無論是度量（distance）還是范數(shù)（norm），都是企圖將任意的一個(gè)集合，通過定義關(guān)系，進(jìn)而降維到我們熟知的實(shí)數(shù)空間進(jìn)行研究。

度量空間

給定一個(gè)集合，原本是無序且元素之間是沒有關(guān)系的，而度量（距離）給其定義了2元關(guān)系。
如果對(duì)于集合的元素，定義任何兩個(gè)元素之間有距離，那么這個(gè)集合就是度量空間。這個(gè)距離的具體定義是：距離是一個(gè)實(shí)函數(shù)，其自變量就是集合中的任意兩個(gè)元素，那么這個(gè)實(shí)函數(shù)定義的時(shí)候并不給出具體公式，而是給出實(shí)函數(shù)滿足的性質(zhì)，就是

• 非負(fù)性（兩個(gè)元素相等的時(shí)候，距離為0），
• 對(duì)稱性，
• 三角不等式
  也就這3個(gè)性質(zhì)。

賦范空間

范數(shù)是一定定是定義在線性空間上的，因?yàn)榉稊?shù)的三角形不等式需要有元素和，而和封閉是線性空間的一個(gè)重要性質(zhì)。
首先賦范線性空間第一是線性空間，一提到線性空間，馬上明白這是一個(gè)定義了加法和數(shù)乘的集合，而賦范線性空間是定義了范數(shù)的線性空間，那么范數(shù)怎樣定義的呢？具體是一個(gè)元素對(duì)應(yīng)的實(shí)函數(shù)，具有非負(fù)性，一個(gè)元素的范數(shù)為0的充要條件是元素為0，齊次性以及三角不等式。

只要線性空間的元素滿足上面的性質(zhì)的實(shí)函數(shù)就稱為該元素的范數(shù)。我們關(guān)注對(duì)應(yīng)的三角不等式是：$||x+y||\le ||x||+||y||$ 。

我們比較距離和范數(shù)可以發(fā)現(xiàn)，距離指的是兩個(gè)元素之間的關(guān)系，而范數(shù)指的是一個(gè)元素本身的性質(zhì)。另外范數(shù)的三角不等式中 $||x+y||\le ||x||+||y||$ 之所以成立是因?yàn)橘x范線性空間中定義了兩個(gè)元素的相加，因此 $x+y$ 是有意義的，但是在度量空間中， 其沒有意義，因?yàn)槎攘靠臻g沒有定義任意兩個(gè)元素之間的運(yùn)算。

距離、范數(shù)和測度都是定義在一個(gè)集合上的元素對(duì)應(yīng)的實(shí)數(shù)，只不過定義測度的時(shí)候，其元素一定是集類中的集合，也就是一個(gè)集合對(duì)應(yīng)一個(gè)實(shí)數(shù)，而距離和范數(shù)沒有這個(gè)要求。

線性空間+范數(shù)=賦范空間；

https://zhuanlan.zhihu.com/p/42381836

Banach 空間

賦范空間+完備=Banach 空間

https://zhuanlan.zhihu.com/p/87785242

Hibert 空間

完備內(nèi)積空間， 而內(nèi)積空間是 在向量空間（當(dāng)集合的元素都是向量時(shí)）中定義 的內(nèi)積，則為Hibert.
https://blog.csdn.net/jiangxguang/article/details/108979227

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的度量空间，赋范空间的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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