如圖，大圓⊙(O;R)，小圓⊙(O’;r)，

小圓沿著大圓內(nèi)邊滾動(dòng)，保持相切，推導(dǎo)小圓上一特定點(diǎn)p的軌跡參數(shù)方程。
p’點(diǎn)坐標(biāo)$(x,y)$表示為：
$$\{\begin{array}{l}x=(R?r)\cos \alpha +r\cos \theta \\ y=(R?r)\sin \alpha ?r\sin \theta \end{array}$$
其中，$\theta ,\alpha \ge 0$，由滾動(dòng)時(shí)的路程關(guān)系得：$(\alpha +\theta )r=\alpha R$
代入上式得：
$$?\begin{array}{l}x=(R?r)\cos \alpha +r\cos \frac{R?r}{r}\alpha \\ y=(R?r)\sin \alpha ?r\sin \frac{R?r}{r}\alpha \end{array}$$
此即p點(diǎn)軌跡的參數(shù)方程。
當(dāng)$\frac{R}{r}=4$ 時(shí)，
$$?\begin{array}{ll}x=\frac{3R}{4}\cos \alpha +\frac{R}{4}\cos 3\alpha & =R{\cos }^3\alpha \\ y=\frac{3R}{4}\sin \alpha ?\frac{R}{4}\sin 3\alpha & =R{\sin }^3\alpha \end{array}$$
即為星形線，或稱為四尖瓣線，是一個(gè)有四個(gè)尖點(diǎn)的內(nèi)擺線
直角坐標(biāo)方程是：
$$x^{2/3}+y^{2/3}=R^{2/3}$$

性質(zhì)： 若星形線上某一點(diǎn)（參數(shù)$\alpha ={\alpha }_0$處）切線為$L(x,y)$，其方向向量為$(\frac{dx}{d\alpha },\frac{dy}{d\alpha }){|}_{\alpha ={\alpha }_0}$，相應(yīng)的切線方程為
$$L(x,y):x\sin {\alpha }_0+y\cos {\alpha }_0=R\sin {\alpha }_0\cos {\alpha }_0$$
如果切線$L(x,y)$分別交x、y軸于點(diǎn)$\mathbf{A}(R\cos {\alpha }_0,0)、\mathbf{B}(0,R\sin {\alpha }_0)$，則線段 $\mathbf{A}\mathbf{B}\equiv R$.故星形線可看作由一個(gè)線段包絡(luò)而成。

星形線在公共汽車門中也有應(yīng)用
一扇折疊式車門所占的地方約占普通車門的3/16 ，大大節(jié)約了空間，使車輛能載更多的乘客。

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的星形线参数方程的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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