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思路：矩陣快速冪

fn=c^(2n?6)?f(n?1)?f(n?2)?f(n?3)=c^sc * f1^s1 * f2^s2 * f3^s3

因此分別算出s1,s2,s3和sc的值即可算出 fn

而由f4開始按照fn=c^(2n?6)?f(n?1)?f(n?2)?f(n?3)=c^sc * f1^s1 * f2^s2 * f3^s3推

? ? ? ?f1? ?f2? ? f3? ? c

f4? ? 1? ? ?1? ? ?1? ? 2

f5? ? 1? ? ?2? ? ?2? ? 6

f6? ? 2? ? ?3? ? ?4? ? 14

f7? ? 4? ? ?6? ? ?7? ? 30

f8? ? 7? ? 11? ? 13? ?60

到f7時 對f1(7):f7=f6+f5+f4? ?f2(7)=f1(7)+f1(6)? ? f3(7)=f1(8)? ? 而 fc(7)=fc(6)+fc(5)+fc(4)+2*7-6

因此

f1(n)=f1(n-1)+f1(n-2)+f1(n-3)

f2(n)=f1(n)+f1(n-1)

f3(n)=f1(n+1)

fc(n)=fc(n-1)+fc(n-2)+fc(n-3)+2*n-6

那么就可以用矩陣快速冪來求出f1(n),fc(n)，從而得到 s1,s2,s3,sc

注意的是，在求f1(n),fc(n)時由于 其是 f1,c的冪系數，在取模時要用費馬小定理（a^(p-1)=1 mod(p)）來取模 即 MOD=1e9+6

在求f1^s1時 MOD=1e9+7

Code:

#include<iostream> #include<cstring> using namespace std; typedef long long LL;LL MOD=1e9+6; const int MAX_S=5; struct Matrix{LL a[MAX_S][MAX_S];Matrix (){memset(a,0,sizeof(a));}Matrix operator*(const Matrix &A){Matrix B=Matrix();for(int k=0;k<MAX_S;++k)for(int i=0;i<MAX_S;++i)for(int j=0;j<MAX_S;++j)B.a[i][j]=(B.a[i][j]+a[i][k]*A.a[k][j])%MOD;return B;} }; LL n,c,f[5];Matrix mypowMa(Matrix A,LL n){Matrix res=Matrix();if(n<=0) return res;for(int i=0;i<MAX_S;++i)res.a[i][i]=1;while(n){if(n&1) res=res*A;A=A*A;n>>=1;}return res; }LL mypowLL(LL a,LL n){LL res=1;while(n){if(n&1) res=res*a%MOD;a=a*a%MOD;n>>=1;}return res; } int main() {Matrix A=Matrix(),res;A.a[0][0]=A.a[0][1]=A.a[0][2]=1;A.a[1][0]=A.a[2][1]=1;cin>>n>>f[1]>>f[2]>>f[3]>>c;LL s1,s2,s3,sc,ni=n-3,d[5]={0,1,1,2,4};if(ni<=3){s1=d[ni]; s2=s1+d[ni-1]; s3=d[ni+1];}else{res=mypowMa(A,ni-3);s1=(res.a[0][0]*d[3]%MOD+res.a[0][1]*d[2]%MOD+res.a[0][2]*d[1]%MOD)%MOD;res=mypowMa(A,ni-4);s2=(s1+(res.a[0][0]*d[3]%MOD+res.a[0][1]*d[2]%MOD+res.a[0][2]*d[1]%MOD)%MOD)%MOD;res=mypowMa(A,ni-2);s3=(res.a[0][0]*d[3]%MOD+res.a[0][1]*d[2]%MOD+res.a[0][2]*d[1]%MOD)%MOD;}A.a[0][3]=A.a[0][4]=A.a[3][3]=A.a[3][4]=A.a[4][4]=1;res=mypowMa(A,n-3);sc=res.a[0][4]*2%MOD;MOD+=1;LL ans=mypowLL(c,sc);ans=ans*mypowLL(f[1],s1)%MOD;ans=ans*mypowLL(f[2],s2)%MOD;ans=ans*mypowLL(f[3],s3)%MOD;cout<<ans<<endl;return 0; }

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總結

以上是生活随笔為你收集整理的Codeforces Round #566 (Div. 2)-E. Product Oriented Recurrence的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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