◇例題·I◇?Snuke's Subway Trip

題目來源：Atcoder Regular 061 E題（beta版）?+傳送門+

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一、解析

（1）最短路實現

由于在同一家公司的鐵路上移動是不花費的，只有在換乘時會花費1日元。我們可以視換乘的花費為點權——當換乘到不同公司時花費1，同一家公司時花費0。

對于這種點權因情況而變化的題，最常見的做法便是拆點。設節點 u?相連的鐵路由 c₁，c₂，...，c_p?p個公司修建，則將節點u拆分為節點 u_c1~u_cp，點u_ci表示到達點u的鐵路是由公司c_i修建的。若兩點u,v被公司c修的鐵路相連，則將 u_c?與 v_c?連接一條權為0的邊——因為在同一家公司的鐵路上移動無花費。

舉個例子：

拆完點后SPFA跑一次最短路，最后答案要除以2。

為什么可以這樣做呢？

如果只通過公司c的鐵路能夠從u到v（中途不轉到其他公司的鐵路），那么我們就能夠從u_c花費0日元移動到v_c。

如果在節點u要從a公司轉到b公司，我們需要通過 u_a->u->u_b。如何理解這一過程呢？我們可以把u看成一個站點——你到達u時在公司a的站臺上，然后你需要花費1日元回到站點u，然后通過站點u中轉，再花費1日元到達公司b的站臺。但是我們會發現，題目要求是換乘只需要1日元，而我的程序每換乘一次需要2日元，就會比正確答案大一倍，所以最后要除以2。

可能不太清楚，看個例子

（我覺得我好像講的不大清楚，reader們不懂的可以看文章底的郵箱問我 QwQ）

?(2)?二分圖實現

（其實我這種實現寫TLE了……但是我知道有這種思路，于是寫上了）

對于原圖，我們定義可以通過同一家公司的鐵路到達的點集為一個連通塊，也就是說在同一個連通塊內的所有點互相可以到達，且經過的鐵路是同一家公司的（花費為0），而不同的連通塊的點互相到達需要花費。

由于一個連通塊的點之間花費為0，我們可以把每個連通塊都縮成一個點x，把該連通塊內的點與x連接。然后我們會發現這樣構成的圖形成了一個二分圖，X部為原圖的點，Y部為連通塊縮成的點。再用BFS從原圖的點1（起點）到原圖的點n（終點）搜索一遍求得1到n的最短路，把所得解除以2就是答案。

（同樣的問題）為什么可以這么做呢？

可以把X部看成中轉站，而Y部為鐵路。因為連通塊內的點可以互相到達，我們把從中轉站進入鐵路的花費和從鐵路出到中轉站的花費都設為1，那么同一個連通塊內的兩個點u,v的最小花費路徑則是從u出發經過連通塊內的其他點到達v，花費為0。同樣，從點1到點n的路徑可以看成從1出發經過若干個連通塊到達n。我們可以證明——從1到n的最短路徑經過同一個連通塊的次數不超過1——設最短路徑進入某一個連通塊時點為u，而從該連通塊離開的點為v，一定存在一條花費為0的從u到v的路徑（因為他們在一個連通塊內嘛），而如果從u出發，經過其他連通塊再到達v，則花費一定大于0，因此經過該連通塊的次數一定不超過1。

其實不難發現，u到v的最小花費就是u到v的最短路徑中經過的連通塊的個數（看下面的例子），而且u到v的路徑在二分圖中一定是“u->連通塊1->中轉站1->...->中轉站k->連通塊k->v（k就是答案）”，在二分圖中形成k個“V”形，即經過邊數為 2k?條。所以答案（k）就是經過邊數除以2。

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?二、實現

就只講一下那些比較難寫的地方，簡單的步驟就默認大家會了……

（1）最短路拆點 - map儲存編號(ID)

?這一步可以在線處理。對于點u儲存一個map<int,int>ID[u]，ID[u][c]表示u的由c公司修的鐵路所拆分的虛擬節點的編號。可以在讀入邊的時候處理——用map自帶的函數count(c)判斷端點u,v的映射（map）中是否存在公司c，如果沒有，則給它賦一個值cnt。我們可以把虛擬節點的編號儲存在原圖節點的后面，即cnt從n+1開始。同時連接u,v關于c公司生成的兩個虛擬節點 ID[u][c],ID[v][c]。

再枚舉1~n的點，對于每一個點i，用迭代器枚舉map。這里是一個技巧，大家可以看一看：

迭代器iterator——STL容器遍歷利器

迭代器相當于一個指針，可以指向特定STL容器的元素。由于STL容器除了vector好像就沒有可以直接訪問、遍歷元素（在不改變原容器的情況下）的容器了，遍歷起來就比較麻煩。我們可以定義一個迭代器，map的格式就像這樣 “map<類型,類型>::iterator”。迭代器本身是一個數據類型，若要遍歷一個 map<int,int> ma ，迭代器就定義為 "map<int,int>::iterator it"，用for循環枚舉：“for(map<int,int>::iterator it=ma.begin();it!=ma.end();it++)” 。這里的"it++"是迭代器重定義了"++"，指向容器的下一個元素。

map<>這種容器比較特別，它的元素其實是一個pair，其中pair的first是下標，second是下標對應的值。注意用迭代器訪問元素時，迭代器類似于指針，所以訪問first,second時是用指針的"->"而不是結構體的"."。

這里的second就是該虛擬節點對應的ID，直接將該虛擬節點與節點i連邊即可。

for(int i=0;i<n_edg;i++) {int u,v,c;scanf("%d%d%d",&u,&v,&c); //讀邊input[i][0]=u;input[i][1]=v;input[i][2]=c;if(!ID[u].count(c)) ID[u][c]=cnt++; //存虛擬節點idif(!ID[v].count(c)) ID[v][c]=cnt++;lnk[ID[u][c]].push_back(make_pair(ID[v][c],0)); //連接兩個虛擬節點lnk[ID[v][c]].push_back(make_pair(ID[u][c],0)); } for(int i=1;i<=n_pnt;i++) //枚舉原圖點for(map<int,int>::iterator it=ID[i].begin();it!=ID[i].end();it++) //枚舉虛擬點 {int id=it->second; //id是虛擬節點的編號lnk[i].push_back(make_pair(id,1)); //連接原圖點與虛擬節點lnk[id].push_back(make_pair(i,1));}

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（2）二分圖改造 -?原圖與二分圖的轉換（我覺得就是這里TLE了）

先用vector<>鄰接表儲存原圖 fir_lnk，再用map<int,bool> cpn[]，cpn[u][k]表示與節點u連接的鐵路是否有k公司修的，即屬于公司k的鐵路連通塊是否包含u。

枚舉點 1~n，再用迭代器枚舉公司，如果節點 i?與公司 j?的連通塊還沒有被枚舉到，則用 BFS(Linker)?遍歷該連通塊，遍歷到一個點后清除該點與連通塊的標記，同時連接點與連通塊（構造二分圖）。

Linker:

void Linker(int start,int edge,int ID) {queue<int> que;que.push(start);while(!que.empty()){int u=que.front();que.pop();lnk[u].push_back(ID); //構造二分圖 lnk[ID].push_back(u);for(int i=0;i<fir_lnk[u].size();i++)if(fir_lnk[u][i].second==edge){int v=fir_lnk[u][i].first;if(!cpn[v][edge]) continue;cpn[v][edge]=false; //清除標記 que.push(v);}} }

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枚舉：

for(int i=1;i<=n_pnt;i++) //枚舉點for(map<int,bool>::iterator it=cpn[i].begin();it!=cpn[i].end();it++) //枚舉連通塊if(it->second)Linker(i,it->first,cnt++); //BFS

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?三、源代碼

（最短路 AC）

1 /*Lucky_Glass*/ 2 #include<cstdio> 3 #include<cstring> 4 #include<algorithm> 5 #include<iostream> 6 #include<map> 7 #include<vector> 8 #include<queue> 9 using namespace std; 10 const int MAXN=(int)1e5; 11 const int INF=(int)1e9; 12 int n_pnt,n_edg,cnt; 13 map<int,int> ID[MAXN+5]; 14 int input[2*MAXN+5][3]; 15 vector<pair<int,int> > lnk[5*MAXN+5]; 16 int dist[5*MAXN+5]; 17 bool vis[5*MAXN+5]; 18 int main() 19 { 20 scanf("%d%d",&n_pnt,&n_edg); 21 cnt=n_pnt+1; 22 for(int i=0;i<n_edg;i++) 23 { 24 int u,v,c;scanf("%d%d%d",&u,&v,&c); 25 input[i][0]=u;input[i][1]=v;input[i][2]=c; 26 if(!ID[u].count(c)) ID[u][c]=cnt++; 27 if(!ID[v].count(c)) ID[v][c]=cnt++; 28 lnk[ID[u][c]].push_back(make_pair(ID[v][c],0)); 29 lnk[ID[v][c]].push_back(make_pair(ID[u][c],0)); 30 } 31 for(int i=1;i<=n_pnt;i++) 32 for(map<int,int>::iterator it=ID[i].begin();it!=ID[i].end();it++) 33 { 34 int id=it->second; 35 lnk[i].push_back(make_pair(id,1)); 36 lnk[id].push_back(make_pair(i,1)); 37 } 38 fill(dist,dist+5*MAXN+5,INF); 39 dist[1]=0;vis[1]=true; 40 queue<int> que;que.push(1); 41 while(!que.empty()) 42 { 43 int u=que.front();que.pop(); 44 for(int i=0;i<lnk[u].size();i++) 45 { 46 int v=lnk[u][i].first,l=lnk[u][i].second; 47 if(dist[v]>dist[u]+l) 48 { 49 dist[v]=dist[u]+l; 50 if(!vis[v]) 51 vis[v]=true,que.push(v); 52 } 53 } 54 vis[u]=false; 55 } 56 if(dist[n_pnt]==INF) printf("%d\n",-1); 57 else printf("%d\n",dist[n_pnt]/2); 58 return 0; 59 } View Code

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（二分圖 TLE）

1 /*Lucky_Glass*/ 2 #include<cstdio> 3 #include<cstring> 4 #include<algorithm> 5 #include<vector> 6 #include<queue> 7 #include<map> 8 using namespace std; 9 int n_pnt,n_edg,cnt; 10 const int MAXN=int(3e5); 11 vector<int> lnk[MAXN+5]; 12 vector<pair<int,int> > fir_lnk[int(1e5)+5]; 13 map<int,bool> cpn[int(1e5)+5]; 14 bool vis[MAXN+5],fir_vis[int(1e5)+5]; 15 void Linker(int start,int edge,int ID) 16 { 17 queue<int> que; 18 que.push(start); 19 while(!que.empty()) 20 { 21 int u=que.front();que.pop(); 22 lnk[u].push_back(ID); 23 lnk[ID].push_back(u); 24 for(int i=0;i<fir_lnk[u].size();i++) 25 if(fir_lnk[u][i].second==edge) 26 { 27 int v=fir_lnk[u][i].first; 28 if(!cpn[v][edge]) continue; 29 cpn[v][edge]=false; 30 que.push(v); 31 } 32 } 33 } 34 int main() 35 { 36 scanf("%d%d",&n_pnt,&n_edg); 37 cnt=n_pnt+1; 38 for(int i=0;i<n_edg;i++) 39 { 40 int u,v,c; 41 scanf("%d%d%d",&u,&v,&c); 42 fir_lnk[u].push_back(make_pair(v,c)); 43 fir_lnk[v].push_back(make_pair(u,c)); 44 cpn[u][c]=cpn[v][c]=true; 45 } 46 for(int i=1;i<=n_pnt;i++) 47 for(map<int,bool>::iterator it=cpn[i].begin();it!=cpn[i].end();it++) 48 if(it->second) 49 Linker(i,it->first,cnt++); 50 queue<pair<int,int> > que; 51 que.push(make_pair(1,0)); 52 while(!que.empty()) 53 { 54 pair<int,int> fro=que.front();que.pop(); 55 int u=fro.first,stp=fro.second; 56 for(int i=0;i<lnk[u].size();i++) 57 { 58 int v=lnk[u][i],fstp=stp+1; 59 if(vis[v]) continue; 60 vis[v]=true; 61 if(v==n_pnt) {printf("%d\n",fstp/2);return 0;} 62 que.push(make_pair(v,fstp)); 63 } 64 } 65 printf("-1\n"); 66 return 0; 67 } View Code

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The End

Thanks for reading!

-?Lucky_Glass

（Tab：如果我有沒講清楚的地方可以直接在郵箱lucky_glass@foxmail.com email我，在周末我會盡量解答并完善博客~）

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轉載于:https://www.cnblogs.com/LuckyGlass-blog/p/9330160.html

總結

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