插值：求過已知有限個數據點的近似函數。

擬合：已知有限個數據點，求近似函數，不要求過已知數據點，只要求在某種意義下它在這些點上的總偏差最小。

插值和擬合都是要根據一組數據構造一個函數作為近似，由于近似的要求不同，二者的數學方法上是完全不同的。而面對一個實際問題，究竟應該用插值還是擬合，有時容易確定，有時則并不明顯。

插值

1、一維插值函數

y = interp1（x0,y0,x,'method'）mothod指定插值的方法，默認為線性插值 ‘nearest’最近項插值 ‘linear’線性插值 ‘spline’立方樣條插值 ‘cubic’立方插值

2、三次樣條插值

pp = csape（x0,y0,conds,valconds）; y = fnval（pp,x）‘conds’指定邊界條件 ‘complete’邊界為一階導數，一階導數的值在valconds中給出，若忽略valconds，則使用Lagrange邊界條件 ‘not-a-knot’非扭結條件 ‘periodic’周期條件 ‘second’邊界為二階導數，二階導數值在valconds中給出，若忽略valconds，默認值為【0，0】 ‘variational’設置邊界的二階導數值為【0，0】

3.Lagrange 插值

Matlab 中沒有現成的Lagrange 插值函數，必須編寫一個M文件實現Lagrange 插值。設n個節點數據以數組x0, y0輸入（注意 Matlat 的數組下標從 1 開始），m 個插值點以數組x 輸入，輸出數組y 為m 個插值。編寫一個名為lagrange.m 的M 文件：

function y=lagrange(x0,y0,x); n=length(x0);m=length(x); for i=1:mz=x(i);s=0.0;for k=1:np=1.0;for j=1:nif j~=kp=p*(z-x0(j))/(x0(k)-x0(j));endends=p*y0(k)+s;endy(i)=s;end

4.分段線性插值

簡單地說，將每兩個相鄰的節點用直線連起來，如此形成的一條折線就是分段線性插值函數.

y=interp1(x0,y0,x,'method') method 指定插值的方法，默認為線性插值。其值可為： 'nearest' 最近項插值 'linear' 線性插值 'spline' 逐段3 次樣條插值 'cubic' 保凹凸性3 次插值。

所有的插值方法要求 x0 是單調的。當 x0 為等距時可以用快速插值法，使用快速插值法的格式為'*nearest'、'*linear'、
'*spline'、'*cubic'。

例:機床加工
待加工零件的外形根據工藝要求由一組數據(x, y)給出（在平面情況下），用程控銑床加工時每一刀只能沿x 方向和y 方向走非常小的一步，這就需要從已知數據得到加工所要求的步長很小的(x, y)坐標。

表 1 中給出的x, y數據位于機翼斷面的下輪廓線上，假設需要得到x坐標每改變0.1 時的 y坐標。試完成加工所需數據，畫出曲線，并求出x = 0處的曲線斜率和13 ≤ x ≤ 15范圍內 y的最小值。

clc,clear x0=[0 3 5 7 9 11 12 13 14 15]; y0=[0 1.2 1.7 2.0 2.1 2.0 1.8 1.2 1.0 1.6]; x=0:0.1:15; y1=lagrange(x0,y0,x); %調用前面編寫的Lagrange插值函數 y2=interp1(x0,y0,x); y3=interp1(x0,y0,x,'spline'); pp1=csape(x0,y0); y4=ppval(pp1,x); pp2=csape(x0,y0,'second'); y5=ppval(pp2,x); fprintf('比較一下不同插值方法和邊界條件的結果:\n') fprintf('x y1 y2 y3 y4 y5\n') xianshi=[x',y1',y2',y3',y4',y5']; fprintf('%f\t%f\t%f\t%f\t%f\t%f\n',xianshi') subplot(2,2,1), plot(x0,y0,'+',x,y1), title('Lagrange') subplot(2,2,2), plot(x0,y0,'+',x,y2), title('Piecewise linear') subplot(2,2,3), plot(x0,y0,'+',x,y3), title('Spline1') subplot(2,2,4), plot(x0,y0,'+',x,y4), title('Spline2') dyx0=ppval(fnder(pp1),x0(1)) %求x=0處的導數 ytemp=y3(131:151); index=find(ytemp==min(ytemp)); xymin=[x(130+index),ytemp(index)]

拉格朗日插值的結果根本不能應用，分段線性插值的光滑性較差（特別是在x = 14附近彎曲處），建議選用三次樣條插值的結果。

擬合

1.線性最小二乘法

曲線擬合問題的提法是，已知一組（二維）數據，即平面上的n個點( , ) ?i=1,...,n， ?互不相同，尋求一個函數（曲線） y = f (x)，使 f (x)在某種準則下與所有數據點最為接近，即曲線擬合得最好。

例:用最小二乘法求一個形如 y = a + bx2的經驗公式，使它與下表所示的數據擬合。

x=[19 25 31 38 44]'; y=[19.0 32.3 49.0 73.3 97.8]'; r=[ones(5,1),x.^2]; ab=r\y x0=19:0.1:44; y0=ab(1)+ab(2)*x0.^2; plot(x,y,'o',x0,y0,'r')

2.多項式擬合法

如果取{ (x),...,(x)} {1,x,...,} 1 1，即用m 次多項式擬合給定數據，Matlab中有現成的函數

a=polyfit(x0,y0,m)

其中輸入參數x0,y0 為要擬合的數據，m 為擬合多項式的次數，輸出參數a 為擬合多項式y=+…++?系數a=[ , …, , ]。
多項式在x 處的值y 可用下面的函數計算

y=polyval(a,x)。

例:某鄉鎮企業1990-1996 年的生產利潤如下表，試預測1997 年和1998 年的利潤。

x0=[1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996]; y0=[70 122 144 152 174 196 202]; plot(x0,y0,'*')

發現該鄉鎮企業的年生產利潤幾乎直線上升。因此，我們可以用 y =作為擬合函數來預測該鄉鎮企業未來的年利潤。編寫程序如下：

x0=[1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996]; y0=[70 122 144 152 174 196 202]; a=polyfit(x0,y0,1) y97=polyval(a,1997) y98=polyval(a,1998)

求得 ，=?4.0705×，1997，1997 年的生產利潤 y97=233.4286，1998 年的生產利潤y98=253.9286。

3.最小二乘優化
?

總結

以上是生活随笔為你收集整理的数学建模-插值与拟合模型的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

如果覺得生活随笔網站內容還不錯，歡迎將生活随笔推薦給好友。