根軌跡分析法

• 概述
• 根軌跡的概念
• 根軌跡的繪制
• • 基本規(guī)則和步驟
  • • 特征方程、確定根軌跡的方向、起點和終點
    • 根軌跡的分支數(shù)
    • 根軌跡的連續(xù)性和對稱性
    • 實軸上根軌跡的分布
    • 根軌跡的漸近線
    • 根軌跡的分離、會合點
    • 根軌跡與虛軸的交點
    • 根軌跡的入射角和出射角
    • 閉環(huán)極點之和（非重點）
    • 閉環(huán)極點之積（非重點）
• 廣義根軌跡的繪制
• • 參變量根軌跡的繪制
• 正反饋系統(tǒng)根軌跡的繪制
• 控制系統(tǒng)的根軌跡分析
• • s平面上的三種規(guī)律
  • 開環(huán)零極點對根軌跡的影響
  • • 增加開環(huán)零點對根軌跡的影響
    • 增加開環(huán)極點對根軌跡的影響
  • 閉環(huán)零點、極點對系統(tǒng)瞬態(tài)性能的影響

概述

自動控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性完全由閉環(huán)特征方程的根（閉環(huán)極點）決定。而系統(tǒng)瞬態(tài)響應的基本性能則取決于閉環(huán)傳遞函數(shù)的極點和零點的分布。
1948年，伊文思（W.R.Evans）提出了一種求解特征方程根變化規(guī)律的簡單方法 -----根軌跡法 。

根軌跡的概念

（1）解析法繪制根軌跡
計算出閉環(huán)特征方程的根，當參數(shù)K從零變?yōu)闊o窮大時閉環(huán)特征跟在復平面上描繪出若干曲線（根軌跡）。
（2）根軌跡方程

閉環(huán)特征方程：
1+G(s)H(s) = 0 或 G(s)H(s) = -1
通常系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)G(s)H(s)等于系統(tǒng)各環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)
之積，即

幅值方程：
$K^{?}為根軌跡增益$
相角方程：

根軌跡的繪制

基本規(guī)則和步驟

特征方程、確定根軌跡的方向、起點和終點

根軌跡起始于開環(huán)極點，終止于開環(huán)零點。如果開環(huán)零點數(shù)目m小于開環(huán)極點數(shù)目n，則有n-m條根軌跡終止于無窮遠處。

根軌跡的分支數(shù)

每個閉環(huán)特征根的變化軌跡都是整個根軌跡的一個分支，因此根軌跡的分支數(shù)與閉環(huán)特征方程的根的數(shù)目相同。（根軌跡的分支數(shù)等于特征方程的階次，也即開環(huán)零點數(shù)m和開環(huán)極點數(shù)n中的較大者。）

根軌跡的連續(xù)性和對稱性

根軌跡是連續(xù)的，且以實軸為對稱的曲線。

實軸上根軌跡的分布

實軸上屬于根軌跡的部分，其右邊開環(huán)零、極點的個數(shù)之和為奇數(shù)。

根軌跡的漸近線

如果系統(tǒng)的有限開環(huán)零點數(shù)m少于其開環(huán)極點數(shù)n，則當根跡增益K*→∞時，趨向無窮遠處根軌跡的漸近線共有n-m條。
這些漸近線與實軸上的交點坐標為：

與實軸正方向的夾角為

根軌跡的分離、會合點

根軌跡分離點或會合點的坐標，可通過求解方程得到

根軌跡與虛軸的交點

方法一：用$s=j\omega$代入特征方程求解

方法二：根據(jù)系統(tǒng)臨界穩(wěn)定的條件，利用勞斯判據(jù)法求解：
根軌跡與虛軸的交點坐標及臨界根跡增益，可以通過用$s=j\omega$代入系統(tǒng)閉環(huán)特征方程求取，也可用勞斯判據(jù)列表的方法確定。

根軌跡的入射角和出射角

出射角：

入射角：

閉環(huán)極點之和（非重點）

當滿足$(n?m)\ge 2$時，閉環(huán)極點之和等于開環(huán)極點之和。

閉環(huán)極點之積（非重點）

若滿足$(n?m)\ge 2$，且有開環(huán)零點位于原點時，閉環(huán)極點之積等于開環(huán)極點之積。

廣義根軌跡的繪制

以非開環(huán)根跡增益為可變參數(shù)的根歸機軌跡，或非負反饋系統(tǒng)的根軌跡統(tǒng)稱為廣義根軌跡。

參變量根軌跡的繪制

規(guī)則：與常規(guī)根軌跡繪制方法完全相同。
關鍵點：將控制系統(tǒng)的特征方程進行等效變換，求出等效開環(huán)傳遞函數(shù)。

正反饋系統(tǒng)根軌跡的繪制

在正反饋系統(tǒng)根軌跡的繪制規(guī)則中，凡是與幅角條件有關的規(guī)則都要作相應的修改。

實軸上根軌跡的確定：右邊開環(huán)零、極點的個數(shù)為偶數(shù)。

根軌跡的漸近線：在實軸上交點坐標和夾角為

根軌跡的出射角和入射角

控制系統(tǒng)的根軌跡分析

s平面上的三種規(guī)律

開環(huán)零極點對根軌跡的影響

可改變根軌跡的形狀，也可影響控制系統(tǒng)的性能。

增加開環(huán)零點對根軌跡的影響

使根軌跡向s左半平面彎曲或移動，使系統(tǒng)的穩(wěn)定性提高。

增加開環(huán)極點對根軌跡的影響

漸近線的重心將沿實軸向右移動。且-p0數(shù)值愈大，向右移動的距離也愈大。
因此，漸近線將帶動根軌跡向右半s平面彎曲或移動，從而可能引起系統(tǒng)性能惡化。

閉環(huán)零點、極點對系統(tǒng)瞬態(tài)性能的影響

（1）閉環(huán)極點的分布決定了瞬態(tài)響應的類型；
（2）閉環(huán)零點、極點的分布決定了瞬態(tài)響應曲線的形狀及指標；
（3）遠離虛軸的極點（或零點）對瞬態(tài)響應的影響；
（4）閉環(huán)主導極點。反饋系統(tǒng)的零點、極點都影響系統(tǒng)的瞬態(tài)響應，但影響大小是有差別的；
（5）偶極子對瞬態(tài)響應的影響；
（6）閉環(huán)零點對瞬態(tài)響應的影響；
（7）閉環(huán)極點對瞬態(tài)響應的影響。

總結

以上是生活随笔為你收集整理的自动控制原理（四）的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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