文章目錄

• • 引言 抽象代數概述
  • 概念部分
  • • 1.集合上的n元運算（定義）
    • 2.運算封閉性（定義）
    • 3.代數系統（定義）
    • 4.運算表（相關概念）
    • 5.同類型代數系統（定義）
  • 題型
  • • 附錄：相關概念介紹

引言 抽象代數概述

• 代數是數學的一門分支，大致可以分為初等代數學和抽象代數學兩部分。
• 初等代數學是指19世紀上半葉以前發展的方程理論，主要研究某一方程是否可以求解以及如何求出方程所有的根，以及方程的根有何性質等問題。
• 抽象代數也稱為近世代數，產生于19世紀。一般認為法國數學家伽羅瓦是近世代數的創始人，因為他使得代數學作為解方程的科學轉變為研究代數運算結構的科學。

概念部分

1.集合上的n元運算（定義）

定義：對于一個非空集合，從中取n個元素進行映射，映射的結果為該集合中的唯一一個元素。

要求：能夠判斷某運算是否是某一集合的n元運算：
首先判斷集合是否為空集，接著判斷其n個元素和映射結果是否都屬于該集合。

示例（集合上的一元運算）：

示例（集合上的二元運算）：

2.運算封閉性（定義）

定義：如果運算結果仍然和參與運算的運算數在相同的一個集合中則稱該運算具有封閉性，簡稱閉運算。某一運算對于某一個集合滿足封閉性是該運算是該集合上的n元運算的必要條件。

要求：能夠判斷某一集合上的某一運算是否滿足封閉性。
運算結果和運算數都屬于同一個集合時才滿足封閉性。

運算封閉性示例：

3.代數系統（定義）

定義：一個由非空集合和定義在該集合上的所有運算所構成的整體。

要求：能夠理解，并能根據題意列出運算表。

代數系統示例：

4.運算表（相關概念）

定義：表示一元或二元運算的結果的二維表格。

要求：能夠看懂運算表并進行分析。

示例（一元運算表和二元運算表）：

5.同類型代數系統（定義）

定義：同類型代數系統需要滿足三個條件：兩個代數系統的運算個數相同，對應運算的運算數個數也相同，并且代數常數的個數相同。

要求：能夠判斷兩個代數系統是否同類型。

題型

1.Mn ( R ) 上定義一個一元運算可以是？

解析：概念題，考察集合上的運算的概念。
Mn( R )表示n階實矩陣，其上的一個一元運算可以是轉置、每個元素取相反數等等，這些運算的運算結果仍然屬于n階實矩陣集合。但是不能是求逆運算，因為求逆運算要求這個n階實矩陣的行列式不為零，所以對于一個行列式為零的n階實矩陣，其求逆運算的結果并不屬于n階實矩陣集合中。

2.設B={1,2}，寫出P(B)上的對稱差二元運算表和~運算的運算表

解析：簡單理解題，考察作運算表的方法。
P(B)表示的是B的冪集，即由B的子集構成的集合，所以本題中P(B)即為{{},{1},{2},{1,2}}。二元運算表中行號表示左運算數，列號表示右運算數，相應的矩陣內填寫運算結果；一元運算表的行號表示運算元素。
本題的結果如下所示：

3.下面三個代數系統是同種類代數系統的是（）

解析：概念題，考察同種類代數系統的概念。
同種類代數系統要求代數系統的運算個數相同、代數常數的個數相同并且對應運算的運算數相同，進行逐一檢驗即可。本題中三個代數系統的運算個數相同，均為3個；代數常數的個數相同，均為2個；但是對應運算的元數不同（V3中補集運算是一元運算），因此只有V1和V2是同種類代數系統，而V3不是同種類代數系統。

4.以下哪些運算是不封閉的（）

解析：簡單理解題，考察運算封閉性的概念。
自然數相減可能是負數，不滿足封閉性；整數相除可能是小數，不滿足封閉性；C選項中的運算實際上是求出兩個數之間的質數個數，運算結果可能為0，0不在集合A中，不滿足封閉性，因此答案為ABC。

5.設A={1,2,3…10}，則下面哪些二元運算*是封閉的（）

解析：簡單理解題，考察運算封閉性的概念。
兩個數的最大值或最小值自然屬于這兩個數的集合，滿足封閉性；最大公約數一定屬于該集合，滿足封閉性；最小公倍數不一定屬于該集合，如9和10的最小公倍數90。因此本題的答案為ABC。

6.對于運算+ - * |x-y| max min |x|，下列哪些集合對于該運算封閉？

解析：簡單理解題，考察運算封閉性的概念。
①對于加法運算，整數加法、自然數加法、偶數加法都屬于原有集合，但是對于CD集合不成立，選項為ABE；
②對于減法運算，整數減法和偶數減法都屬于原有集合，但是對于自然數和CD集合均不一定成立，因此選項為AE；
③對于乘法運算，整數乘法、自然數乘法、偶數乘法都屬于原有集合，但是對于CD集合均不一定成立，因此選項為ABE；
④對于絕對值相減的運算，整數集合、自然數集合、C選項集合和偶數集合都滿足封閉性，但是D選項集合不滿足，因此選項為ABCE；
⑤對于最大值最小值運算，所有集合均滿足封閉性，選項為ABCDE；
⑥對于絕對值運算，所有集合均滿足封閉性，選項為ABCDE。

附錄：相關概念介紹

映射：映射是指兩個非空集合之間的對應關系。對于其中一個集合中的任意一個元素，在另一個集合中都存在唯一一個元素與之對應，這種關系稱為映射。

Mn( R )：這是n階實矩陣的表示符號。

+n（n為下標）：表示模n加法。

GCD和LCM：GCD表示求最大公約數；LCM表示求最小公倍數。

本系列的下一篇文章為：第二章：二元運算性質

總結

以上是生活随笔為你收集整理的近世代数 笔记和题型连载：第一章（代数系统引入）的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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