給定一個正整數 $n$，用 $n$ 文錢買 $n$ 只雞，問公雞、母雞、小雞各買多少只？（公雞 $5$ 元一只，母雞 $3$ 元一只，小雞 $1$ 元 $3$ 只）

你只需求出解的數量即可。

題目思路：

首先我們可以想到，用三重循環枚舉公雞、母雞、小雞的數量，如果滿足要求將答案加 $1$ 即可。這種解法的時間復雜度為 $\mathcal{O}(n^3)$。

#include<iostream> using namespace std; int main(){int n,ans=0;cin>>n;for(int i=0;i<=n;i++)for(int j=0;j<=n;j++)for(int k=0;k<=n;k++)if(5*i+3*j+k/3==n&&k%3==0&&i+j+k==n)ans++;cout<<ans;return 0; }

經過簡單思考可知，實際上我們可以剪掉一重循環，比如說 $n=100$，當 $i=4,j=18$時，我們可以直接推出 $k=78$，只需驗證費用和是否為 $n$ 即可。時間復雜度優化至 $\mathcal{O}(n^2)$。

#include<iostream> using namespace std; int main(){int n,ans=0;cin>>n;for(int i=0;i<=n;i++)for(int j=0;j<=n;j++){int k=n-i-j;if(k%3==0&&5*i+3*j+k/3==n)ans++;}if(ans)cout<<ans;else cout<<"No Answer.";return 0; }

當 $n$ 的值進一步擴大時，我們應當怎么辦呢？這時就需要引進數學思維了。設公雞的數量為 $x$，母雞的數量為 $y$，可以列出方程：$5x+3y+\frac{n?x?y}{3}=n$，可以解得 $y=\frac{n?7x}{4}$，這樣我們只需要用一層循環枚舉公雞的數量即可。時間復雜度進一步優化至 $\mathcal{O}(n)$。

#include<iostream> using namespace std; int main(){int n,ans=0;cin>>n;for(int x=0;n-7*x>=0;x++)if((n-7*x)%4==0){int y=(n-7*x)/4;if(n-x-y>=0&&(n-x-y)%3==0)ans++;}if(ans)cout<<ans;else cout<<"No Answer.";return 0; }

計蒜客上有一道題將 $n$ 擴大到了 $10^{18}$，即使已經很優的線性復雜度也肯定會超時。那么怎么辦呢？計蒜客提供了一種擴展歐幾里得算法的解法，時間復雜度為 $\mathcal{O}(\log n)$，可以通過該數據，不過這不是我們要重點介紹的算法，讀者們可以自行了解其算法內涵。我們要重點介紹的算法在 $O(n)$ 算法的基礎上繼續使用數學思維。通過舉例可以發現，$n$ 的值每增加 $28$，即 $\mathrm{lcm}(4,7)$，答案就增加 $1$，那么答案是否為單調不降呢？實際上不是。我們可以從 $1$ 到 $28$ 所有的數都枚舉一遍，可以發現，當 $n$ 模 $28$ 的數為一些數（具體見代碼）時，答案的值是要比其他少 $1$ 的。這樣，我們就可以使用 $\mathcal{O}(1)$ 的時間復雜度通過本題。

$\mathcal{O}(\log n)$ 的做法：

#include<cstdio> #include<algorithm> #include<iostream> #define int long long using namespace std; inline void exgcd(int a,int b,int &d,int &x,int &y){if(!b){d=a,x=1,y=0;return;}exgcd(b,a%b,d,y,x);y-=a/b*x; } signed main(){int a=3,b=4,d=1,x0,y0,n;cin>>n;exgcd(a,b,d,x0,y0);if((n*3)%d==0){int x1=x0*3*n;int y1=y0*3*n;int maxx=min(-x1/b,y1/a);int minn=(-(n+x1-y1)-1)/(a+b)+1;if(maxx>=minn)cout<<maxx-minn+1<<endl;else cout<<"No Answer."<<endl;}else cout<<"No Answer."<<endl;return 0; }

$\mathcal{O}(1)$ 的做法：

#include<cstdio> #define int long long int a[]={1,2,3,5,6,9,10,13,17}; signed main(){int n;scanf("%lld",&n);int ans=1;for(int i=0;i<9;i++)if(n%28==a[i])ans=0;if(n/28+ans==0)puts("No Answer.");else printf("%lld",n/28+ans);return 0; }

總結

以上是生活随笔為你收集整理的百鸡百钱问题-从枚举到数学的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

如果覺得生活随笔網站內容還不錯，歡迎將生活随笔推薦給好友。