本題解為非官方題解，可能存在包括但不限于下列問題

• 答案錯誤
• 時間復雜度太高，無法在規定時間內得出結果

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填空題答案速覽

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10266837

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目錄

• 填空題
• • A 空間 (5分)
  • B 卡片 (5分)
  • C 直線 (10分)
  • D 貨物擺放 (10分)
  • E 路徑 (15分)
• 編程題
• • F 時間顯示 (15分)
  • G 砝碼稱重 (20分)
  • H 楊輝三角形 (20分)
  • I 雙向排序 (25分)
  • J 括號序列 (25分)

填空題

A 空間 (5分)

問題描述
小藍準備用 $256$ MB 的內存空間開一個數組，數組的每個元素都是 $32$ 位二進制整數，如果不考慮程序占用的空間和維護內存需要的輔助空間，請問 $256$ MB 的空間可以存儲多少個 $32$ 位二進制整數？

題解
計算機基礎

注意一字節等于八位
（因為考場電腦是32位系統，用 long long 會有奇奇怪怪的錯誤，而且python代碼更短，所以用python寫了）

print(256 * 1024 * 1024 * 8 // 32)

答案

67108864

B 卡片 (5分)

問題描述
小藍有很多數字卡片，每張卡片上都是數字 $0$ 到 $9$。
小藍準備用這些卡片來拼一些數，他想從 $1$ 開始拼出正整數，每拼一個，就保存起來，卡片就不能用來拼其它數了。
小藍想知道自己能從 $1$ 拼到多少。
例如，當小藍有 $30$ 張卡片，其中 $0$ 到 $9$ 各 $3$ 張，則小藍可以拼出 $1$ 到 $10$，但是拼 $11$ 時卡片 $1$ 已經只有一張了，不夠拼出 $11$。
現在小藍手里有 $0$ 到 $9$ 的卡片各 $2021$ 張，共 $20210$ 張，請問小藍可以從 $1$ 拼到多少？

提示：建議使用計算機編程解決問題。

題解
模擬

#include <bits/stdc++.h> using namespace std; int a[10]; bool solve(int x) {while (x) {if (a[x % 10] > 0) {--a[x % 10];} else {return false;}x /= 10;}return true; } int main() {for (int i = 0; i <= 9; ++i) {a[i] = 2021;}int p = 1;while (true) {if (!solve(p)) break;p++;}cout << p - 1 << endl;return 0; }

答案

3181

C 直線 (10分)

問題描述
在平面直角坐標系中，兩點可以確定一條直線。如果有多點在一條直線上，那么這些點中任意兩點確定的直線是同一條。
給定平面上 $2\times 3$ 個整點 $\{(x,y)|0\le x<2,0\le y<3,x\in Z,y\in Z\}$，即橫坐標是 $0$ 到 $1$ (包含 $0$ 和 $1$) 之間的整數、縱坐標是 $0$ 到 $2$ (包含 $0$ 和 $2$) 之間的整數的點。這些點一共確定了 $11$ 條不同的直線。
給定平面上 $20\times 21$ 個整點 $\{(x,y)|0\le x<20,0\le y<21,x\in Z,y\in Z\}$，即橫坐標是 $0$ 到 $19$ (包含 $0$ 和 $19$) 之間的整數、縱坐標是 $0$ 到 $20$ (包含 $0$ 和 $20$) 之間的整數的點。請問這些點一共確定了多少條不同的直線。

題解
計算幾何？

解法一
點兩兩連線，算出 $k,b$ 放進set里
（豎直和水平線另算，避免 $k$ 為 $0$ 或 $\infty$）

#include <bits/stdc++.h> using namespace std; #define N 502 #define X 21 #define Y 20 struct Point {int x, y;Point() {}Point(int _x, int _y) : x(_x), y(_y) {} } a[N]; int cnt_point; struct Line {double k, b;Line() {}Line(double _k, double _b) : k(_k), b(_b) {}bool operator<(const Line &y) const {if (k == y.k) {return b < y.b;}return k < y.k;} }; set<Line> e; void addedge(Point x, Point y) {if (x.x == y.x || x.y == y.y) return;double fm = (y.x - x.x) * 1.0;double k = (y.y - x.y) * 1.0 / fm;double b = (x.y * y.x - x.x * y.y) * 1.0 / fm;e.insert(Line(k, b)); } int main() {for (int x = 0; x < X; ++x) {for (int y = 0; y < Y; ++y) {a[cnt_point++] = Point(x, y);}}for (int i = 0; i < cnt_point; ++i) {for (int j = 0; j < cnt_point; ++j) {addedge(a[i], a[j]);}}cout << e.size() + X + Y << endl;return 0; }

解法二
用 $Ax+By+C=0$
其中 $A=y_1?y_2,B=x_2?x_1,C=x_1{y}_2?x_2{y}_1$
可以避免浮點運算導致的精度問題

注意 直線 $Ax+By+C=0$ 與 直線 $kAx+kBy+kC=0$ $(k\in Z,k=0)$ 相同，記錄時需要對 $A、B、C$ 進行化簡

代碼略

答案

40257

D 貨物擺放 (10分)

問題描述
小藍有一個超大的倉庫，可以擺放很多貨物。
現在，小藍有 $n$ 箱貨物要擺放在倉庫，每箱貨物都是規則的正方體。小藍規定了長、寬、高三個互相垂直的方向，每箱貨物的邊都必須嚴格平行于長、寬、高。
小藍希望所有的貨物最終擺成一個大的立方體。即在長、寬、高的方向上分別堆 $L、W、H$ 的貨物，滿足 $n=L\times W\times H$。
給定 $n$，請問有多少種堆放貨物的方案滿足要求。
例如，當 $n=4$ 時，有以下 $6$ 種方案：$1\times 1\times 4、1\times 2\times 2、1\times 4\times 1、2\times 1\times 2、2\times 2\times 1、4\times 1\times 1$。
請問，當 $n=2021041820210418$ （注意有 $16$ 位數字）時，總共有多少種方案？

提示：建議使用計算機編程解決問題。

題解
數論

對 $n$ 分解質因數
$2021041820210418=2\times 3\times 3\times 3\times 17\times 131\times 2857\times 5882353$

解法一
dfs 算方案放進 set 里

#include <bits/stdc++.h> #define ll long long using namespace std; ll n = 2021041820210418; ll a[102], cnt; struct Node {ll l, w, h;Node() {}Node(ll _l, ll _w, ll _h) : l(_l), w(_w), h(_h) {}bool operator<(const Node &y) const {if (l == y.l) {if (w == y.w) {return h < y.h;}return w < y.w;}return l < y.l;} }; set<Node> ans; void dfs(int p, ll l, ll w, ll h) {if (p == cnt) {ans.insert(Node(l, w, h));return;}dfs(p + 1, l * a[p], w, h);dfs(p + 1, l, w * a[p], h);dfs(p + 1, l, w, h * a[p]); } int main() {for (ll i = 2; i * i <= n; ++i) {if (n % i == 0) {a[cnt++] = i;n /= i;i--;}}a[cnt++] = n;dfs(0, 1, 1, 1);cout << ans.size() << endl;return 0; }

解法二
排列組合

注意到有 $3$ 個 $3$
$3^5\times (1+2+2+2+3)＝2430$

答案

2430

E 路徑 (15分)

問題描述
小藍學習了最短路徑之后特別高興，他定義了一個特別的圖，希望找到圖中的最短路徑。
小藍的圖由 $2021$ 個結點組成，依次編號 $1$ 至 $2021$。
對于兩個不同的結點 $a,b$，如果 $a$ 和 $b$ 的差的絕對值大于 $21$，則兩個結點之間沒有邊相連；如果 $a$ 和 $b$ 的差的絕對值小于等于 $21$，則兩個點之間有一條長度為 $a$ 和 $b$ 的最小公倍數的無向邊相連。
例如：結點 $1$ 和結點 $23$ 之間沒有邊相連；結點 $3$ 和結點 $24$ 之間有一條無向邊，長度為 $24$；結點 $15$ 和結點 $25$ 之間有一條無向邊，長度為 $75$。
請計算，結點 $1$ 和結點 $2021$ 之間的最短路徑長度是多少。

提示：建議使用計算機編程解決問題。

題解
圖論

解法一
根據題意建邊，跑最短路， Dijkstra 即可

#include <bits/stdc++.h> #define N 2022 #define M 100005 #define INF 0x3f3f3f3f using namespace std; int gcd(int x, int y) { return (x % y) ? gcd(y, x % y) : y; } int lcm(int x, int y) { return x / gcd(x, y) * y; } struct Edge {int v, w, nxt; } e[M]; int head[N], cnt; void addedge(int u, int v, int w) {e[++cnt].v = v;e[cnt].w = w;e[cnt].nxt = head[u];head[u] = cnt; } struct Node {int u, d;Node() {}Node(int _u, int _d) : u(_u), d(_d) {}bool operator<(const Node &x) const { return d > x.d; } }; int dis[N]; int dijkstra(int s, int t) {for (int i = 1; i < N; ++i) {dis[i] = INF;}dis[s] = 0;priority_queue<Node> q;q.push(Node(s, 0));while (!q.empty()) {Node tmp = q.top();q.pop();int u = tmp.u, d = tmp.d;if (d != dis[u]) continue;for (int i = head[u]; i; i = e[i].nxt) {int v = e[i].v, w = e[i].w;if (dis[v] > dis[u] + w) {dis[v] = dis[u] + w;q.push(Node(v, dis[v]));}}}return dis[t]; } int main() {for (int i = 1; i < N; ++i) {for (int j = 1; j < N; ++j) {if (abs(i - j) <= 21) {addedge(i, j, lcm(i, j));}}}cout << dijkstra(1, 2021) << endl;return 0; }

解法二
用 Floyd 跑最短路
雖然時間復雜度為 $O(n^3)$ ，但是代碼比 Dijkstra 短得多啊！
有寫 Dijkstra 的時間 Floyd 早就跑完了

代碼略

答案

10266837

編程題

以下題目時間限制均為 1.0s，內存限制均為 256.0MB

F 時間顯示 (15分)

問題描述
小藍要和朋友合作開發一個時間顯示的網站。在服務器上，朋友已經獲取了當前的時間，用一個整數表示，值為從 $1970$ 年 $1$ 月 $1$ 日 $00:00:00$ 到當前時刻經過的毫秒數。
現在，小藍要在客戶端顯示出這個時間。小藍不用顯示出年月日，只需要顯示出時分秒即可，毫秒也不用顯示，直接舍去即可。
給定一個用整數表示的時間，請將這個時間對應的時分秒輸出。

輸入格式
輸入一行包含一個整數，表示時間。
輸出格式
輸出時分秒表示的當前時間，格式形如 $HH:MM:SS$，其中 $HH$ 表示時，值為 $0$ 到 $23$，$MM$ 表示分，值為 $0$ 到 $59$，$SS$ 表示秒，值為 $0$ 到 $59$。時、分、秒不足兩位時補前導 $0$。

樣例輸入 1

46800999

樣例輸出 1

13:00:00

樣例輸入 2

1618708103123

樣例輸出 2

01:08:23

評測用例規模與約定
對于所有評測用例，給定的時間為不超過 $10^{18}$ 的正整數。

題解
模擬

注意 $1$ 秒 $=1000$ 毫秒

#include <bits/stdc++.h> #define ll long long using namespace std; ll n; ll hh, mm, ss; int main() {scanf("%lld", &n);n /= 1000;ss = n % 60;n /= 60;mm = n % 60;n /= 60;hh = n % 24;printf("%02lld:%02lld:%02lld\n", hh, mm, ss);return 0; }

G 砝碼稱重 (20分)

問題描述
你有一架天平和 $N$ 個砝碼，這 $N$ 個砝碼重量依次是 $W_1,W_2,?,W_N$。請你計算一共可以稱出多少種不同的重量？
注意砝碼可以放在天平兩邊。

輸入格式
輸入的第一行包含一個整數 $N$。
第二行包含 $N$ 個整數：$W_1,W_2,W_3,?,W_N$。
輸出格式
輸出一個整數代表答案。

樣例輸入

3 1 4 6

樣例輸出

10

樣例說明
能稱出的 $10$ 種重量是：$1、2、3、4、5、6、7、9、10、11$。
$1=1$；
$2=6?4$ (天平一邊放 $6$，另一邊放 $4$)；
$3=4?1$；
$4=4$；
$5=6?1$；
$6=6$；
$7=1+6$；
$9=4+6?1$；
$10=4+6$；
$11=1+4+6$。

評測用例規模與約定
對于 $50\%$ 的評測用例，$1\le N\le 15$。
對于所有評測用例，$1\le N\le 100$，$N$ 個砝碼總重不超過 $100000$。

題解
dp

解法一 （可能會超時）
對于砝碼 $i$ ，在使用砝碼 $1$ 到砝碼 $i?1$ 能稱出的重量的基礎上，可以選擇將其放在天平左邊或者右邊
規定砝碼放在左邊為正，放在右邊為負

用 set 記錄所有能稱出的重量
最后再取絕對值去重
注意 $0$ 不算

#include <bits/stdc++.h> #define N 102 #define MAX_WEIGHT 100005 using namespace std; int n, w[N], sum_weight, ans; set<int> st, st2; bool vis[MAX_WEIGHT]; int main() {scanf("%d", &n);for (int i = 0; i < n; ++i) {scanf("%d", &w[i]);sum_weight += w[i];}st.insert(0);st2.insert(0);for (int i = 0; i < n; ++i) {for (set<int>::iterator iter = st.begin(); iter != st.end(); ++iter) {st2.insert((*iter) + w[i]);st2.insert((*iter) - w[i]);}st = st2;}for (set<int>::iterator iter = st.begin(); iter != st.end(); ++iter) {vis[abs(*iter)] = true;}for (int i = 1; i <= sum_weight; ++i) {if (vis[i]) {++ans;}}printf("%d\n", ans); }

解法二
$dp[i][j]$ 表示前 $i$ 個物品，若能稱出重量 $j$ 則為 $1$ ，反之為 $0$
對于 $j$ 為負數的情況可以對初始重量 $0$ 進行偏移
因為砝碼總重不超過 $100000$ ，偏移量 $200000$ 即可

狀態轉移方程如下
$$dp[i][j]=?\begin{array}{ll}dp[i][j]||dp[i?1][j]& \text{不放砝碼?i?}\\ dp[i][j]||dp[i?1][j?w_i]& \text{砝碼?i?放左邊}\\ dp[i][j]||dp[i?1][j+w_i]& \text{砝碼?i?放右邊}\end{array}$$
其中 || 為 或運算

#include <bits/stdc++.h> #define N 102 #define MAX_WEIGHT 100005 using namespace std; int n, m, k, w[N], sum_weight, ans; bool dp[N][MAX_WEIGHT << 2]; int main() {scanf("%d", &n);for (int i = 1; i <= n; ++i) {scanf("%d", &w[i]);sum_weight += w[i];}dp[0][sum_weight * 2] = true;for (int i = 1; i <= n; ++i) {for (int j = sum_weight; j <= sum_weight * 3; ++j) {dp[i][j] = dp[i][j] || dp[i - 1][j] || dp[i - 1][j - w[i]] || dp[i - 1][j + w[i]];}}for (int i = 1; i <= sum_weight; ++i) {if (dp[n][sum_weight + i] || dp[n][sum_weight - i]) {++ans;}}printf("%d\n", ans);return 0; }

H 楊輝三角形 (20分)

問題描述
下面的圖形是著名的楊輝三角形：

如果我們按從上到下、從左到右的順序把所有數排成一列，可以得到如下數列：
$1,1,1,1,2,1,1,3,3,1,1,4,6,4,1,?$
給定一個正整數 $N$，請你輸出數列中第一次出現 $N$ 是在第幾個數？

輸入格式
輸入一個整數 $N$。
輸出格式
輸出一個整數代表答案。

樣例輸入

6

樣例輸出

13

評測用例規模與約定
對于 $20\%$ 的評測用例，$1\le N\le 10$；
對于所有評測用例，$1\le N\le 1000000000$。

題解
注意到有 $n=C_n^1$ ，即 $n$ 必然會出現在 第 $n+1$ 行 第 $2$ 列 的位置上

若不存在 $n=C_i^j,j\le i$ 且 $n<C_p^2,i\le p<n$ ，則 $n$ 只可能在 $C_n^1$ 的位置
即前 $p+1$ 行沒有出現 $n$ 且第 $p+1$ 行第三列大于 $n$ 的時候就可以直接判斷 $n$ 第一次出現在第 $n+1$ 行 第 $2$ 列

暴力枚舉前 $p+1$ 行 （每行的前一半就行了）
最壞情況下 $p$ 需要枚舉到 $44722$ ( $C_{44722}^2=1,000,006,281$ )

#include <bits/stdc++.h> #define ll long long #define N 100005 using namespace std; ll n, c[N], p, q; bool flag; int main() {scanf("%lld", &n);if (n == 1) { //特判 1printf("1\n");return 0;}c[0] = c[1] = 1;p = 1;while (c[2] < n) {++p;for (int i = p / 2 + 1; i > 0; --i) {c[i] += c[i - 1];}c[p] = 1;q = lower_bound(c, c + p / 2, n) - c;if (c[q] == n) {flag = true;break;}}if (flag) {printf("%lld\n", (1 + p) * p / 2ll + q + 1ll);} else {printf("%lld\n", (1 + n) * n / 2ll + 2ll);}return 0; }

I 雙向排序 (25分)

問題描述
給定序列 $(a_1,a_2,?,a_n)=(1,2,?,n)$，即 $a_i=i$。
小藍將對這個序列進行 $m$ 次操作，每次可能是將 $a_1,a_2,?,a_{q_i}$ 降序排列，或者將 $a_{q_i},a_{q_{i+1}},?,a_n$ 升序排列。
請求出操作完成后的序列。

輸入格式
輸入的第一行包含兩個整數 $n,m$，分別表示序列的長度和操作次數。接下來 $m$ 行描述對序列的操作，其中第 $i$ 行包含兩個整數 $p_i$, $q_i$ 表示操作類型和參數。當 $p_i=0$ 時，表示將 $a_1,a_2,?,a_{q_i}$ 降序排列；當 $p_i=1$ 時，表示將 $a_{q_i},a_{q_{i+1}},?,a_n$ 升序排列。
輸出格式
輸出一行，包含 $n$ 個整數，相鄰的整數之間使用一個空格分隔，表示操作完成后的序列。

樣例輸入

3 3 0 3 1 2 0 2

樣例輸出

3 1 2

樣例說明
原數列為 $(1,2,3)$。
第 $1$ 步后為 $(3,2,1)$。
第 $2$ 步后為 $(3,1,2)$。
第 $3$ 步后為 $(3,1,2)$。與第 $2$ 步操作后相同，因為前兩個數已經是降序了。

評測用例規模與約定
對于 $30\%$ 的評測用例，$n,m\le 1000$；
對于 $60\%$ 的評測用例，$n,m\le 5000$；
對于所有評測用例，$1\le n,m\le 100000，0\le p_i\le 1，1\le q_i\le n$。

題解
暴力 sort ，時間復雜度 $O(mn\log n)$ ，拿 $30\%$ ~ $60\%$ 分

正解暫無

#include <bits/stdc++.h> #define N 100005 using namespace std; int n, m; int a[N], p[N], q[N]; int main() {scanf("%d%d", &n, &m);for (int i = 1; i <= n; ++i) {a[i] = i;}for (int i = 1; i <= m; ++i) {scanf("%d%d", &p[i], &q[i]);if (p[i]) {sort(a + q[i], a + n + 1);} else {sort(a + 1, a + q[i] + 1, greater<int>());}}for (int i = 1; i <= n; ++i) {printf(" %d" + !(i - 1), a[i]);}printf("\n");return 0; }

J 括號序列 (25分)

問題描述
給定一個括號序列，要求盡可能少地添加若干括號使得括號序列變得合法，當添加完成后，會產生不同的添加結果，請問有多少種本質不同的添加結果。兩個結果是本質不同的是指存在某個位置一個結果是左括號，而另一個是右括號。
例如，對于括號序列 $((()$，只需要添加兩個括號就能讓其合法，有以下幾種不同的添加結果：$()()()$、$()(())$、$(())()$、$(()())$ 和 $((()))$。

輸入格式
輸入一行包含一個字符串 $s$，表示給定的括號序列，序列中只有左括號和右括號。
輸出格式
輸出一個整數表示答案，答案可能很大，請輸出答案除以 $1000000007$ (即$10^9+7$) 的余數。

樣例輸入

((()

樣例輸出

5

評測用例規模與約定
對于 $40\%$ 的評測用例，$|s|\le 200$。
對于所有評測用例，$1\le |s|\le 5000$。

題解
特判合法括號序列輸出 $0$
特判樣例騙分

正解暫無

#include <bits/stdc++.h> using namespace std; string s; int cnt; bool flag = true; int main() {cin >> s;for (int i = 0; i < s.length(); ++i) {if (s[i] == '(') {++cnt;} else {if (cnt <= 0) {flag = false;break;}--cnt;}}if (cnt) {flag = false;}if (flag) {printf("0\n");} else {if (s == "((()") {printf("5\n");} else {printf("%d\n", s.length());}}return 0; }

總結

以上是生活随笔為你收集整理的第十二届蓝桥杯 2021年4月 省赛 第一场 C/C++ B组 题解的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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