索羅模型

• 第八章
• • 前提
  • 生產函數
  • 消費函數
  • 資本存量 投資 折舊
  • • 投資
    • 折舊
    • 資本存量的變動
  • 結論
  • 黃金律水平
• 帶入人口增長的索洛模型
• • 引入人口的黃金律水平
• 第九章
• • 引入技術

索洛增長模型，又稱新古典經濟增長模型、外生經濟增長模型，是在新古典經濟學框架內所提出的著名的經濟增長模型。
主要用于解釋固定資本增加，對GDP 所產生的影響。
該模型假設投資的邊際收益率遞減，即在一定數量后生產得越多，效率越低。
模型結論：經濟增長的路徑是穩定的。在長期只有技術進步是增長的來源。

第八章

前提

假設1：生產函數規模報酬不變，即：$zY=F(zK,zL)$
注意：規模報酬不變，不是邊際收益不變

生產函數除以人數L，則得到：
$Y/L=F(K/L,1)$

即，人均產出僅與人均資本（存量）相關

定義：
$y=Y/L$
$k=K/L$

生產函數表示為：$y=f(k)=F(K/L,1)$

平衡的增長，在達到穩態后持續穩定增長
水平的增長，是在達到穩態前的短暫增長，在達到穩態后維持水平不再增長

生產函數

名詞解釋：在一定時期內，在技術水平不變的情況下，生產中所用的各種生產要素的數量與所能生產的最大產量之間的關系

最常見的生產函數：柯布-道格拉斯生產函數（貌似不考）

$Y=F(K,\bar{L})=A{K}^{\alpha }{L}^{\beta }$

α+β＞1，則規模報酬遞增；

α+β = 1，則規模報酬不變；

α+β＜1，則規模報酬遞減。

Y代表GDP收入，A代表效率，K代表資本（資本存量），L代表生產人數；
$\alpha ,\beta$分別代表資本和勞動的產出份額（或產出彈性）

消費函數

人均：$y=c+i$（先不考慮政府購買和進出口）
設儲蓄率為 $s$
則用于消費得比例 $c=(1?s)y$ 帶入上式
得：
$i=sy$
即，儲蓄率即為用于投資得比例

資本存量 投資 折舊

投資：資本存量增長
折舊：資本存量減少

注意：$k$ 為資本存量，$i$ 為投資即為資本增長量

投資

對于消費函數推導結果：$i=sy$，將生產函數帶入
得：
$i=sf(k)$
這個式子將存量和增長量聯系在了一起，存量越大，增長量越大

折舊

折舊定義為資本存量k每年磨損的比例 $\delta$（定值）

資本存量的變動

顯然：
$\Delta k=sf(k)?\delta k$

顯然，$k^{?}$點資本存量穩定，定義為穩定狀態

穩態代表經濟的長期均衡

而當儲蓄比例 s 變動時：

長期中，高的儲蓄率代表更高的資本存量和國民收入
（持續性預算赤字的弊端：政府減少國民儲蓄并擠出投資）
（預算赤字=財政赤字=財政支出>財政收入）

結論

注意：gdp是個流量，經濟的增長是流量的增長，而不是存量，也就是Y保持在一個高水平不意味著經濟增長，而是經濟保持在高的產出水平。
真正的經濟增長是指產出Y的持續增長

綜上，索洛模型告訴我們：
高的儲蓄率會帶來經濟增長（y上升），但只是暫時的（達到新的穩定狀態）；
儲蓄率保持在高的水平，會保持高的資本存量 k 和生產水平 y，但不會永遠保持高的經濟增長率

黃金律水平

高的儲蓄率雖然帶來高的收入，但顯然不是越高越好：當儲蓄率為 1 時，有著最高的收入水平，但每個人都不花一分錢

作為一個仁慈的決策者，其目標是讓每一個個體的福利最大化，因此，
最理想的儲蓄率水平是使每個個體的消費水平最高的儲蓄率
這個儲蓄率被稱為黃金律水平 $=k_{gold}^{?}$

$c=y?i$
在穩態水平下，投資等于折舊：$i=sf(k^{?})=\delta k^{?}$
將該式帶入，收入y用函數表示，得：
$c^{?}=f(k^{?})?\delta k^{?}$

對$k^{?}$求導令其為0
$f(k^{?})$的導數即為MPK，因此求得$MPK=\delta$
此時人均消費最高，也是最理想福利最大化的情況

注意黃金律圖中的曲線不是投資，而是產出，此時直線代表穩態的折舊，同時等于穩態投資
此時尋找產出和投資的最大差值

需注意，經濟不會自發的走向$k_{gold}^{?}$，需要由決策者通過控制儲蓄率來控制資本存量的水平

控制s的情況如下圖，很容易理解

注意，達到黃金律水平時產出自然會變化，并且制定政策后會有一個穩定的過程，具體情況見下圖

初始高于黃金律時：

低于：

帶入人口增長的索洛模型

首先，先前的模型僅能解釋經濟的水平增長，并不能解釋經濟的穩態增長
當引入人口變量后，可以解釋經濟的總體增長，但并不能解釋人均水平的增長

人口增長率：n
每年都會有新的勞動力產生，因此資本的增加量需要滿足這部分新增的勞動力的需求
所以，新的平衡需要變動

因此在平衡時，每年增加的資本一部分用于抵消資本的折舊$\delta k$，一部分用于新增的勞動力對資本的需求$nk$:

$\Delta k=sf(k)?\delta k?nk$

平衡時：$i=(\delta +n)k$

另外，當人口增長率變化時，平衡態也會變化：

這便是索洛模型對高人口增長率的國家更貧窮的預測

引入人口的黃金律水平

很簡單，帶入求解
$c^{?}=f(k^{?})?(\delta +n)k^{?}$
得：
$MPK=n+\delta$

第九章

引入技術

技術的增長終于可以解釋生活水平的持續增長

勞動效率E
因此生產函數改寫為
$Y=f(K,L\times E)$

其中 E 的增長率為 $g$

這里的技術增長引起的是等效勞動力的增長，即相同的人口實現等價于更多人口的效果
稱為勞動改善型進步
（注意：這里有一點區別，這個等效人口要完全視為正常人口，其并沒有改變資本的利用率，我個人認為這種增長的計算要在最后分配收入的時候，將本來要分配給等效人口的數量的收入分配給更少的實際人口，但后續的黃金律并不是這么考慮）

計算一切如故，最終結果為

穩態：
$\Delta k=sf(k)?(\delta +n+g)k$
$i=(\delta +n+g)k^{?}$

黃金律：
$c^{?}=y?i=f(k^{?})?(\delta +n+g)k$

$MPK=\delta +n+g$

注意是 $n+g$

總結

以上是生活随笔為你收集整理的宏观经济学 索洛模型的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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