IEEE-754雙精度浮點數

IEEE二進制浮點數算術標準（IEEE 754）規定了四種表示浮點數值的方式：單精確度（32位）、雙精確度（64位）、延伸單精確度（43比特以上，很少使用）與延伸雙精確度（79比特以上，通常以80位實現），本文介紹64位雙精度浮點數。

存儲結構

IEEE-754雙精度浮點數(double floating-point)存儲為64bit，由符號位(s)、有偏指數(e)、小數部分(f)組成：

組成描述位數位置

sign	符號，0表示正，1表示負	1bit	63
exponent	指數部分	11bit	52-62
fraction	小數部分	52bit	0-51

類型劃分

11位的指數部分可存儲00000000000 ~ 11111111111（十進制范圍為0 ~ 2047），取值可分為3種情況：

11位指數不為00000000000和11111111111，即在00000000001 ~ 11111111110（1 ~ 2046）范圍，這被稱為規格化。

指數值為00000000000（0），這被稱為非規格化

指數值為11111111111（2047），這是特殊值，有兩種情況：

• 當52位小數部分f全為0時，若符號位是0，則表示+Infinity(正無窮)，若符號位是1，則表示-Infinity(負無窮)
• 當52位小數部分f不全為0時，表示NaN(Not a Number)

規格化

規格化下，浮點數的形式可表示為：
$$(?1{)}^s\times 1.\underset{f(有效52位)}{bbb?b}(\underset{53位及以后}{ccc?})\times 2^{e?1023}(0<e<2047)$$
其中：

• s為0或1，0表示正數，1表示負數，對應1bit的符號位
• f為52位有效位，其中的每一位b是0或1，對應52bit的小數部分（不足52位補0）
• c是超出52位的部分（如果有的話，需要舍入（精度會丟失），規則下述）
• e為十進制數值，其11位的二進制數值對應11bit的指數部分
• 1023為移碼，移碼值為 $2^{n?1}?1$，這里的n表示指數位數，對于64bit的雙精度存儲，n是11

十進制中，12345可表示為$1.2345\times 10^4$；二進制中，10011可表示為$1.0011\times 2^4$

先看個簡單例子，計算2.25的雙精度浮點數：

2.25轉為二進制為10.01，10.01轉為上述表示法為 $1.\underset{f}{001}\times 2^1$，可得：

• 數值為正，因此符號位是0
• 小數為001，不足52位，補0，得到
  $$\underset{001后49個0共52位}{0010000000000000000000000000000000000000000000000000}$$
• 指數e-1023 = 1，則 e = 1024，二進制值為$\underset{11位}{10000000000}$

綜上，將1位符號、11位指數、52位小數整合可得到2.25的雙精度浮點數表示：
$$\underset{s}{0}\underset{e}{10000000000}\underset{f}{0010000000000000000000000000000000000000000000000000}$$
上述步驟反向操作可得到十進制值

上面這個例子中，小數部分不存在舍入的問題（位數小于52位），那么如果小數超出了52位，如何處理呢？有以下幾種情況：

1、第53位是0，無需處理
2、第53位是1且53位之后全是0：

• 若第52位是0，無需處理；
• 若第52位是1，那么向上舍入

3、第53位是1，且之后不全是0：那么向上舍入

再看一個例子，計算23.3的雙精度浮點數：
23.3轉為二進制為
$$10111.0100110011001100110011001100110011001100110011001100\underset{1100循環}{?}$$
改寫為
$$1.\underset{52位}{0111010011001100110011001100110011001100110011001100}\underset{1100循環}{1100?}\times 2^4$$
數值為正，因此符號位是0；指數e -1023 = 4，e = 1027 = 10000000011，因此指數部分是10000000011；小數位無限循環，53位是1且之后不全是0，符合上述規則3，因此向上舍入，第52位由0變為1，最終小數部分為：
$$0111010011001100110011001100110011001100110011001101$$
整合后得到23.3的雙精度浮點數表示：
$$\underset{s}{0}\underset{e}{10000000011}\underset{f}{0111010011001100110011001100110011001100110011001101}$$

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非規格化

非規格化可用以下形式表示（小數點前面是0）：
$$(?1{)}^s\times 0.\underset{f(52位)}{bbb?b}\times 2^{e?1022}(e=0)$$
當$f=0$（52位小數全為0）時，表示的值是0：$s=0$表示-0，$s=1$表示+0

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特殊值

當$e=2047$（11位指數全為1）時：

• 若$f>0$，表示NaN
• 若$f=0,s=0$，表示+Infinity
• 若$f=0,s=1$，表示-Infinity

數值范圍

1、在規格化中，當指數e最大（前10位為1，11位為0，即2046）且小數f最大（52位全為1）時，能表示出最大正值，為
$$1.\underset{52個1}{111?11}\times 2^{2046?1023}=\underset{53個1}{111?11}\underset{971個0}{000?00}$$
轉為十進制值為1.7976931348623157e+308，則能表示的最小負值為-1.7976931348623157e+308。

2、在規格化中，當指數e最小（前10位為0，11位為1，即1）且小數f最小（52位全為0）時，能表示出最小正值，為
$$1.\underset{52個0}{000?00}\times 2^{1?1023}=0.\underset{1021個0}{000?00}1$$
轉為十進制值為2.2250738585072014e-308，則能表示的最大負值為-2.2250738585072014e-308。

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在非規格化中，指數e為0
1、當小數f最大（52位全為1）時，能表示出最大正值，為
$$0.\underset{52個1}{111?11}\times 2^{?1022}=0.\underset{1022個0}{000?00}\underset{52個1}{111?11}$$
轉為十進制值為2.225073858507201e-308，則最小負值為-2.225073858507201e-308

2、當小數f最小（前51位為0，52位為1）時，能表示出最小正值，為
$$0.\underset{第52位為1}{000?01}\times 2^{?1022}=0.\underset{1073個0}{000?00}1$$
轉為十進制值為5e-324，則最大負值為-5e-324

整數范圍（精確整數，無精度丟失）

當 e - 1023 = 52，即e = 1075，小數f最大（52位全為1）時，能表示出最大安全正整數，為
$$1.\underset{52個1}{111?11}\times 2^{52}=\underset{53個1}{111?11}$$
轉為十進制值為$2^{53}?1$ = 9007199254740991，則能表示的最小安全負整數為-9007199254740991

總結

1、javascript中的數值統一采用IEEE-754雙精度存儲，因此在計算時可能出現精度丟失，導致奇怪的結果，如 0.1 + 0.2 !== 0.3

2、下表列出了IEEE-754中的數值邊界值，其中某些值對應javascript中的數值常量

-最小負值最大負值最小正值最大正值最小安全負整數最大安全正整數

規格化	-1.7976931348623157e+308	-2.2250738585072014e-308	2.2250738585072014e-308	1.7976931348623157e+308(Number.MAX_VALUE)	-9007199254740991(Number.MIN_SAFE_INTEGER)	9007199254740991(Number.MAX_SAFE_INTEGER)
非規格化	-2.225073858507201e-308	-5e-324	5e-324(Number.MIN_VALUE)	2.225073858507201e-308	x	x

IEEE 754可以表示的數值范圍是：
$$[?1.7976931348623157\times 10^{308},?5\times 10^{?324}]\cup [5\times 10^{?324},1.7976931348623157\times 10^{308}]$$
超過1.7976931348623157e+308為Infinity，小于-1.7976931348623157e+308為-Infinity，在(-5e-324,5e-324)之間的數顯示為0

總結

以上是生活随笔為你收集整理的IEEE-754 64位双精度浮点数存储详解的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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