（原文載于：http://www.blogcn.com/u2/15/26/zuozw/blog/47318674.html）

?? ?序言：為了豐富知識和學(xué)習(xí)，以后將陸續(xù)介紹一些新興學(xué)科和交叉學(xué)科，讓大家對近代科學(xué)有大致的了解，起到科普知識學(xué)習(xí)的目的!由于本人能力有限，介紹的偏重數(shù)學(xué)，物理，計算機(jī)再加少部分化學(xué)！希望大家喜歡！這些大部分摘自網(wǎng)上，恕不能一一寫出摘自哪里，如有侵權(quán)請告訴我！

?? ?有限元法(finite element method)是20世紀(jì)60年代出現(xiàn)的一種數(shù)值計算方法。最初用于固體力學(xué)問題的數(shù)值計算，上世紀(jì)70年代在英國科學(xué)家Zienkiewicz O.C 等人的努力下，將它推廣到各類場問題的數(shù)值求解，如溫度場，電磁場，也包括流場。

?? ?有限元法離散方程的獲得方法主要有直接剛度法、虛功原理推導(dǎo)、泛函變分原理推導(dǎo)或加權(quán)余量法推導(dǎo)。一般采用加權(quán)余量法推導(dǎo)。

?? ?有限元法的優(yōu)點(diǎn)是解題能力強(qiáng)，可以比較精確地模擬各種復(fù)雜的曲線或曲面邊界，網(wǎng)格的劃分比較隨意，可以統(tǒng)一處理多種邊界條件，離散方程的形式規(guī)范，便于編制通用的計算機(jī)程序，在固體力學(xué)方程的數(shù)值計算方面取得巨大的成功。但是在應(yīng)用于流體流動和傳熱方程求解的過程中卻遇到一些困難，其原因在于，按加權(quán)余量法推導(dǎo)出的有限元離散方程也只是對原微分方程的數(shù)學(xué)近似。當(dāng)處理流動和傳熱問題的守恒性、強(qiáng)對流、不可壓縮條件等方面的要求時，有限元離散方程中的各項(xiàng)還無法給出合理的物理解釋。對計算中出現(xiàn)的一些誤差也難以進(jìn)行改進(jìn)。

有限元法，有限差分法和有限體積法的區(qū)別

有限元方法的基礎(chǔ)是變分原理和加權(quán)余量法，其基本求解思想是把計算域劃分為有限個互不重疊的單元，在每個單元內(nèi)，選擇一些合適的節(jié)點(diǎn)作為求解函數(shù)的插值點(diǎn)，將微分 方程中的變量改寫成由各變量或其導(dǎo)數(shù)的節(jié)點(diǎn)值與所選用的插值函數(shù)組成的線性表達(dá)式 ，借助于變分原理或加權(quán)余量法，將微分方程離散求解。采用不同的權(quán)函數(shù)和插值函數(shù)形式，便構(gòu)成不同的有限元方法。有限元方法最早應(yīng)用于結(jié)構(gòu)力學(xué)，后來隨著計算機(jī)的發(fā)展慢慢用于流體力學(xué)的數(shù)值模擬。在有限元方法中，把計算域離散剖分為有限個互不重疊且相互連接的單元，在每個單元內(nèi)選擇基函數(shù)，用單元基函數(shù)的線形組合來逼近單元中的真解，整個計算域上總體的基函數(shù)可以看為由每個單元基函數(shù)組成的，則整個計算域內(nèi)的解可以看作是由所有單元上的近似解構(gòu)成。在河道數(shù)值模擬中，常見的有限元計算方法是由變分法和加權(quán)余量法發(fā)展而來的里茲法和伽遼金法、最小二乘法等。根據(jù)所采用的權(quán)函數(shù)和插值函數(shù)的不同，有限元方法也分為多種計算格式。從權(quán)函數(shù)的選擇來說，有配置法、矩量法、最小二乘法和伽遼金法，從計算單元網(wǎng)格的形狀來劃分，有三角形網(wǎng)格、四邊形網(wǎng)格和多邊形 網(wǎng)格，從插值函數(shù)的精度來劃分，又分為線性插值函數(shù)和高次插值函數(shù)等。不同的組合 同樣構(gòu)成不同的有限元計算格式。對于權(quán)函數(shù)，伽遼金(Galerkin)法是將權(quán)函數(shù)取為逼近函數(shù)中的基函數(shù) ；最小二乘法是令權(quán)函數(shù)等于余量本身，而內(nèi)積的極小值則為對代求系數(shù)的平方誤差最小；在配置法中，先在計算域 內(nèi)選取N個配置點(diǎn) 。令近似解在選定的N個配置點(diǎn)上嚴(yán)格滿足微分方程，即在配置點(diǎn)上令方程余量為0。插值函數(shù)一般由不同次冪的多項(xiàng)式組成，但也有采用三角函數(shù)或指數(shù)函數(shù)組成的乘積表示，但最常用的多項(xiàng)式插值函數(shù)。有限元插值函數(shù)分為兩大類，一類只要求插值多項(xiàng)式本身在插值點(diǎn)取已知值，稱為拉格朗日(Lagrange)多項(xiàng)式插值；另一種不僅要求插值多項(xiàng)式本身，還要求它的導(dǎo)數(shù)值在插值點(diǎn)取已知值，稱為哈密特(Hermite)多項(xiàng)式插值。單元坐標(biāo)有笛卡爾直角坐標(biāo)系和無因次自然坐標(biāo)，有對稱和不對稱等。常采用的無因次坐標(biāo)是一種局部坐標(biāo)系，它的定義取決于單元的幾何形狀，一維看作長度比，二維看作面積比，三維看作體積比。在二維有限元中，三角形單元應(yīng)用的最早，近來四邊形等參元的應(yīng)用也越來越廣。對于二維三角形和四邊形電源單元，常采用的插值函數(shù)為有Lagrange插值直角坐標(biāo)系中的線性插值函數(shù)及二階或更高階插值函數(shù)、面積坐標(biāo)系中的線性插值函數(shù)、二階或更高階插值函數(shù)等。?

?? ?對于有限元方法，其基本思路和解題步驟可歸納為?

(1)建立積分方程，根據(jù)變分原理或方程余量與權(quán)函數(shù)正交化原理，建立與微分方程初邊值問題等價的積分表達(dá)式，這是有限元法的出發(fā)點(diǎn)。?

(2)區(qū)域單元剖分，根據(jù)求解區(qū)域的形狀及實(shí)際問題的物理特點(diǎn)，將區(qū)域剖分為若干相互連接、不重疊的單元。區(qū)域單元劃分是采用有限元方法的前期準(zhǔn)備工作，這部分工作量比較大，除了給計算單元和節(jié)點(diǎn)進(jìn)行編號和確定相互之間的關(guān)系之外，還要表示節(jié)點(diǎn)的位置坐標(biāo)，同時還需要列出自然邊界和本質(zhì)邊界的節(jié)點(diǎn)序號和相應(yīng)的邊界值。

(3)確定單元基函數(shù)，根據(jù)單元中節(jié)點(diǎn)數(shù)目及對近似解精度的要求，選擇滿足一定插值條 件的插值函數(shù)作為單元基函數(shù)。有限元方法中的基函數(shù)是在單元中選取的，由于各單元 具有規(guī)則的幾何形狀，在選取基函數(shù)時可遵循一定的法則。

(4)單元分析：將各個單元中的求解函數(shù)用單元基函數(shù)的線性組合表達(dá)式進(jìn)行逼近；再將 近似函數(shù)代入積分方程，并對單元區(qū)域進(jìn)行積分，可獲得含有待定系數(shù)(即單元中各節(jié)點(diǎn) 的參數(shù)值)的代數(shù)方程組，稱為單元有限元方程。

(5)總體合成：在得出單元有限元方程之后，將區(qū)域中所有單元有限元方程按一定法則進(jìn) 行累加，形成總體有限元方程。

(6)邊界條件的處理：一般邊界條件有三種形式，分為本質(zhì)邊界條件(狄里克雷邊界條件 、自然邊界條件(黎曼邊界條件)、混合邊界條件(柯西邊界條件)。對于自然邊界條件， 一般在積分表達(dá)式中可自動得到滿足。對于本質(zhì)邊界條件和混合邊界條件，需按一定法 則對總體有限元方程進(jìn)行修正滿足。?

(7)解有限元方程：根據(jù)邊界條件修正的總體有限元方程組，是含所有待定未知量的封閉 方程組，采用適當(dāng)?shù)臄?shù)值計算方法求解，可求得各節(jié)點(diǎn)的函數(shù)值。

?? ?有限差分方法(FDM)是計算機(jī)數(shù)值模擬最早采用的方法，至今仍被廣泛運(yùn)用。該方法將 求解域劃分為差分網(wǎng)格，用有限個網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)代替連續(xù)的求解域。有限差分法以Taylor級 數(shù)展開等方法，把控制方程中的導(dǎo)數(shù)用網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)上的函數(shù)值的差商代替進(jìn)行離散，從而 建立以網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)上的值為未知數(shù)的代數(shù)方程組。該方法是一種直接將微分問題變?yōu)榇鷶?shù) 問題的近似數(shù)值解法，數(shù)學(xué)概念直觀，表達(dá)簡單，是發(fā)展較早且比較成熟的數(shù)值方法。 　　對于有限差分格式，從格式的精度來劃分，有一階格式、二階格式和高階格式。從差分 的空間形式來考慮，可分為中心格式和逆風(fēng)格式。考慮時間因子的影響，差分格式還可 以分為顯格式、隱格式、顯隱交替格式等。目前常見的差分格式，主要是上述幾種形式 的組合，不同的組合構(gòu)成不同的差分格式。差分方法主要適用于有結(jié)構(gòu)網(wǎng)格，網(wǎng)格的步 長一般根據(jù)實(shí)際地形的情況和柯朗穩(wěn)定條件來決定。

　　構(gòu)造差分的方法有多種形式，目前主要采用的是泰勒級數(shù)展開方法。其基本的差分表達(dá) 式主要有三種形式：一階向前差分、一階向后差分、一階中心差分和二階中心差分等， 其中前兩種格式為一階計算精度，后兩種格式為二階計算精度。通過對時間和空間這幾 種不同差分格式的組合，可以組合成不同的差分計算格式。

　　有限體積法（Finite Volume Method）又稱為控制體積法。其基本思路是：將計算區(qū)域劃分為一系列不重復(fù)的控制體積，并使每個網(wǎng)格點(diǎn)周圍有一個控制體積；將待解的微分方程對每一個控制體積積分，便得出一組離散方程。其中的未知數(shù)是網(wǎng)格點(diǎn)上的因變量的數(shù)值。為了求出控制體積的積分，必須假定值在網(wǎng)格點(diǎn)之間的變化規(guī)律，即假設(shè)值的分段的分布的分布剖面。從積分區(qū)域的選取方法看來，有限體積法屬于加權(quán)剩余法中的子區(qū)域法；從未知解的近似方法看來，有限體積法屬于采用局部近似的離散方法。簡言之，子區(qū)域法屬于有限體積發(fā)的基本方法。?

?? ?有限體積法的基本思路易于理解，并能得出直接的物理解釋。離散方程的物理意義，就 是因變量在有限大小的控制體積中的守恒原理，如同微分方程表示因變量在無限小的控 制體積中的守恒原理一樣。 限體積法得出的離散方程，要求因變量的積分守恒對任意一組控制體積都得到滿足，對整個計算區(qū)域，自然也得到滿足。這是有限體積法吸引人的優(yōu)點(diǎn)。有一些離散方法，例如有限差分法，僅當(dāng)網(wǎng)格極其細(xì)密時，離散方程才滿足積分守恒；而有限體積法即使在粗網(wǎng)格情況下，也顯示出準(zhǔn)確的積分守恒。就離散方法而言，有限體積法可視作有限單元法和有限差分法的中間物。有限單元法必須假定值在網(wǎng)格點(diǎn)之間的變化規(guī)律（既插值函數(shù)），并將其作為近似解。有限差分法只考慮網(wǎng)格點(diǎn)上的數(shù)值而不考慮值在網(wǎng)格點(diǎn)之間如何變化。有限體積法只尋求的結(jié)點(diǎn)值，這與有限差分法相類似；但有限體積法在尋求控制體積的積分時，必須假定值在網(wǎng)格點(diǎn)之間的分布，這又與有限單元法相類似。在有限體積法中，插值函數(shù)只用于計算控制 體積的積分，得出離散方程之后，便可忘掉插值函數(shù)；如果需要的話，可以對微分方程 中不同的項(xiàng)采取不同的插值函數(shù)。

總結(jié)

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