直觀理解仿射空間

向量空間（也叫線性空間）我們是很熟悉的，那么可以借助向量空間給仿射空間一個直觀的定義：仿射空間就是沒有原點的向量空間。

向量空間沒有了原點，會有什么樣的影響？向量是基于原點的，向量有兩個元素-大小、方向，大小任意給出兩個點就可以衡量，但沒有了原點，我們是無法用一個統一的標準來衡量方向的，也正因如此，仿射空間包含點集而不單純是向量集。

更進一步，沒有了統一標準的向量，那么向量與向量之間的關系也發生了變化，向量空間的2向量之間可以有"+"運算；而在仿射空間中，點與點之間沒有加法運算，為了衡量從一個點到另一個點之間的關系，點x需要加上某個向量v來的到點y，這個運算過程叫做translation。

以上，而我們知道定義仿射空間的兩個要素：1. 沒有原點的點集。2. 點與點之間的translation運算（或者說向量V）

正式定義

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一個仿射空間就是一個點集X和一個向量集V（X和V維度相同），它滿足以下公理：?
（1）對所有?x∈X?和?u,v∈V?，滿足?x+(u+v)=(x+u)+v?。即translation復合后作用于x等價于兩個translation分別作用于x?
（2）對所有?x∈X?，?x+0=x?，即x加上0向量等于其自身?
（3）對所有?x∈X?，如果存在?v∈V?，使得?x+v=x?，則?v=0?
（4）對所有的?x，y∈X?，存在一個?v∈V?，使得?y=x+v

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仿射變換

相對于仿射空間，仿射變換就比較容易理解了，我們知道線性變換的幾何意義是圖像的旋轉和變形，而仿射變換的幾何意義是旋轉和變性再加上位移，所以仿射變換也可以表示為線性變換再加上位移。用矩陣表示的話，線性變換是 y = Ax，而仿射變換是? ? y = Ax + b。

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參考文獻：

[1]?Affine space

[2]?仿射空間（affine space），仿射組合（affine combination）

總結

以上是生活随笔為你收集整理的仿射空间的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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