【模板】負環

題目描述

給定一個 $n$ 個點的有向圖，請求出圖中是否存在從頂點 $1$ 出發能到達的負環。

負環的定義是：一條邊權之和為負數的回路。

輸入格式

本題單測試點有多組測試數據。

輸入的第一行是一個整數 $T$，表示測試數據的組數。對于每組數據的格式如下：

第一行有兩個整數，分別表示圖的點數 $n$ 和接下來給出邊信息的條數 $m$。

接下來 $m$ 行，每行三個整數 $u,v,w$。

• 若 $w\ge 0$，則表示存在一條從 $u$ 至 $v$ 邊權為 $w$ 的邊，還存在一條從 $v$ 至 $u$ 邊權為 $w$ 的邊。
• 若 $w<0$，則只表示存在一條從 $u$ 至 $v$ 邊權為 $w$ 的邊。

輸出格式

對于每組數據，輸出一行一個字符串，若所求負環存在，則輸出 YES，否則輸出 NO。

樣例 #1

樣例輸入 #1

2 3 4 1 2 2 1 3 4 2 3 1 3 1 -3 3 3 1 2 3 2 3 4 3 1 -8

樣例輸出 #1

NO YES

提示

數據規模與約定

對于全部的測試點，保證：

• $1\le n\le 2\times 10^3$，$1\le m\le 3\times 10^3$。
• $1\le u,v\le n$，$?10^4\le w\le 10^4$。
• $1\le T\le 10$。

提示

請注意，$m$ 不是圖的邊數。

題解

題意

傳送門：link

給你 $T$ 個圖，每個圖有 $n$ 個點和 $m$ 條由 $u$ 到 $v$ 邊權為 $w$ 的邊。

現給你這 $m$ 條邊，求圖中是否有負環。

做法

算法分析

根據題的大意我們可以看出，這是一道單源最短路的題目。

單源最短路算法有 dij 和 SPFA，那這道題應該用哪道算法呢？

我們看一下數據范圍：

• $1\le n\le 2\times 10^3$，$1\le m\le 3\times 10^3$。

• $1\le u,v\le n$，$?10^4\le w\le 10^4$。

• $1\le T\le 10$。

很明顯會有負環，這時 dij 就行不通了，我們就需要用 SPFA 了。

算法講解

SPFA 為能夠有效判斷負環的一種單源最短路算法，但其算法復雜度比不上 dij，在存在菊花圖的情況下，很容易原地爆炸。

但由于能夠判斷負環的性質，才使得它在同類最短路算法中沒有被淘汰（可應用于 Johnson 全源最短路算法中），其主要思想為貪心。

SPFA 的獨特性質在于他的一個點能夠不止一次進隊，這個特點有利也有弊，

利在于它可以通過入隊次數來判斷負環；

弊在于它容易被卡（關于SPFA，他死了）。

但在此題中它能完美勝任 dij（他不能判負環）。

算法實現

答題思路很簡單，先鏈式前向星存圖，再用 SPFA 遍歷即可，所以問題在于 SPFA 的整體框架。

收我們需要一個隊列，先把 $1$ 號點存進去，再遍歷到與 $1$ 號點所連接著的點，依次松弛、入隊，如果一個點入隊次數大于等于 $n$ 就直接輸出 YES 接著 return；如果隊列為空了，但依舊沒有輸出 YES 就輸出 NO。

Code

源代碼 - C++

//注釋極少版 #include <iostream> #include <cstring> #include <cstdio> #include <queue>using namespace std; int t,cnt; int dis[10001],v[10001]; int head[10001],tim[10001];struct Node{int to,next,dis; }edge[100001];void add(int t1,int t2,int t3) {//存圖cnt++;edge[cnt].to=t2;edge[cnt].dis=t3;edge[cnt].next=head[t1];head[t1]=cnt; }void SPFA_dui(int n) {queue<int> q;memset(dis,0x3f,sizeof(dis));memset(v,0,sizeof(v));memset(tim,0,sizeof(tim));//初始化dis[1]=0;v[1]=1;q.push(1);//加入 1while (!q.empty()) {int x=q.front();q.pop();v[x]=0;for (int i=head[x];i;i=edge[i].next) {//鏈式前向星遍歷int y=edge[i].to;if (dis[y]>dis[x]+edge[i].dis) {//relaxdis[y]=dis[x]+edge[i].dis;tim[y]=tim[x]+1;if (tim[y]>=n) {//有負環cout<<"YES"<<endl;return;}if (!v[y]) {//入隊v[y]=1;q.push(y);}}}}cout<<"NO"<<endl;}int main() {scanf("%d",&t);for (int i=1;i<=t;i++) {memset(head,0,sizeof(head));//有多組數據，記得清空int n,m;scanf("%d%d",&n,&m);for (int j=1;j<=m;j++) {int t1,t2,t3;cin>>t1>>t2>>t3;add(t1,t2,t3);if (t3>=0) {add(t2,t1,t3);}}SPFA_dui(n);cnt=0;} }

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總結

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