關于IEEE 754標準下的浮點數

（全文以64位為例，規定64位中包括1位符號位，11位階碼和52位尾數）

1.符號位

沒什么可說的，一位，分正負罷了。

2.階碼

階碼由于偏移量的存在，其值會被加上1023（在IEEE754中特殊規定的，純粹為了方便計算）。
例如：
如果本來是2的5次方，那么轉換后將會是1028，即（10000000100）₂；
如果是2的-1次方，轉換后將會是1022，即（01111111110）₂。

那么階碼的取值，在0至2047之間。其中，0和2047是特別的，如果是2047，那么無論尾數是多少，這個數都是無窮大，即溢出。而當階碼是0時，將分開另講。

3.尾數

（1）一般情況，也稱規格化情況

在階碼為1至2046時，尾數前有一位隱藏位，默認置1，小數點默認在尾數第一位之前。
例如：
尾數為0000…000（52個0），那么實際上表示的數是1.000…000（52個0）；
尾數為101010000…0（自行湊52位吧），那么實際上表示的是1.101010000…0。
這么做的原因自然是能多一位，更精確。

至此，可以得知：階碼為1至2046（即不是全0或全1時），一個64位浮點數的值是：
(1.尾數）×2^{（階碼-1023）}（記得看符號位分正負）

（2）特殊情況，非規格化

階碼為0的情況
此時尾數前無隱藏位，小數點默認在尾數第一位與第二位之間。
例如：
尾數為100…0（51個0）表示（1.00…0）₂（51個0）而不是（1.100…0）₂（51個0），不再具有隱藏位。
尾數為00…001（51個0）表示（0.000…0001）₂=2^-51，小數點后是50個0，而不是（1.00…001）₂也不是（0.00…001）₂=2^-52（不是小數點后51個0）。
至此，可以得知，階碼為全0時，64位浮點數的值是：
（小數點加在一二位之間的尾數）×2^-1023

階碼全1的情況
認為此數超出上界，溢出。

4.結論

由上邊的分析可以最終得出：

絕對值最小值：階碼全0，尾數為00…01（51個0）時，對應的值是（0.00…01）₂×2^-1023(小數點后50個0），即2^(-51-1023)=4.94e-324約為5×10^-324

絕對值最大值：階碼為11…10，尾數全1時，對應的值是（1.11…1）₂×2¹⁰²³（小數點后52個1），即
(2-2^-52)×2¹⁰²³=1.7977e+308約為1.8×10³⁰⁸

需要注意的是，若要使用浮點數表示整數，僅能表示到（1.11…1）₂×2⁵²（小數點后52個1），即
2⁵³-1=9007199254740991，約為9×10^15，并不像某些一知半解的人所謂“double根本不能表示任何整數”，也不是任何時候都使用double都可以，不過它至少比int大，但顯然沒有也不應該有long大（畢竟都是64位）。
由于只有尾數擁有精確度，階碼僅能表示數量級，故認為其最小精度為2^-52，約為2.22×10^-16。（并不是說其表示的數與數之間的間隔是10^-16，這太可笑了）個人認為，是在階碼相當的情況下，數與數之間的相對間隔，這種類似的概念。

老生常談：絕對值超出上界上溢，溢出處理報錯；絕對值超出下界下溢，按機器0處理，不報錯。

double擁有0與-0，符號位分別為0和1，其余位全0。編碼上是有區別的，c++中計算1.0/0.0和1.0/-0.0分別得到INFINITY與–INFINITY，或許這就是其根本原因。

參考：

https://www.boatsky.com/blog/26
https://blog.csdn.net/abcdu1/article/details/75095781
（第二篇里推薦的工具很好用，貼過來嘻嘻）
進制轉換工具：
http://tool.oschina.net/hexconvert/
單精度浮點數內存中編碼：
https://www.h-schmidt.net/FloatConverter/IEEE754.html
雙精度浮點數內存中編碼：
http://www.binaryconvert.com/convert_double.html

總結

以上是生活随笔為你收集整理的关于IEEE 754双精度浮点数（double）的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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