FRM_1

Foundations of Risk Management

風(fēng)險(xiǎn)管理基本概念

風(fēng)險(xiǎn)管理的四種策略：

Retain：保留符合risk appetite的風(fēng)險(xiǎn)，不做處理

Avoid：不進(jìn)行原有風(fēng)險(xiǎn)業(yè)務(wù)

Mitigate：利用投資話組合緩釋風(fēng)險(xiǎn)；例：marking to market

Transfer：通過保險(xiǎn)等將風(fēng)險(xiǎn)轉(zhuǎn)嫁給第三方

風(fēng)險(xiǎn)對沖

風(fēng)險(xiǎn)對沖無法降低交易費(fèi)用

公司風(fēng)險(xiǎn)管理結(jié)構(gòu)

Board of directors （董事會）

• 制定清晰的商業(yè)戰(zhàn)略
• 制定并批準(zhǔn)風(fēng)險(xiǎn)偏好（并不是高管負(fù)責(zé)）

CRO （首席風(fēng)險(xiǎn)官）

• 是執(zhí)行風(fēng)險(xiǎn)管理工作的最高負(fù)責(zé)人
• 負(fù)責(zé)日常履行風(fēng)險(xiǎn)管理職能
• Calculate & review VaR 首席風(fēng)險(xiǎn)官需要每日計(jì)算、審查在險(xiǎn)價(jià)值
• 監(jiān)管風(fēng)險(xiǎn)指標(biāo)、風(fēng)險(xiǎn)報(bào)告，包括損失、特殊事件、關(guān)鍵風(fēng)險(xiǎn)敞口、預(yù)警指標(biāo)
• 開發(fā)數(shù)據(jù)分析系統(tǒng)，負(fù)責(zé)數(shù)據(jù)管理能力以支持風(fēng)險(xiǎn)管理計(jì)劃
• 開展scenario analysis

Risk management committee （風(fēng)險(xiǎn)管理委員會）

• 制定適當(dāng)?shù)娘L(fēng)險(xiǎn)衡量和管理政策
• 對業(yè)務(wù)部門內(nèi)的風(fēng)險(xiǎn)限制、風(fēng)險(xiǎn)權(quán)限等進(jìn)行詳細(xì)審查
• 制定 risk management strategy

Audit （審計(jì)）

• 確保公司在財(cái)務(wù)問題上 “compliance with best-practice standards”

Risk advisory director （風(fēng)險(xiǎn)咨詢董事）

• 為公司的 best practice of corporate governance 與行業(yè)的 risk management 提供建議

理論模型：MPT Markowiz有效市場理論

Modern Portfolio Theory 模型的理論假設(shè)

市場是完美的

沒有交易成本，沒有稅收

所有參與交易的人都可以零成本即刻獲得所有市場信息

完全競爭市場

收益呈指數(shù)分布

Utility Theory

公式：$U=\mathrm{E}(R)?\frac{1}{2}A{\sigma }^2$

圖像：Indifference Curve（無差異曲線）

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說明：曲線越陡峭，說明投資者對于風(fēng)險(xiǎn)的厭惡程度越高；曲線相對越高，其效用越高。

Efficient Frontier

有效前沿

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說明：當(dāng)市場上有無數(shù)個資產(chǎn)組合時(shí)，就形成了有效前沿，有效前沿上的每一個點(diǎn)都代表了一個最有效的投資組合。

Optimal portfolio selection

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說明：投資者應(yīng)當(dāng)選擇無差異曲線與其無差異曲線相切的投資組合。而由indifference curve可知，投資人的風(fēng)險(xiǎn)厭惡越高，曲線上陡的程度越大，切點(diǎn)越靠左。極端地說，當(dāng)投資人為極端風(fēng)險(xiǎn)厭惡，其indifference curve為豎直的，則投資組合應(yīng)該在最左側(cè)。

理論模型：CAL & CML

Capital Allocation Line (CAL) 資產(chǎn)配置線

由于考慮了無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)，而 Markowitz 只考慮了風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)，因此 CML 能在相同波動率下獲得更高的預(yù)期收益。

模型假設(shè)：承接Markowitz的所有假設(shè)。

公式：$E\left(R_p\right)=R_f+\frac{E\left(R_i\right)?R_f}{{\sigma }_i}{\sigma }_p$

圖像

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說明：最優(yōu)的投資CAL（至少）是與無差異曲線相切的，它滿足了投資者的投資需求；最優(yōu)的風(fēng)險(xiǎn)組合（最多）應(yīng)當(dāng)是與有效前沿相切的，它是先有的資產(chǎn)組合中最好的一條曲線。因此最優(yōu)的CAL應(yīng)當(dāng)與這兩條曲線分別相切。

Capital Market Line (CML) 資產(chǎn)市場線

模型假設(shè)：CAL的假設(shè)+所有投資者都有同質(zhì)化預(yù)期；

CML相當(dāng)于令CAL中的資產(chǎn)為Market Portfolio；

公式：$E\left(R_i\right)=R_f+\frac{E\left(R_m\right)?R_f}{{\sigma }_m}{\sigma }_i$；

)

由公式可知，CML中的切線斜率即為Sharpe Ratio，斜率的大小反映了市場風(fēng)險(xiǎn)溢價(jià)和市場組合的波動性；

Two-fund Separation Theorem：由上圖CAL圖片中可知，當(dāng)考慮CML時(shí)，CML與有效前沿相切得到的投資組合P就是最有效的（風(fēng)險(xiǎn)）投資組合。因此不管是什么樣的投資者都會選擇在這一條CML上進(jìn)行投資。只不過根據(jù)其無差異曲線的不同，其相切所得到的切點(diǎn)C是不同的，也就是其分配的風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)和無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的比率不同。

理論模型：CAPM & SML

模型假設(shè)

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系統(tǒng)性風(fēng)險(xiǎn)與非系統(tǒng)性風(fēng)險(xiǎn)

系統(tǒng)性風(fēng)險(xiǎn)：

系統(tǒng)性風(fēng)險(xiǎn)/市場風(fēng)險(xiǎn)/不可分散風(fēng)險(xiǎn)；

投資者對系統(tǒng)性風(fēng)險(xiǎn)的承擔(dān)會收到回報(bào)。

非系統(tǒng)性風(fēng)險(xiǎn)：

非系統(tǒng)性風(fēng)險(xiǎn)/specific risk/idiosyncratic risk

可以通過分散化投資減少；

投資者不會因?yàn)槌袚?dān)該風(fēng)險(xiǎn)獲得回報(bào)；

當(dāng)組合充分分散，系統(tǒng)性風(fēng)險(xiǎn)趨近于0

系統(tǒng)性風(fēng)險(xiǎn)衡量指標(biāo) ：

公式：${\beta }_i=\frac{\mathrm{Cov}\left(R_i,R_m\right)}{{\sigma }_m^2}={\rho }_{i,m}\frac{{\sigma }_i}{{\sigma }_m}$ ；

理解：對于某資產(chǎn) i 的定價(jià)，應(yīng)當(dāng)?shù)扔跓o風(fēng)險(xiǎn)收益率+超額風(fēng)險(xiǎn)的回報(bào)率。

CAPM模型計(jì)算出的價(jià)格是為了 compensate for the systematic risk；

Security Market Line

含義：CAPM 的圖象

圖象

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當(dāng)市場均衡，正確定價(jià)時(shí)，所有的資產(chǎn)應(yīng)當(dāng)都在 SML 上。因此也可以用 SML 判斷市場是否被正確定價(jià)?？梢哉J(rèn)為 SML 是價(jià)格，圖中 A，B，C 三點(diǎn)是實(shí)際價(jià)值。因此 A 正確定價(jià)；B 被高估，應(yīng)當(dāng)賣出；C 被低估，應(yīng)當(dāng)買入。

SML與CML比較

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理論模型：Measurement

Sharpe Performance Index

公式：$SPI=\frac{E\left(R_i\right)?R_f}{{\sigma }_i}$；

夏普比率衡量的是承擔(dān)總體風(fēng)險(xiǎn)的回報(bào)；

夏普比率中的E(Ri) **可以用CAPM進(jìn)行計(jì)算。

Treynor Performance Index (TPI)

含義： 對于某投資組合承擔(dān)單位beta（系統(tǒng)性風(fēng)險(xiǎn)）所帶來的回報(bào)率；

公式：$TPI=\frac{E\left(R_i\right)?R_f}{{\beta }_i}$

Sharpe Ratio 由于分母是總體風(fēng)險(xiǎn)，因此既可以評估充分分散化投資組合，也可以評估未分散的投資組合；而 Treynor Ratio由于分母是系統(tǒng)性風(fēng)險(xiǎn)beta，無法捕捉到非系統(tǒng)性風(fēng)險(xiǎn)，因此只能用此評估充分分散化的投資組合。

Jenson Alpha

公式：$\text{?Jenson’?}\alpha =R_p?\left\{R_f+\beta \left[E\left(R_m\right)?R_f\right]\right\}$；

記憶：風(fēng)險(xiǎn)債券收益率-CAPM

Active Management: Alpha, Tracking Error & Information Ratio

公式

Alpha：$R_p?R_{BMK}$；

Tracking Error：$TE={\sigma }_{\alpha }={\sigma }_{R_P?R_{BMK}}$ ;

Information Ratio：$IR=\frac{AverageActiveReturn}{TrackingError}=\frac{\alpha }{{\sigma }_{\alpha }}$；

說明

TE 與 IR 都是以基準(zhǔn)組合為依據(jù)，衡量投資組合風(fēng)險(xiǎn)回報(bào)的指標(biāo)；

TE 衡量承擔(dān)了多少的主動風(fēng)險(xiǎn)；IR 衡量了承擔(dān)一單位的主動風(fēng)險(xiǎn)所獲得的收益；

Sortino Ratio

公式：$SR=\frac{R_p?R_{BMK}}{\sqrt{\frac{1}{N}{\Sigma }_{t=1}^N\min {\left(0,R_{pt}?R_{BMK}\right)}^2}}$ ;

只衡量半波動率

理論模型：APT & Multifactor

APT

公式：$E\left(R_p\right)=R_f+{\beta }_{p,1}{\lambda }_1+?+{\beta }_{p,k}{\lambda }_k$ ;

假設(shè)：不存在套利機(jī)會（APT唯一一個假設(shè)條件）；

說明：

投資者可以充分分散化投資稀釋非系統(tǒng)性風(fēng)險(xiǎn)，故資產(chǎn)回報(bào)可以被系統(tǒng)性風(fēng)險(xiǎn)完全解釋（因此選擇的風(fēng)險(xiǎn)敞口為beta）；

預(yù)期收益率是一系列風(fēng)險(xiǎn)因子的線性表達(dá)式；

CAPM可以看作是APT模型的一個特例，即只考慮市場組合的風(fēng)險(xiǎn)溢價(jià)。

Fama- French Three Factors Model

Factors： Market index（MKT），firm size（SMB），book-to-market ratio（HML）；

公式：$E\left(R_i\right)=R_f+{\beta }_{i,MKT}E\left(R_m?R_f\right)+{\beta }_{i,SMB}E(SMB)+{\beta }_{i,HML}E(SML)$ **；

ERM & Risk Aggregation

Data Aggregation & Risk Reporting

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ERM

• Feature of ERM

• 關(guān)鍵詞：全面、整體；
• Comprehensive and integrated，最小化波動，最大化收益；
• 自上而下推動，將整個機(jī)構(gòu)視為entire portfolio。

• Traditional Risk Management vs. ERM

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• Motivation, benefit & cost

• Motivation
• Top-to-bottom vertical vision
• Concentrations of wisk within the firm
• Thinking beyond the silo
• Risk retention decisioins
• Benefits
• Costs

• Five key ERM dimensions

• Targets: Enterprise goals
• Risk appetite
• Strategic goals
• Structure: How we organize ERM
• Governance framework
• Identificaiton & Metrics: How we measure enterprise risk
• Identify & measure
• ERM strategies: How we manage ERM
• Avoid
• Mitigate
• Transfer
• Culture: How we do things
• Enterprise 從公司層面達(dá)成共識
  • Enterprise thinking
  • Group /enterprise dynamics
• Group
  • Group thinking
  • Recruitment of individuals to a group
• Individual
  • Recruitment criteria
  • Mindset promoted by firm

• Scenario analysis（ 實(shí)施ERM的良好手段）

  • Dodd-Frank Act Stress Tests
  • Comprehensive Capital Analysis and Reviews

補(bǔ)充

ERM的建立是經(jīng)年累月的一個長久過程（multi-year engagement），而不是一蹴而就的（at the initial of the program）；

風(fēng)險(xiǎn)文化的外部指標(biāo)：經(jīng)濟(jì)周期、行業(yè)事件、專業(yè)標(biāo)準(zhǔn)、監(jiān)管標(biāo)準(zhǔn)；內(nèi)部指標(biāo)：公司問責(zé)制度、溝通制度、激勵制度等；

銀行可以通過機(jī)器學(xué)習(xí)來處理大量的數(shù)據(jù)，與更為廣泛的風(fēng)險(xiǎn)數(shù)據(jù)結(jié)合來分析風(fēng)險(xiǎn)文化的深入規(guī)律與預(yù)警信號，但是僅僅憑數(shù)據(jù)的收集是遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠的；

Risk analysis 最后要給出明確結(jié)論，不可以是open ended；

原先的independent departmental applications & methodologies 效果不好，被14 principals替代；

金融危機(jī)與其他金融風(fēng)險(xiǎn)事件

07~09 Financial Crisis

Haircut：融資資金額度與抵押物價(jià)值之差；當(dāng)危機(jī)爆發(fā)時(shí)，haircut上升；

評級機(jī)構(gòu)對于結(jié)構(gòu)化產(chǎn)品曾經(jīng)進(jìn)行評估，但由于錯誤使用歷史數(shù)據(jù)、從發(fā)行人出獲取數(shù)據(jù)、發(fā)行人出錢聘請?jiān)u級公司等原因，其評級結(jié)果是有問題的；

美聯(lián)儲為了增加流動性而使用的工具：

• TAF: Term Auction Facility
• PDCF: Primary Dealer Credit Facility
• TARP: Troubled Dealer Relief Program

Other Financial Disasters

• LTCM 長期資本管理公司
  • 事件簡介：高桿桿對沖基金，當(dāng)發(fā)生虧損時(shí)敞口巨大；做多意大利國債，做空德國國債，后俄羅斯發(fā)生違約，flight to quality，導(dǎo)致巨額虧損；最終美聯(lián)儲主持收購注資救市；
  • Failing Factors：
    • Trading models：模型沒有充分考慮極端市場情況（極端風(fēng)險(xiǎn)時(shí)，各個資產(chǎn)之間的相關(guān)性急劇上升）；
    • Liquidity Risks：沒有考慮高杠桿影響（危機(jī)出現(xiàn)時(shí)，流動性迅速枯竭）；
    • Risk measurement models：VaR模型對于尾部風(fēng)險(xiǎn)評估不足等。
• London Whale 倫敦鯨
  • London Whale, JP Morgan在倫敦的分行；
  • 事件簡介：Bruno Iksil 任職于摩根大通位于倫敦的首席投資室（Chief Investment Office，簡稱CIO）。市場普遍推測，2012年初，該交易員進(jìn)行了大量不同期限品種的信用衍生品合約買賣交易，甚至參與了和多家對沖基金的對賭，押注企業(yè)信用環(huán)境未來將有所改善。2012年4月份以后，受歐債危機(jī)演變和全球經(jīng)濟(jì)復(fù)蘇不佳等因素影響，金融市場動蕩加劇，市場信用環(huán)境惡化，企業(yè)違約風(fēng)險(xiǎn)攀升，首席投資室的交易策略失敗，在短短六周時(shí)間內(nèi)交易虧損達(dá)到20億美元，且虧損金額仍在不斷擴(kuò)大。
  • Failing Factors：
    • Model risk：CIO認(rèn)為原先的VaR模型過于保守，高估了風(fēng)險(xiǎn)（置信度水平過高），因此降低了置信度修改了VaR，而這導(dǎo)致了更大的風(fēng)險(xiǎn)，增加了損失；
    • Corporate Governance：CIO的新VaR模型并沒有被監(jiān)管方OCC批準(zhǔn)；
    • Operational Risk：JP采用容易出錯的手動輸入數(shù)據(jù)的方式，還有公式、計(jì)算錯誤等，導(dǎo)致VaR模型極不可靠。
• Metallgesellschaft 德國金屬公司
  • 事件簡介：MGRM，其專門從事石油交易的分公司簽訂了一個long-term fixed-price contract（10年遠(yuǎn)期空頭），并且相應(yīng)地通過購買短期石油期貨多頭進(jìn)行對沖。由于對沖策略，市場由backwardation轉(zhuǎn)向contango，滾倉成本升高，加上期貨逐日盯市，流動性枯竭，造成大量損失。
  • 關(guān)鍵詞：
    • 期限錯配；
    • Short long-term forward+long short-term futures；
    • Stack & roll 滾期；
    • 存在子母公司溝通問題，雙方會計(jì)記賬要求不同，導(dǎo)致賬面的虧損。
  • Failure Factors：
    • Curve risk：市場由backwardation轉(zhuǎn)向了contango；
    • Hedging Strategies：即使看似吸引人的策略在市場情況發(fā)生改變時(shí)也可能帶來不小的風(fēng)險(xiǎn)。
  • 德國金屬公司Metallgesellschaft沒有進(jìn)行大量杠桿的操作；
• Saving & Loan Crisis 美國儲貸協(xié)會
  • 事件簡介：儲蓄貸款機(jī)構(gòu)未能管理好自己的利率風(fēng)險(xiǎn)，當(dāng)利率朝向不利方向波動時(shí)，行業(yè)遭受巨大損失，引發(fā)曠日持久的危機(jī)。最終由美國政府花費(fèi)USD160million救市。
  • Lesson learned：
    • Asset liability Management：公司應(yīng)當(dāng)管理器資產(chǎn)負(fù)債表；
    • Duration Matching Tools：久期匹配，利率風(fēng)險(xiǎn)的敏感程度應(yīng)當(dāng)相同。
• Sachsen 薩克森地方銀行
  • 事件簡介：在都柏林專門進(jìn)行MBS產(chǎn)品投資，然而MBS的AAA產(chǎn)品質(zhì)量并不好。一開始公司獲得大量利潤，在金融危機(jī)爆發(fā)后，公司產(chǎn)生大量虧損。最終被Landsbank 收購。
• Barings, Nick Leeson 巴林銀行
  • 事件簡介：short straddle on Nikkei 224，后 double long in Nikker 225 futures.
• Orange County 橘子郡
  • 高杠桿投資復(fù)雜金融產(chǎn)品；
  • 投資交易員：Robert Citron；
  • 對自己所持頭寸的風(fēng)險(xiǎn)一無所知，沒有足夠的風(fēng)險(xiǎn)管理知識對利率變化進(jìn)行壓力測試。
• Enron 安然
  • 管理層腐敗，集體財(cái)務(wù)造假。
• Lehman Brothers 雷曼兄弟
  • US 房產(chǎn)泡沫導(dǎo)致次貸市場崩潰是Lehman Brothers破產(chǎn)倒閉的主要原因；
  • Lehman 短期融資巨額資金，投資到流動性差的房地產(chǎn)市場中，因此出現(xiàn)liquidity問題；
  • Lehman杠桿過高；
  • Barclays 與 Bank of America 等都曾經(jīng)想收購 Lehman Brothers，但最終以失敗告終，因此Lehman Brothers最終以倒閉收場；

Quantitative Analysis

Probability & Statistics

IQR (interquartile range)

• 定義: ${\alpha }_{0.75}?{\alpha }_{0.25}$；
• 即使變量嚴(yán)重肥尾分布，但是分位數(shù)也不受極端值影響，總是可以"robust to apply and well-defined"；
• IQR與標(biāo)準(zhǔn)差類似，反應(yīng)都是觀測值的離散程度（measure of dispersion）而不是中心趨勢（central tendency）。

skewness與kurtosis

• Leptokurtic 尖峰， Platykurtic 矮峰；
• 要注意題目中給的是excess kurtosis還是kurtosis，例如題目中給到excess kurtosis=2.9761，非常tricky；
• 肥尾一般對應(yīng)著尖峰。

Lognormal

• 對數(shù)正態(tài)，卡方分布與F分布的PDF圖形相似，均為右偏，且以零為下界；
• 對數(shù)正態(tài)分布常用語對資產(chǎn)的價(jià)格進(jìn)行建模。

常用特征數(shù)的計(jì)算

$\begin{array}{rl}& \rho (a+bX,c+dY)=\mathrm{sgn}b\mathrm{sgn}d\rho (X,Y)\\ & \mathrm{Cov}(a+bX,c+dY)=bd\mathrm{cov}(X,Y)\\ & \mathrm{skew}(aX+b)=\mathrm{sgn}a\mathrm{skew}(X)\\ & \mathrm{kurt}(aX+b)=\mathrm{kurt}(X)\end{array}$

評價(jià)統(tǒng)計(jì)量

• unbiased：統(tǒng)計(jì)量的期望與總體參數(shù)相同；
  • 一個無偏的估計(jì)量在經(jīng)過線性運(yùn)算后是無偏的，而經(jīng)過非線性運(yùn)算通常是有偏的。例如：通過無偏的協(xié)方差與方差計(jì)算的相關(guān)系數(shù)是有偏的；樣本方差的估計(jì)量是無偏的，樣本的標(biāo)準(zhǔn)差是有偏的。
  • 協(xié)方差與方差的計(jì)算無偏估計(jì)量時(shí)對應(yīng)的自由度都是
• consistent：隨著樣本容量的增加，估計(jì)的準(zhǔn)確性增加，抽樣誤差減少；
• efficient：在所有無偏統(tǒng)計(jì)量中，擁有更小的方差。

BLUE (Best Linear Unbiased Estimator)

• 在所有線性、無偏估計(jì)的統(tǒng)計(jì)量中，方差最小的統(tǒng)計(jì)量；
• 比較的前提是線性、無偏，也就是要在"among all linear unbiased estimators"中確定方差最小的；
• 在非線性的估計(jì)量中可能存在更優(yōu)的估計(jì)量。

Hypothesis Testing

置信區(qū)間

• 置信度相同時(shí)，t分布于正態(tài)分布有更寬的置信區(qū)間；
• Significance level 代表了觀察值落在置信區(qū)間之外的概率；
• 有時(shí)在計(jì)算置信區(qū)間時(shí)，不能得到具體的數(shù)值區(qū)間，而只能計(jì)算區(qū)間長度。通過比較選項(xiàng)中的區(qū)間長度從而得到選項(xiàng)。

檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量

• 檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量(t-statistics/z-statistics) >關(guān)鍵值，拒絕原假設(shè)；

• T分布于F分布是常用于假設(shè)檢驗(yàn)的分布，當(dāng)檢驗(yàn)兩個均值是否相等時(shí)用t分布；如果想要檢驗(yàn)?zāi)Ｐ驼w(as a whole)是否具有解釋力度，則應(yīng)使用F-test；

• 題目中若提及大樣本（一般而言）則有中心極限定理可認(rèn)為該樣本服從正態(tài)分布；

• 檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的選擇：

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Type I error & Type II error

• I 類錯誤在于拒真；二類錯誤在于存?zhèn)?#xff1b;

• 顯著性水平的降低會減少I類錯誤，增加II類錯誤；

• 樣本容量的減少會增加I類錯誤及II類錯誤。

• Power of the test：檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)力，拒絕錯誤假設(shè)的概率。發(fā)生二類錯誤的概率為 **;

P Value

• 含義：拒絕原假設(shè)最小的顯著性水平；
• 若 significance level > p，則拒絕原假設(shè)；

Jarque-Bera Test

• 假設(shè)檢驗(yàn)，用來檢驗(yàn)隨機(jī)變量是否服從正態(tài)分布；
• H0：隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，偏度=0，峰度=3；

常用數(shù)據(jù)

• 雙尾標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布中，依賴因子及其對應(yīng)的置信區(qū)間：

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Linear Regression

一元線性回歸

$\beta =\frac{\mathrm{cov}(X,Y)}{\mathrm{Var}(X)},\alpha =Y?\beta X$;

$R^2=\frac{ESS}{TSS}=\frac{TSS?RSS}{TSS}$，其含義為因變量有R2比例的內(nèi)容可以被自變量解釋 ;

在一元線性回歸中，$\rho =R$ ；

R2的范圍為[0,1]，而adj R2 可以為負(fù),且adj R2定不大于R2；

$\text{?adj?}{R}^2=1?\left(\frac{n?1}{n?k?1}\right)\left(1?R^2\right)$,其中n為樣本容量，k為自變量個數(shù)；

新變量的引入會使R2 與 adj. R2 增加，因此要判斷一個變量是否統(tǒng)計(jì)顯著只能通過假設(shè)檢驗(yàn)；

多元線性回歸

例

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• Intercept：B0，X1：B1，X2：B2 …；
• 在比較時(shí)將各自變量的p值與與significant level比較（本題為5%）；
• 總體統(tǒng)計(jì)量的表現(xiàn)程度在ANOVA表格中，例如計(jì)算R2以及判斷F檢驗(yàn)p value顯著性等。

回歸時(shí)可能出現(xiàn)的問題：

• Heteroskedasticity：異方差

  • 回歸殘差的方差會隨著自變量的變化而變化；
  • 不會影響最小二乘法下的無偏性，但是會影響最小二乘法的一致性；

• Multicollinearity：多重共線性

  • 多重共線性不會影響最小二乘法的無偏性；

• Perfect collinearity：完全共線性/啞變量陷阱

  • 同時(shí)設(shè)出所有的啞變量再加上結(jié)局項(xiàng)就會導(dǎo)致問題，類似于“自由度”溢出，例：

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  • 會導(dǎo)致嚴(yán)重問題，使得分母為零，計(jì)算機(jī)出錯；

• Omitted variables：遺漏變量

  • 會導(dǎo)致不滿足無偏性與一致性；

模型的檢驗(yàn)優(yōu)化

GtS (Generate to Specific)

• 基本思想：從具有較多變量的大模型入手，逐步剔除不顯著的變量，直到所有的變量相關(guān)系數(shù)都顯著為止，最終得到的模型不存在變量不顯著的情況；

m-fold cross-validation

• 利用樣本外數(shù)據(jù)做模型檢驗(yàn)，計(jì)算RSS最小的模型作為候選模型；

Dependences 各種相關(guān)系數(shù)

• 一元線性回歸中，自變量因變量都標(biāo)準(zhǔn)化后，回歸系數(shù)=相關(guān)系數(shù)；
• Kendal’s tau & Spearman’s correlation
  • Kendal’s tau 范圍為[-1,1]，跟規(guī)模變化無關(guān)；
  • Spearman’s correlation & Kendal’s tau 只考慮隨機(jī)變量的排序，不考慮隨機(jī)變量本身的取值；因此對隨機(jī)變量進(jìn)行單調(diào)遞增不會改變該數(shù)值，其對異常值不敏感；
• Pearson Correlation
  • 用于測量線性相關(guān)；
  • $\beta =\rho \frac{{\sigma }_Y}{{\sigma }_X}$；
  • 線性相關(guān)系數(shù)在應(yīng)用在異方差上沒有區(qū)別；

Time Series

White Noise

• 殘差項(xiàng)${\epsilon }_t$ 為 serially uncorrelated，無法得出${\epsilon }_t$ 是獨(dú)立白噪聲；
• one-step-ahead forecast的殘差為白噪聲表明模型較優(yōu)；

AR, MA, ARMA 模型與檢驗(yàn)

• AR(1)

  • 含有參數(shù)$\phi$，當(dāng)$|\phi |<1$ 時(shí)協(xié)方差平穩(wěn)；
  • AR模型的長期預(yù)測值與均值復(fù)歸水平：$\frac{截距}{1?斜率}$ ；
  • 體現(xiàn)了一個隨機(jī)過程及其前一期的值之間的關(guān)系；

• MA(1)

  • 含有參數(shù)$\theta$ , 其對于任何取值都是方差平穩(wěn)的；

• As time lag length increases:

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• Box-Pierce統(tǒng)計(jì)量

  • 檢驗(yàn)ARMA模型，檢驗(yàn)所有的殘差項(xiàng)之間的自相關(guān)系數(shù)同時(shí)為0的原假設(shè)；
  • 其滯后項(xiàng)h不是越大越好，而應(yīng)保持適中；

ACF&PACF

• ACF：自相關(guān)函數(shù)
  • 衡量時(shí)間序列某一組數(shù)據(jù)和滯后h期的數(shù)據(jù)之間的相關(guān)性；
  • ACF的絕對值越大，相關(guān)性越強(qiáng)；
• PACF：偏自相關(guān)函數(shù)
  • 衡量的是$y_t,y_{t?\tau }$ 之間的自相關(guān)函數(shù)，且保持其之間的變量不變；

協(xié)方差平穩(wěn)

• 期望值恒定、方差恒定、自協(xié)方差恒定，可以用歷史數(shù)據(jù)預(yù)測未來樣本的數(shù)據(jù)；

Random Walk

• 初始值Y0與各期的沖擊對未來數(shù)值Yt有相同的權(quán)重；
• 任意一期沖擊對于未來值都將產(chǎn)生永久影響；
• 隨著時(shí)間推移，隨機(jī)游走會變得越來越發(fā)散；
• ADF(Augmented Dickey-Fuller)假設(shè)檢驗(yàn)：
  • H0：$\gamma =0$（時(shí)間序列是隨機(jī)游走）；
  • Ha：$\gamma <0$ （時(shí)間序列是協(xié)方差平穩(wěn)的）；

Time Trend

• 若時(shí)間序列有恒定增長率，則應(yīng)當(dāng)用log-linear trend而不是polynominal trend；
• 季節(jié)性應(yīng)當(dāng)通過啞變量進(jìn)行體現(xiàn)；
• 季節(jié)性與時(shí)間趨勢是非平穩(wěn)的時(shí)間序列，其殘差項(xiàng)不是白噪聲；
• cycle是指排除季節(jié)性與時(shí)間趨勢的其他波動性；

Monte Carlo & Boot Strapping

Monte Carlo

• 輸出結(jié)果的質(zhì)量受到輸入?yún)?shù)質(zhì)量較大的影響；
• Monte Carlo模擬要依賴于某一分布，其分布可以是lognormal distribution等；
• 缺點(diǎn)為計(jì)算量大；
• 在模擬過程中，通過增加模擬次數(shù)減少標(biāo)準(zhǔn)誤的計(jì)算成本較高；
• 誤差減少方法：
  • Control Variables
    • 模擬一個更為熟悉的變量以減少誤差；
  • Antithetic Variables
    • 構(gòu)建與原先變量完全負(fù)相關(guān)的對偶變量；
• Data Generating Process （DGP）是進(jìn)行Monte Carlo的一個步驟；

Bootstrapping

• Bootstrapping算法，指的就是利用有限的樣本資料經(jīng)由多次重復(fù)抽樣，重新建立起足以代表母體樣本分布的新樣本。bootstrapping的運(yùn)用基于很多統(tǒng)計(jì)學(xué)假設(shè)，因此假設(shè)的成立與否影響采樣的準(zhǔn)確性。
• Bootstrapping不對數(shù)據(jù)的分布進(jìn)行假設(shè)；
• 當(dāng)金融市場出現(xiàn)大型震動時(shí)，會極大程度影響模擬效果；
• 并不保證樣本空間中的所有取值都會被抽到；

Application

VaR

• 假設(shè)稀有事件服從伯努利分布；

• 實(shí)驗(yàn)總數(shù)為觀測天數(shù)；

• 為稀有事件發(fā)生的概率；

• 例

  • Question:

    1-day 99% VaR. Assuming the model is correctly calibrated, and all exceedances are independent of each other, what is the probability that there are exactly six exceedances over a period of 250 trading days.

  • Answer:

    $\begin{array}{rl}& n=250,p=1?VaR=1\%,X=6\\ & P(X=6)=C_{250}^6(0.01{)}^6(0.99{)}^{244}=2.75\%\end{array}$

[

Portfolio

• 例

  • Question:

    [外鏈圖片轉(zhuǎn)存失敗,源站可能有防盜鏈機(jī)制,建議將圖片保存下來直接上傳(img-NYRNxSYX-1648540741672)(FRM_1%204012f/Untitled%2014.png)]

    $\rho =0.3$

    What is the probability of the portfolio return is less than
    11.8%?

• Answer:

  • 計(jì)算單個資產(chǎn)的權(quán)重：${\omega }_A=\frac{40000}{40000+60000}=0.4,{\omega }_B=0.6$;

  • 計(jì)算投資組合標(biāo)準(zhǔn)差：${\sigma }_p=\sqrt{{\omega }_A^2{\sigma }_A^2+{\omega }_B^2{\sigma }_B^2+2{\omega }_A{\sigma }_A{\omega }_B{\sigma }_B\rho }=15.2\%$

  • 計(jì)算投資組合期望收益率：$R_p={\omega }_A{R}_A+{\omega }_B{R}_B=8.6\%$

  • 此時(shí)該投資組合服從分布：$R_p～N(8.6\%,0.152^2)$

  • 正態(tài)分布計(jì)算可得最終所求為：$Z(0.21)=58.32\%$

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的FRM1 P1B1P1B2 整理笔记的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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