點(diǎn)，也就是只要semi[x]提供了路徑就夠了，其他y沒(méi)有必要再提供，

有了這個(gè)結(jié)論就可以把一般圖轉(zhuǎn)為DAG再用上面的方法了，復(fù)雜度：$O(n\log (n))$

要注意：semi不等于idom，通過(guò)semi我們只能確認(rèn)idom一定不再semi[x]~x這段樹(shù)上路徑(不含semi[x])上，對(duì)于idom是否等于semi還需要分類(lèi)討論。

關(guān)于semi怎么求請(qǐng)繼續(xù)往下看

---

接下來(lái)是$O(n)$的方法
既然我們都把semi求出來(lái)了，考慮如何用semi推出idom，

有一個(gè)顯然的結(jié)論：
結(jié)論2：對(duì)于點(diǎn)x，它到idom[x]的dfs樹(shù)上路徑中，一定不存在在路徑上的點(diǎn)y，使得 dfn[idom[y]]<dfn[idom[x]]；

由此可以比較自然的再拋出一個(gè)結(jié)論：
結(jié)論3：設(shè)y為semi[x]~x樹(shù)上路徑上(不含semi[x])，dfn[idom[y]]最小的點(diǎn)，則idom[x]=(dfn[semi[x]]<dfn[idom[y]])?semi[x]:idom[y];
這個(gè)證明挺顯然的，因?yàn)橐呀?jīng)轉(zhuǎn)成DAG了，歸納即可；

這個(gè)東西同理得：semi[y]是路徑上所有的semi中dfn最小的；

這樣我們就可以在得知semi后快速求出idom；

---

那么現(xiàn)在問(wèn)題來(lái)了，怎么求出semi？

我們?cè)O(shè)$bes{t}_x$表示點(diǎn)x的入邊中，出發(fā)點(diǎn)dfn最小的點(diǎn)，（直接連向x的點(diǎn)中dfn最小的）

按dfn排序從大到小做，
我們做的過(guò)程相當(dāng)于每次加入一個(gè)點(diǎn)x，dfn[x]一定是當(dāng)前全局最小的，相當(dāng)于加入了一個(gè)子樹(shù)根，
（下面為了方便表示用min表示“取dfn最小的點(diǎn)”）
那么$semi[x]=\min \{best[y](y可以到達(dá)x)\}$（注意這里只能走已經(jīng)加入了的點(diǎn)）
同樣的$semi[x]=\min \{semi[y](y可以到達(dá)x)\}$
同樣的$semi[x]=\min \{semi[y](y可以只經(jīng)過(guò)一條樹(shù)邊到達(dá)x)\}$

也就是說(shuō)，我們每加入一個(gè)新點(diǎn)x，設(shè)y為可以通過(guò)返祖邊直接到達(dá)x的點(diǎn)，z為y~x樹(shù)上路徑上的點(diǎn)，則$semi[x]=\min \{semi[z]\}$

這個(gè)可以通過(guò)帶權(quán)并查集，利用其路徑壓縮的特性來(lái)做，（壓縮每個(gè)點(diǎn)到當(dāng)前根的路徑）

求出了semi那怎么求idom呢，
我們只需要找到x~semi[x]的路徑上（不含semi[x]）semi的dfn最小的點(diǎn)即可，

這個(gè)相當(dāng)于詢問(wèn)一條祖先后代鏈上權(quán)值最小的點(diǎn)是哪個(gè)，
和上面一樣的方案，只不過(guò)主體反過(guò)來(lái)了，我們把詢問(wèn)掛到dfn較小的那個(gè)點(diǎn)上，每次依舊是用帶權(quán)并查集維護(hù)，

Code

這里給出的是CodeChef上GRAPHCNT這一題的標(biāo)，
這題就是個(gè)版子題。

#include <cstdio> #include <algorithm> #include <iostream> #define fo(i,a,b) for(int i=a;i<=b;++i) #define fod(i,a,b) for(int i=a;i>=b;--i) #define efo(i,q,I) for(int i=A[I][q];i;i=B[i][0]) #define min(q,w) ((q)>(w)?(w):(q)) #define max(q,w) ((q)<(w)?(w):(q)) using namespace std; typedef long long LL; const int N=200500; int read(int &n) {char ch=' ';int q=0,w=1;for(;(ch!='-')&&((ch<'0')||(ch>'9'));ch=getchar());if(ch=='-')w=-1,ch=getchar();for(;ch>='0' && ch<='9';ch=getchar())q=q*10+ch-48;n=q*w;return n; } int m,n; LL ans; int B[15*N][2],A[4][N],B0; int dfn[N],dfn0,Dzx[N],Fa[N]; int g[N],gv[N]; int semi[N],idom[N]; bool z[N]; int gf(int q){return g[q]==q?q:(gf(g[q]),(gv[q]=(dfn[semi[gv[g[q]]]]<dfn[semi[gv[q]]])?gv[g[q]]:gv[q]),g[q]=g[g[q]]);} void link(int q,int w,int I) {B[++B0][0]=A[I][q],A[I][q]=B0,B[B0][1]=w; } void tarjan(int q) {z[q]=1;Dzx[dfn[q]=++dfn0]=q;efo(i,q,0){if(!z[B[i][1]])tarjan(B[i][1]),Fa[B[i][1]]=q;if(dfn[semi[B[i][1]]]>dfn[q])semi[B[i][1]]=q;} } void Gsemi() {fo(i,1,n)g[i]=gv[i]=i;fod(I,dfn0,1){int q=Dzx[I];efo(i,q,1)if(dfn[B[i][1]]>dfn[q]){gf(B[i][1]);if(dfn[semi[gv[B[i][1]]]]<dfn[semi[q]])semi[q]=semi[gv[B[i][1]]];}gv[q]=q;link(semi[q],q,2);efo(i,q,2)if((gf(B[i][1]),semi[gv[B[i][1]]])==q)idom[B[i][1]]=q;else idom[B[i][1]]=gv[B[i][1]];efo(i,q,0)if(dfn[B[i][1]]>dfn[q]&&g[B[i][1]]==B[i][1])g[B[i][1]]=q;}fo(i,2,dfn0){int q=Dzx[i];if(idom[q]!=semi[q])idom[q]=idom[idom[q]];} } int Si[N]; int dfs(int q,int fa) {Si[q]=1;efo(i,q,3)if(B[i][1]!=fa)Si[q]+=dfs(B[i][1],q);return Si[q]; } int main() {int q,w;read(n),read(m);fo(i,1,m)read(q),read(w),link(q,w,0),link(w,q,1);fo(i,1,n)semi[i]=i;tarjan(1);Gsemi();idom[1]=0;fo(i,1,n)if(idom[i])link(idom[i],i,3);dfs(1,0);ans=q=0;efo(i,1,3){ans+=(LL)q*Si[B[i][1]];q+=Si[B[i][1]];}printf("%lld\n",ans+Si[1]-1);return 0; }

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的【图论】支配树的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問(wèn)題。

如果覺(jué)得生活随笔網(wǎng)站內(nèi)容還不錯(cuò)，歡迎將生活随笔推薦給好友。