本講我們來探討動態規劃算法中一個常見的問題最長公共子序列即LCS(Long Common Sequence)。

首先我們來看一下問題描述：

有兩個序列X和Y，其中

X = {x1, x2, ..., xm}

Y = {y1, y2, ..., yn}

求X和Y的最長公共子序列長度。

例如：X={1, 3, 5, 9, 10}? Y={1, 4, 9, 10}，則X和Y的最長公共子序列的長度為3，其中一個序列為{1，9，10}。

解題思路：

步驟1：用函數的形式來表示結果。

設f(x,y) = z，該函數表示X序列的長度為x, Y序列的長度為y，則XY序列的最長公共子序列長度為z。

所以題目要求解的便是f(m,n)的值。

步驟2：分析遞推情況。

接下來我們來分析一般情況即f(i,j)的求解。

f(i,j)表示有兩個序列

X = x1, x2, ..., xi

Y = y1, y2, ..., yj

如何求這兩個子序列的最長公共子序列的長度。

所謂的遞推關系分析其實就是分析f(i)與f(i-1)、f(i-2)...或f(0)等之間的關系，由于本題是二元函數關系，故就是分析f(i,j)與f(i-1,j-1)、f(i-1,j)、 f(i, j-1)等之間的關系。

首先我們來看一下f(i,j)與f(i-1, j-1)之間的關系。

f(i,j)表示的是規模分別為i和j的兩個序列的最長公共子序列的長度，而f(i-1, j-1)表示的是規模分別為i-1和j-1的兩個子序列的最長公共子序列的長度。

這兩者之間有什么聯系呢？

假設我們現在已經知道f(i-1, j-1)的最長公共子序列的長度，現在要求f(i,j)函數的值，你該如何求解？

當兩個序列的最后一個元素相等時，此時f(i,j)的值應該就是f(i-1, j-1) 的值加上1，即

f(i,j) = f(i-1, j-1) + 1， 這種情況比較好理解。

當兩個序列的最后一個元素不等時，則我們需要考慮f(i-1, j)和f(i, j-1)的最大值，即max{f(i-1, j), f(i, j-1)}。

綜上，我們可以得出下面的遞推關系式：

步驟3：算法實現

算法實現我們將開辟新的文章來講解，敬請期待。

總結：

無論什么樣的動態規劃題目我們基本都可以按照上面的思路來求解，步驟一其實就是問題的分解，尋找合適的自變量來控制問題的規模，步驟二的遞推關系分析也有一定的規律可循，后面將開辟新的文章來分析。

總結

以上是生活随笔為你收集整理的lcs算法c语言代码,动态规划算法-LCS的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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