一、什么是LCS

LCS（Longest Common Subsequence）是最長公共子序列。顧名思義，就是兩個或多個已知序列的最長的公共的子序列。那么什么是子序列呢？

字符子序列：簡單來說就是去掉一個字符串中的某些字符（可以不連續(xù)）后剩下的新字符串（不可調(diào)整字符順序）。例如字符串a(chǎn)bcdefg,那么新字符串a(chǎn)bcd,aceg就是原字符串的字符子序列，但是abcd,geca就不是，這是因為后兩個字符串的順序不符合原字符串。

二、提取LCS的方法原理

1. 求LCS的長度

我們用兩個字符數(shù)組
a[m],b[n],
表示要提取出LCS的兩個原字符串，

二維數(shù)組
lenlcs[i][j]
表示字符數(shù)組a[i],b[j]（表示原字符數(shù)組取前i,j個元素的子字符數(shù)組）的LCS的長度并初始化為0。

注意: 當(dāng)i和j取定一個值時，lenlcs[i][j] 就等于一個數(shù)，這個數(shù)是原字符數(shù)組（字符串）a[m],b[n] 分別取前i和j個字符所得兩個新字符串的LCS的長度。

首先考慮兩個原字符數(shù)組的最后一項，假設(shè)現(xiàn)在的a[i]和b[j]分別表示原字符數(shù)組的最后一個元素，那么就分為了以下兩種情況：

① a[i] == b[j]

那么LCS的最后一個字符就是a[i]或b[j]。
這一點(diǎn)可以用反證法證明：如果LCS最后一個字符不是a[i]或b[j]，那么就可以在所謂的LCS末尾加上a[i]或b[j]而使得LCS更長（長度+1）。此時LCS的長度就等于原字符數(shù)組分別去掉最后一個字符后的兩個新字符數(shù)組的LCS的長度加上1，即：

lenlcs[i][j] = lenlcs[i-1][j-1] + 1

② a[i] != b[j]

那么就要考慮去掉原字符數(shù)組最后一個元素后的兩個字符數(shù)組（一個字符數(shù)組去掉最后一個元素，一個不去掉）的LCS，這是因為既然最長的原字符數(shù)組的最后一個元素不參與構(gòu)成LCS，那就要考慮短一點(diǎn)的原字符數(shù)組，那就將兩個原字符數(shù)組中的一個去掉一個字符構(gòu)成新的兩個原字符數(shù)組，再比較這兩個新原字符數(shù)組的最后一個元素。

顯然，我們要取使得新的LCS更長的兩個原字符數(shù)組，即：

lenlcs[i][j] = max { lenlcs[i-1][j] , lenlcs[i][j-1] }

小結(jié)

根據(jù)以上兩種情況

lenlcs[i][j] =
lenlcs[i-1][j-1] + 1 , 當(dāng) a[i] == b[j]；
max { lenlcs[i-1][j] , lenlcs[i][j-1] } , 當(dāng) a[i] != b[j] 。

max部分可以再分開為兩種小情況，總的來說不考慮結(jié)束條件是三種小情況。

顯然，當(dāng) i=0 或 j=0 時 lenlcs[i][j]=0 （當(dāng)某一個原字符串長度為0時就沒有子字符序列，當(dāng)然對應(yīng)的LCS長度為0）。
雖然我們推導(dǎo)時是從 lenlcs[i][j] 開始由后向前，但我們計算時就可以根據(jù)這個式子由前向后（從 i , j 等于0時開始）求出每一個 i , j 對應(yīng)的 lenlcs[i][j]，最終 lenlcs[m][n] 就表示最初的字符數(shù)組 a[m],b[n] 的LCS的長度。

核心代碼

void clenlcs()//求LCS的長度 {int i,j;for(i=1;i<=m;++i)//從1開始，防止出現(xiàn)lenlcs[-1][-1] {for(j=1;j<=n;++j)//對應(yīng)三種小情況 {if(a[i-1]==b[j-1])//因為i,j從1開始，所以a[0]就是a[i-1]lenlcs[i][j]=lenlcs[i-1][j-1]+1;//注意a[0],b[0]對應(yīng)lenlcs[1][1],而不是lenlcs[0][0]else if(lenlcs[i-1][j]>lenlcs[i][j-1])//當(dāng)然也可以寫成>=lenlcs[i][j]=lenlcs[i-1][j];elselenlcs[i][j]=lenlcs[i][j-1];}}//可以在這個位置輸出lenlcs[m][n],也可以單獨(dú)寫一個output函數(shù)連同之后求出的LCS一起輸出。}

2. 求LCS

我們用字符數(shù)組
lcs[x]
來存放LCS

同樣的，需要考慮以下兩種情況：

① a[i] == b[j]

那么
lcs[k]= a[i]
或
lcs[k]= b[j]

② a[i] != b[j]

那么需要考慮 lenlcs[i-1][j] 和 lenlcs[i][j-1] 的大小，取大的，并繼續(xù)比較 a[i-1] 和 b[j] ，或 a[i] 和 b[j-1] 。當(dāng)然比較過程也可以再分為兩種小情況。

最后結(jié)束循環(huán)的條件是 i=0 或 j=0 。

由此可以得到倒序排列的LCS，通過函數(shù)再倒序一次就可以得到真正的LCS。

核心代碼

void clcs()//求LCS{int i,j,k=0;i=m;//strlen(a)j=n;//strlen(b)while(i!=0 && j!=0)//對應(yīng)三種小情況 {if(a[i-1]==b[j-1])//用i-1,j-1是因為i,j最初等于m,n，沒有a[m],b[n]這兩個字符{lcs[k]=a[i-1];//在上面，k最初等于0--i;--j;++k;}else if(lenlcs[i-1][j]>lenlcs[i][j-1])//如果去掉a最后元素所得LCS長度大于去掉b最后元素，那么去掉a最后元素 --i;else if(lenlcs[i-1][j]<=lenlcs[i][j-1])--j;}turn();//調(diào)整LCS字符順序，這個函數(shù)也是自己寫的，可以在下面的完整代碼中找到。}

三、完整代碼

#include<iostream> #include<cstring> using namespace std;class test { private:char a[101],b[101],lcs[101];//假設(shè)原數(shù)組元素字符數(shù)量不超過100int m,n;//m=strlen(a),n=strlen(b)int lenlcs[101][101];//LCS的長度 public:test()//初始化，將lenlcs[][]和lcs[]中的所有元素初始化為0.{memset(lenlcs,0,sizeof(lenlcs));memset(lcs,0,sizeof(lcs));}void input(){cout<<"input string a and string b: ";cin>>a;cin>>b;m=strlen(a);n=strlen(b);}void turn()//調(diào)整LCS字符順序 {char llcs[101];int i,len=strlen(lcs);for(i=0;i<len;++i){llcs[i]=lcs[len-i-1];//將倒序后的字符串放入llcs[]}for(i=0;i<len;++i){lcs[i]=llcs[i];//將lcs等于llcs.}}void clenlcs()//求LCS的長度 {int i,j;for(i=1;i<=m;++i)//從1開始，防止出現(xiàn)lenlcs[-1][-1] {for(j=1;j<=n;++j)//對應(yīng)三種情況 {if(a[i-1]==b[j-1])//因為i,j從1開始，所以a[0]就是a[i-1]lenlcs[i][j]=lenlcs[i-1][j-1]+1;//注意a[0],b[0]對應(yīng)lenlcs[1][1],而不是lenlcs[0][0]else if(lenlcs[i-1][j]>lenlcs[i][j-1])//當(dāng)然也可以寫成>=lenlcs[i][j]=lenlcs[i-1][j];elselenlcs[i][j]=lenlcs[i][j-1];}}//可以在這個位置輸出lenlcs[m][n],也可以單獨(dú)寫一個output函數(shù)連同之后求出的LCS一起輸出。}void clcs()//求LCS{int i,j,k=0;i=m;//strlen(a)j=n;//strlen(b)while(i!=0 && j!=0)//對應(yīng)三種小情況 {if(a[i-1]==b[j-1])//用i-1,j-1是因為i,j最初等于m,n，沒有a[m],b[n]這兩個字符{lcs[k]=a[i-1];//在上面，k最初等于0--i;--j;++k;}else if(lenlcs[i-1][j]>lenlcs[i][j-1])//如果去掉a最后元素所得LCS長度大于去掉b最后元素，那么去掉a最后元素 --i;else if(lenlcs[i-1][j]<=lenlcs[i][j-1])--j;}turn();//調(diào)整LCS字符順序，這個函數(shù)也是自己寫的，可以在下面的完整代碼中找到。} void output(){clenlcs();clcs();cout<<"The Length of LCS: "<<lenlcs[m][n]<<endl;//注意不是lenlcs[m-1][n-1]cout<<"LCS: "<<lcs<<endl;} };int main() {test t;//abcicba abdkscabt.input();t.output();return 0; }

參考文章：
https://blog.csdn.net/lxt_lucia/article/details/81209962
https://blog.csdn.net/lz161530245/article/details/76943991

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的提取LCS的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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