如圖，大圓⊙(O;R)，小圓⊙(O’;r)，

小圓沿著大圓內邊滾動，保持相切，推導小圓上一特定點p的軌跡參數方程。
p’點坐標$(x,y)$表示為：
$$\{\begin{array}{l}x=(R?r)\cos \alpha +r\cos \theta \\ y=(R?r)\sin \alpha ?r\sin \theta \end{array}$$
其中，$\theta ,\alpha \ge 0$，由滾動時的路程關系得：$(\alpha +\theta )r=\alpha R$
代入上式得：
$$?\begin{array}{l}x=(R?r)\cos \alpha +r\cos \frac{R?r}{r}\alpha \\ y=(R?r)\sin \alpha ?r\sin \frac{R?r}{r}\alpha \end{array}$$
此即p點軌跡的參數方程。
當$\frac{R}{r}=4$ 時，
$$?\begin{array}{ll}x=\frac{3R}{4}\cos \alpha +\frac{R}{4}\cos 3\alpha & =R{\cos }^3\alpha \\ y=\frac{3R}{4}\sin \alpha ?\frac{R}{4}\sin 3\alpha & =R{\sin }^3\alpha \end{array}$$
即為星形線，或稱為四尖瓣線，是一個有四個尖點的內擺線
直角坐標方程是：
$$x^{2/3}+y^{2/3}=R^{2/3}$$

性質： 若星形線上某一點（參數$\alpha ={\alpha }_0$處）切線為$L(x,y)$，其方向向量為$(\frac{dx}{d\alpha },\frac{dy}{d\alpha }){|}_{\alpha ={\alpha }_0}$，相應的切線方程為
$$L(x,y):x\sin {\alpha }_0+y\cos {\alpha }_0=R\sin {\alpha }_0\cos {\alpha }_0$$
如果切線$L(x,y)$分別交x、y軸于點，則線段 $\mathbf{A}\mathbf{B}\equiv R$.故星形線可看作由一個線段包絡而成。

星形線在公共汽車門中也有應用
一扇折疊式車門所占的地方約占普通車門的3/16 ，大大節約了空間，使車輛能載更多的乘客。

總結

以上是生活随笔為你收集整理的星形线参数方程的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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