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乘法逆元

一、定義

若在mod p意義下，對于一個整數a，有a*b≡1(mod p)，那么這個整數d即為a的 乘法逆元，同時a也為d的乘法逆元

二、求法

（1）.費馬小定理

當p為質數時，對于任意整數a，滿足a^p-a是p的整數倍

在mod p意義下可以表示為
　　　　
　　　　所以a^p-2即為a在 mod p 意義下的逆元

（2）.擴展歐幾里得

a*x≡1（mod p）可以轉化成ax+py=1的形式

那么顯然我們可以用擴展歐幾里得算法解2元一次方程解出x

（3）.O（n）遞推1~n的逆元

我們就可以做到O（n）遞推

• inv[i]=(p-p/i)*inv[p%i]%p;

（4）.O（n）求階乘的逆元

我們假設有x使得 a*x≡1（mod p）

則(a-1)! *ax≡1（mod p）

所以說（a-1）！的逆元為 ax%p

那么我們就可以先求出n！的逆元再倒推回去

（5）.歐拉定理

由a^φ（p）≡1 (mod p)得a^φ（p）?1是a的逆元
　　　　ps:模數不是素數時同樣適用

（6）.一個小推論

（a/b）%p=（a%（bp））/ p

證明：

(a/b)%p=a/b-?(a/b)/p?*p

=a/b-?a/(b*p)?*p

=a/b-?a/(b*p)?bp/b

=(a%(bp) )/p

總結

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