UOJ

思路

由于最近養成的不寫代碼的習慣（其實就是懶），以下式子不保證正確性。

上來我們先甩一個min-max容斥。由于每只鴿子是一樣的，這只貢獻了\(O(n)\)的復雜度。

現在的問題轉化為對于\(n\)只鴿子里面的\(c\)只鴿子，求喂飽其中一只鴿子的期望時間。

我們對期望的式子差分一下，變成統計經過\(i\)秒之后\(c\)只鴿子仍然一只都沒有被喂飽的概率。

枚舉這\(i\)秒里面有\(s\)秒喂到了，設\(f_{c,s}\)表示給\(c\)只鴿子喂了\(s\)粒玉米，一只都沒有飽的概率，我們得到
\[ ans_c=\sum_i \sum_{s=0}^i {i\choose s} (\frac {n-c} n)^{i-s}f_{c,s} \]
（上式的\((\frac{c}{n})^s\)被塞進\(f_{c,s}\)里面了）

由于\(s> c(k-1)\)的時候\(f\)必然為0，所以可以得到
\[ ans_c=\sum_{s=0}^{c(k-1)} f_{c,s} \sum_i {i+s\choose s} (\frac{n-c}{n})^i \]
后面那一項很像\(\frac 1 {(1-x)^{s+1}}\)的展開式，可以快速得到，所以問題就轉化為求\(f_{c,s}\)。

我們有一個暴力DP的式子：
\[ f_{c,s}=\sum_{i<k} f_{c-1,s-i}{s\choose i} \frac 1 {n^i} \]
顯然可以轉換成卷積的形式用NTT優化，最后總復雜度\(O(n^2k\log k)\)。

我們還有另一種做法。把概率變成方案數，我們設\(f_{c,s}\)表示給\(c\)只鴿子喂了\(s\)粒玉米，一只都沒有飽的方案數。再設\(f_c(x)\)表示這個東西的指數生成函數。

容易發現，求\(f_c(x)\)其實就等價于求\((\sum_{i=0}^k \frac{x^i}{i!})^c\)。

然后是一個神奇操作：

（orz daklqw）

（daklqw說是從yhx-12243那里學的，所以兩個都要orzorz）

于是就\(O(n^2k)\)做完了。

代碼

咕咕咕

轉載于:https://www.cnblogs.com/p-b-p-b/p/11614314.html

總結

以上是生活随笔為你收集整理的UOJ449. 【集训队作业2018】喂鸽子 [概率期望，min-max容斥，生成函数]的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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