概述

幾何檢測(cè)主要相交性檢測(cè)，這里的內(nèi)容大體上是根據(jù)《3D數(shù)學(xué)基礎(chǔ)-圖形與游戲開(kāi)發(fā)》這本書來(lái)的，對(duì)于這本書來(lái)說(shuō)，這一部分看完了后面內(nèi)容就不看了，因?yàn)楹竺嬷v的太空泛了，有點(diǎn)像一本絕世武功的目錄一樣，看似很強(qiáng)，其實(shí)沒(méi)什么卵用。

1.2D隱式直線上的最近點(diǎn)

問(wèn)題描述：
直線p * n = d，對(duì)于任意點(diǎn)q，找出直線上距離q最短的點(diǎn)q’

同高中解析幾何簡(jiǎn)單粗暴的公式不同，這里面的算法都是基于向量來(lái)計(jì)算的。
如圖所示，對(duì)于q來(lái)說(shuō)，我們做另一條平行于原直線的直線，p’ * n’ = d’，顯然有q * n = d’
于是兩條直線分別為：
$$p?n=d$$
$$p?n=q?n$$
則其距離為d-q * n，但是我覺(jué)得是不是少除了個(gè)n的模長(zhǎng)，這里的n應(yīng)該是單位向量才正確！
然后交點(diǎn)就為
q’ = q + (d - q * n)n
如果n不是單位向量的話，那么距離應(yīng)該等于
$$\frac{d?q?n}{|n|}$$

2.參數(shù)射線上的最近點(diǎn)

問(wèn)題描述：
參數(shù)射線R：$p(t)=p_{org}+td$
d為單位向量，參數(shù)t在0到l之間變換，l是直線的長(zhǎng)度。對(duì)于定點(diǎn)q，我們想要在射線R上求出距離q最近的點(diǎn)q’.

這個(gè)問(wèn)題的求解要比上面的簡(jiǎn)單一點(diǎn)，本質(zhì)上是一個(gè)向量的投影問(wèn)題。
設(shè)$v=q?p_{org}$,則$v?d=td$
這樣能得出q在直線上的投影向量，我們能解出來(lái)t，然后帶回到公式即可，有：
$q^{\prime }=p_{org}+(d?(q?p_{org}))d$

3.平面上最近的點(diǎn)

平面和直線的表達(dá)式其實(shí)是一樣的，也是
$$p?n=d$$
最后得到的表達(dá)式其實(shí)也是一樣的，但是推導(dǎo)過(guò)程有差別，如下圖所示，設(shè)有平面pn=d，n為單位法向量，q為不在平面上的任意一點(diǎn)，p為其在平面上的投影

有
p + an = q
(p+an)n = qn
pn+ann = qn
d+a=qn
a=qn-d
因此有q’ = q+an = q + (d-qn)n，也就是點(diǎn)到直線的最近點(diǎn)的公式一樣。

4.圓或球上的最近點(diǎn)

對(duì)于球心為c，半徑為r的球，球外一點(diǎn)q，在球上求一點(diǎn)q’，使得q’距離q最短。
我們?cè)O(shè)向量d = c-q，
那么有$b=d?\frac{|d|?r}{|d|}$
然后有q’ = q+b
則$q^{\prime }=q+d?\frac{|d|?r}{|d|}$

5.2D隱式直線的相交性檢測(cè)

這個(gè)檢測(cè)方法簡(jiǎn)單粗暴，直接聯(lián)立兩個(gè)方程求解即可，解的個(gè)數(shù)應(yīng)對(duì)著相交、平行、重合這三種情況。

6.3D中兩條射線的相交性檢測(cè)

3D直線的隱式方程實(shí)際上是兩個(gè)屏幕的交線，這種方式當(dāng)然也可以聯(lián)立四個(gè)方程，同上面一樣進(jìn)行求解，但這里我們討論參數(shù)方程的情況。
設(shè)兩條直線的參數(shù)方程為：
$$r_1(t_1)=p_1+t_1{d}_1$$
$$r_2(t_2)=p_2+t_2{d}_2$$
這個(gè)具體的推導(dǎo)還是很秀的，讓我推導(dǎo)我肯定不會(huì)，書上聯(lián)立$r_1(t_1)=r_2(t_2)$,然后經(jīng)過(guò)一波天秀的推導(dǎo)，得到了下面的解：
$$t_1=\frac{((p_2?p_1)x{d}_2)?(d_{1}x{d}_2)}{|d1xd2{|}^2}$$
$$t_2=\frac{((p_2?p_1)x{d}_1)?(d_{1}x{d}_2)}{|d1xd2{|}^2}$$
當(dāng)上面式子的分母等于0的時(shí)候，對(duì)應(yīng)的是兩條射線平行或者重合，其他情況下$p_1(t_1)和p_2(t_2)$是距離最近的點(diǎn)，如果距離等于零，則表示相交，否則則兩直線屬于異面直線。

7.射線和平面的相交檢測(cè)

射線的參數(shù)方程定義為：$p(t)=p_0+td$,平面方程為p * n = d.
相交性檢測(cè)比前面求距離的要簡(jiǎn)單的多，因?yàn)椴恍枰芏嗟膸缀卫斫?#xff0c;只需要聯(lián)立求交點(diǎn)就行，求得到，就有交點(diǎn)，求不到，就沒(méi)交點(diǎn)，把上面的公式聯(lián)立起來(lái)，得到解
$$t=\frac{d?p_0?n}{d?n}$$
同樣的，分母為0，則沒(méi)交點(diǎn)。

8.AABB包圍盒和平面的相交性檢測(cè)

AABB包圍盒有8個(gè)頂點(diǎn)，我們把它代入到p* n= d這個(gè)平面方程中去，然后如果八個(gè)點(diǎn)全部小于或者大于d則不相交，否則相交，書上有優(yōu)化的辦法，可以不用求所有的八個(gè)點(diǎn)，但是我感覺(jué)已經(jīng)沒(méi)什么必要了，沒(méi)什么明顯的復(fù)雜度改進(jìn)沒(méi)必要加大算法難度。

9.三個(gè)平面的相交性檢測(cè)

也是一個(gè)解方程組的問(wèn)題，三個(gè)平面是否相交于一點(diǎn)，如何求該點(diǎn)，首先三個(gè)平面分別為：
$$p{n}_1=d_1$$
$$p{n}_2=d_2$$
$$p{n}_3=d_3$$
然后聯(lián)立可以求得：
$$p=\frac{d_1(n_{3}x{n}_2)+d_2(n_{3}x{n}_1)+d_3(n_{1}x{n}_2)}{(n_{1}x{n}_2)?n_3}$$
怎么推導(dǎo)的就別管了，頭發(fā)要緊。

10.射線和圓/球的相交性檢測(cè)

這個(gè)檢測(cè)很有技巧性，比起直接聯(lián)立方程來(lái)說(shuō)，這種方法的實(shí)現(xiàn)難度也同時(shí)低很多。

這個(gè)幾何體的構(gòu)造就挺有東西的，直線的方程是$p(t)=p_0+td$，d為單位向量，圓的圓心為c，半徑為r。
我們的目的是求出來(lái)t，然后代入到直線方程就可以得到交點(diǎn)的信息。
t=a-f
a=(c-p0)d//P0C在直線上的投影
對(duì)于f，有
$$f^2+b^2=r^2$$
$$b^2=e^2?a^2$$
聯(lián)立可解得
$$f=\sqrt{r^2?e^2+a^2}$$
則有
$$t=a?\sqrt{r^2?e^2+a^2}$$
若根號(hào)內(nèi)為負(fù)值，則不相交。

11.兩個(gè)圓/球的相交性檢測(cè)

對(duì)于靜止的兩個(gè)球來(lái)說(shuō)，求是否相交是非常簡(jiǎn)單的，只需要判斷他們距離的平方和兩個(gè)半徑的平方和的大小即可。

12.球和AABB的相交性檢測(cè)

只需要判斷距離球心最近的包圍盒的距離球心的距離和求半徑的關(guān)系即可。

13.球和平面的相交性檢測(cè)

只需要判斷球心和平面的距離和球半徑的關(guān)系即可。

14.射線和三角形的相交性檢測(cè)

這里涉及到三角形的重心坐標(biāo)系，三角形平面上每個(gè)點(diǎn)都可以用三個(gè)頂點(diǎn)的線性組合來(lái)表示，這個(gè)坐標(biāo)就是三角形的線性坐標(biāo)，假設(shè)我們已知三角形的三個(gè)頂點(diǎn)，以及三角形平面上一點(diǎn)p的坐標(biāo)，設(shè)p在三角形重心坐標(biāo)系的坐標(biāo)為(b1,b2,b3)則有
$$p_x=b_1{x}_1+b_2{x}_2+b_3{x}_3$$
$$p_y=b_1{y}_1+b_2{y}_2+b_3{y}_3$$
$$b1+b2+b3=1$$
當(dāng)b1=b2=b3=$\frac{1}{3}$的時(shí)候，我們認(rèn)為p點(diǎn)是三角形的重心坐標(biāo)，由上面的式子，可以解得：
$$b_1=\frac{(p_y?y_3)(x_2?x_3)+(y_2?y_3)(x_3?p_x)}{(y_1?y_3)(x_2?x_3)+(y_2?y_3)(x_3?x_1)}$$
$$b_2=\frac{(p_y?y_1)(x_3?x_1)+(y_3?y_1)(x_1?p_x)}{(y_1?y_3)(x_2?x_3)+(y_2?y_3)(x_3?x_1)}$$
$$b_3=\frac{(p_y?y_2)(x_1?x_2)+(y_1?y_2)(x_2?p_x)}{(y_1?y_3)(x_2?x_3)+(y_2?y_3)(x_3?x_1)}$$
我們判斷三角形和射線相交的方法如下：
1.計(jì)算射線和三角形平面的交點(diǎn)
2.計(jì)算交點(diǎn)的重心坐標(biāo)
3.如果重心坐標(biāo)某一分量小于零，則其在三角形外，沒(méi)有交點(diǎn)，否則有交點(diǎn)，交點(diǎn)可以通過(guò)重心坐標(biāo)乘上三角形頂點(diǎn)坐標(biāo)獲得。

15.兩個(gè)AABB的相交性

如果一個(gè)包圍盒x最小值都大于另一個(gè)包圍盒x的最大值，則不相交，按照這個(gè)理論，有六種緯度去判斷，只要有一種不滿足，則其不相交。

16.后記

書上介紹的比我這個(gè)是要復(fù)雜一點(diǎn)的，還包括了動(dòng)態(tài)的相交檢測(cè)，這里我沒(méi)涉及到，如果有需要用到的時(shí)候再看吧，也許那會(huì)是下輩子。。。

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的几何检测的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問(wèn)題。

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