索羅模型

• 第八章
• • 前提
  • 生產(chǎn)函數(shù)
  • 消費(fèi)函數(shù)
  • 資本存量 投資 折舊
  • • 投資
    • 折舊
    • 資本存量的變動(dòng)
  • 結(jié)論
  • 黃金律水平
• 帶入人口增長(zhǎng)的索洛模型
• • 引入人口的黃金律水平
• 第九章
• • 引入技術(shù)

索洛增長(zhǎng)模型，又稱新古典經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)模型、外生經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)模型，是在新古典經(jīng)濟(jì)學(xué)框架內(nèi)所提出的著名的經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)模型。
主要用于解釋固定資本增加，對(duì)GDP 所產(chǎn)生的影響。
該模型假設(shè)投資的邊際收益率遞減，即在一定數(shù)量后生產(chǎn)得越多，效率越低。
模型結(jié)論：經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)的路徑是穩(wěn)定的。在長(zhǎng)期只有技術(shù)進(jìn)步是增長(zhǎng)的來(lái)源。

第八章

前提

假設(shè)1：生產(chǎn)函數(shù)規(guī)模報(bào)酬不變，即：$zY=F(zK,zL)$
注意：規(guī)模報(bào)酬不變，不是邊際收益不變

生產(chǎn)函數(shù)除以人數(shù)L，則得到：
$Y/L=F(K/L,1)$

即，人均產(chǎn)出僅與人均資本（存量）相關(guān)

定義：
$y=Y/L$
$k=K/L$

生產(chǎn)函數(shù)表示為：$y=f(k)=F(K/L,1)$

平衡的增長(zhǎng)，在達(dá)到穩(wěn)態(tài)后持續(xù)穩(wěn)定增長(zhǎng)
水平的增長(zhǎng)，是在達(dá)到穩(wěn)態(tài)前的短暫增長(zhǎng)，在達(dá)到穩(wěn)態(tài)后維持水平不再增長(zhǎng)

生產(chǎn)函數(shù)

名詞解釋：在一定時(shí)期內(nèi)，在技術(shù)水平不變的情況下，生產(chǎn)中所用的各種生產(chǎn)要素的數(shù)量與所能生產(chǎn)的最大產(chǎn)量之間的關(guān)系

最常見(jiàn)的生產(chǎn)函數(shù)：柯布-道格拉斯生產(chǎn)函數(shù)（貌似不考）

$Y=F(K,\bar{L})=A{K}^{\alpha }{L}^{\beta }$

α+β＞1，則規(guī)模報(bào)酬遞增；

α+β = 1，則規(guī)模報(bào)酬不變；

α+β＜1，則規(guī)模報(bào)酬遞減。

Y代表GDP收入，A代表效率，K代表資本（資本存量），L代表生產(chǎn)人數(shù)；
$\alpha ,\beta$分別代表資本和勞動(dòng)的產(chǎn)出份額（或產(chǎn)出彈性）

消費(fèi)函數(shù)

人均：$y=c+i$（先不考慮政府購(gòu)買和進(jìn)出口）
設(shè)儲(chǔ)蓄率為 $s$
則用于消費(fèi)得比例 $c=(1?s)y$ 帶入上式
得：
$i=sy$
即，儲(chǔ)蓄率即為用于投資得比例

資本存量 投資 折舊

投資：資本存量增長(zhǎng)
折舊：資本存量減少

注意：$k$ 為資本存量，$i$ 為投資即為資本增長(zhǎng)量

投資

對(duì)于消費(fèi)函數(shù)推導(dǎo)結(jié)果：$i=sy$，將生產(chǎn)函數(shù)帶入
得：
$i=sf(k)$
這個(gè)式子將存量和增長(zhǎng)量聯(lián)系在了一起，存量越大，增長(zhǎng)量越大

折舊

折舊定義為資本存量k每年磨損的比例 $\delta$（定值）

資本存量的變動(dòng)

顯然：
$\Delta k=sf(k)?\delta k$

顯然，$k^{?}$點(diǎn)資本存量穩(wěn)定，定義為穩(wěn)定狀態(tài)

穩(wěn)態(tài)代表經(jīng)濟(jì)的長(zhǎng)期均衡

而當(dāng)儲(chǔ)蓄比例 s 變動(dòng)時(shí)：

長(zhǎng)期中，高的儲(chǔ)蓄率代表更高的資本存量和國(guó)民收入
（持續(xù)性預(yù)算赤字的弊端：政府減少國(guó)民儲(chǔ)蓄并擠出投資）
（預(yù)算赤字=財(cái)政赤字=財(cái)政支出>財(cái)政收入）

結(jié)論

注意：gdp是個(gè)流量，經(jīng)濟(jì)的增長(zhǎng)是流量的增長(zhǎng)，而不是存量，也就是Y保持在一個(gè)高水平不意味著經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)，而是經(jīng)濟(jì)保持在高的產(chǎn)出水平。
真正的經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)是指產(chǎn)出Y的持續(xù)增長(zhǎng)

綜上，索洛模型告訴我們：
高的儲(chǔ)蓄率會(huì)帶來(lái)經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)（y上升），但只是暫時(shí)的（達(dá)到新的穩(wěn)定狀態(tài)）；
儲(chǔ)蓄率保持在高的水平，會(huì)保持高的資本存量 k 和生產(chǎn)水平 y，但不會(huì)永遠(yuǎn)保持高的經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)率

黃金律水平

高的儲(chǔ)蓄率雖然帶來(lái)高的收入，但顯然不是越高越好：當(dāng)儲(chǔ)蓄率為 1 時(shí)，有著最高的收入水平，但每個(gè)人都不花一分錢

作為一個(gè)仁慈的決策者，其目標(biāo)是讓每一個(gè)個(gè)體的福利最大化，因此，
最理想的儲(chǔ)蓄率水平是使每個(gè)個(gè)體的消費(fèi)水平最高的儲(chǔ)蓄率
這個(gè)儲(chǔ)蓄率被稱為黃金律水平 $=k_{gold}^{?}$

$c=y?i$
在穩(wěn)態(tài)水平下，投資等于折舊：$i=sf(k^{?})=\delta k^{?}$
將該式帶入，收入y用函數(shù)表示，得：
$c^{?}=f(k^{?})?\delta k^{?}$

對(duì)$k^{?}$求導(dǎo)令其為0
$f(k^{?})$的導(dǎo)數(shù)即為MPK，因此求得$MPK=\delta$
此時(shí)人均消費(fèi)最高，也是最理想福利最大化的情況

注意黃金律圖中的曲線不是投資，而是產(chǎn)出，此時(shí)直線代表穩(wěn)態(tài)的折舊，同時(shí)等于穩(wěn)態(tài)投資
此時(shí)尋找產(chǎn)出和投資的最大差值

需注意，經(jīng)濟(jì)不會(huì)自發(fā)的走向$k_{gold}^{?}$，需要由決策者通過(guò)控制儲(chǔ)蓄率來(lái)控制資本存量的水平

控制s的情況如下圖，很容易理解

注意，達(dá)到黃金律水平時(shí)產(chǎn)出自然會(huì)變化，并且制定政策后會(huì)有一個(gè)穩(wěn)定的過(guò)程，具體情況見(jiàn)下圖

初始高于黃金律時(shí)：

低于：

帶入人口增長(zhǎng)的索洛模型

首先，先前的模型僅能解釋經(jīng)濟(jì)的水平增長(zhǎng)，并不能解釋經(jīng)濟(jì)的穩(wěn)態(tài)增長(zhǎng)
當(dāng)引入人口變量后，可以解釋經(jīng)濟(jì)的總體增長(zhǎng)，但并不能解釋人均水平的增長(zhǎng)

人口增長(zhǎng)率：n
每年都會(huì)有新的勞動(dòng)力產(chǎn)生，因此資本的增加量需要滿足這部分新增的勞動(dòng)力的需求
所以，新的平衡需要變動(dòng)

因此在平衡時(shí)，每年增加的資本一部分用于抵消資本的折舊$\delta k$，一部分用于新增的勞動(dòng)力對(duì)資本的需求$nk$:

$\Delta k=sf(k)?\delta k?nk$

平衡時(shí)：$i=(\delta +n)k$

另外，當(dāng)人口增長(zhǎng)率變化時(shí)，平衡態(tài)也會(huì)變化：

這便是索洛模型對(duì)高人口增長(zhǎng)率的國(guó)家更貧窮的預(yù)測(cè)

引入人口的黃金律水平

很簡(jiǎn)單，帶入求解
$c^{?}=f(k^{?})?(\delta +n)k^{?}$
得：
$MPK=n+\delta$

第九章

引入技術(shù)

技術(shù)的增長(zhǎng)終于可以解釋生活水平的持續(xù)增長(zhǎng)

勞動(dòng)效率E
因此生產(chǎn)函數(shù)改寫(xiě)為
$Y=f(K,L\times E)$

其中 E 的增長(zhǎng)率為 $g$

這里的技術(shù)增長(zhǎng)引起的是等效勞動(dòng)力的增長(zhǎng)，即相同的人口實(shí)現(xiàn)等價(jià)于更多人口的效果
稱為勞動(dòng)改善型進(jìn)步
（注意：這里有一點(diǎn)區(qū)別，這個(gè)等效人口要完全視為正常人口，其并沒(méi)有改變資本的利用率，我個(gè)人認(rèn)為這種增長(zhǎng)的計(jì)算要在最后分配收入的時(shí)候，將本來(lái)要分配給等效人口的數(shù)量的收入分配給更少的實(shí)際人口，但后續(xù)的黃金律并不是這么考慮）

計(jì)算一切如故，最終結(jié)果為

穩(wěn)態(tài)：
$\Delta k=sf(k)?(\delta +n+g)k$
$i=(\delta +n+g)k^{?}$

黃金律：
$c^{?}=y?i=f(k^{?})?(\delta +n+g)k$

$MPK=\delta +n+g$

注意是 $n+g$

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的宏观经济学 索洛模型的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問(wèn)題。

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