題目大意：

XWW是個影響力很大的人，他有很多的追隨者。這些追隨者都想要加入XWW教成為XWW的教徒。但是這并不容易，需要通過XWW的考核。
XWW給你出了這么一個難題：XWW給你一個N*N的正實數矩陣A，滿足XWW性。
稱一個N*N的矩陣滿足XWW性當且僅當：（1）A[N][N]=0；（2）矩陣中每行的最后一個元素等于該行前N-1個數的和；（3）矩陣中每列的最后一個元素等于該列前N-1個數的和。
現在你要給A中的數進行取整操作（可以是上取整或者下取整），使得最后的A矩陣仍然滿足XWW性。同時XWW還要求A中的元素之和盡量大。

思路：

首先這一題的建模還是挺有意思的。每一個點的取值有一個范圍，同時還要要求它們加起來的和要在某一個范圍之內。于是便自然地想到了每一個點為一條流量然后一起流到一個管道里然后這個管道的流量也是有上下界的，模型的大概就這樣建出來了。
但是煩惱了我挺久的就是這題是一個二維矩陣，對于每一個點所代表的流量它既要匯合到它這一橫行，又要匯合到這一豎行，顯然流量是單向流動的，并且流量匯合了之后又不可以重新分開成之前沒匯合的一樣，這里想了我很久。
然后就突然想到，為什么一定要匯合呢？在每一行匯合前每一個格子的流量可以從它的那一列引出來啊，這樣就可以當做是每一列拆開成n?1n?1個流量之后再分別匯到那n?1n?1行去，然后就可以完美地套用有上下界的最大流了。
有上下界的最大流大體上和有上下界的最小流是差不多的，最后的推流只不過是順著推流罷了。

/*============================* Author : ylsoi* Problem : bzoj3698* Algorithm : Max_Flow* Time : 2018.7.29* =========================*/ #include<bits/stdc++.h>#define REP(i,a,b) for(int i=a;i<=b;++i) typedef long long ll;using namespace std;void File(){freopen("bzoj3698.in","r",stdin);freopen("bzoj3698.out","w",stdout); }const int maxn=100+10; const int maxe=1e5+10; const int inf=0x3f3f3f3f; int n,s,t,ss,tt,sumf,ans; int a[maxn][maxn],b[maxn][maxn],c[maxn<<1],sum; int beg[maxn<<1],las[maxe<<1],to[maxe<<1],flow[maxe<<1],cnte=1;void add(int u,int v,int f){las[++cnte]=beg[u]; beg[u]=cnte; to[cnte]=v; flow[cnte]=f;las[++cnte]=beg[v]; beg[v]=cnte; to[cnte]=u; flow[cnte]=0; }struct dinic{int num[maxn<<1],cur[maxn<<1];queue<int>qu;bool bfs(){memset(num,0,sizeof(num));num[ss]=1; qu.push(ss);while(qu.size()){int u=qu.front(); qu.pop();for(int i=beg[u];i;i=las[i]){if(!flow[i] || num[to[i]])continue;num[to[i]]=num[u]+1;qu.push(to[i]);}}return num[tt]!=0;}int dfs(int u,int res){if(u==tt || !res)return res;int ret=0,f;for(int &i=cur[u];i;i=las[i]){if(num[to[i]]!=num[u]+1)continue;if((f=dfs(to[i],min(res,flow[i])))){ret+=f;res-=f;flow[i]-=f;flow[i^1]+=f;}if(!res)break;}return ret;}void work(){while(bfs()){REP(i,ss,tt)cur[i]=beg[i];sumf+=dfs(ss,inf);}} }T;bool init(){scanf("%d",&n);double tmp;REP(i,1,n)REP(j,1,n){scanf("%lf",&tmp);a[i][j]=floor(tmp);b[i][j]=ceil(tmp);if(i==n && j==n && tmp)return false;}REP(i,1,n-1){c[i]+=a[i][n];REP(j,1,n-1)c[i]-=a[i][j];}REP(i,1,n-1){c[i+n-1]-=a[n][i];REP(j,1,n-1)c[i+n-1]+=a[j][i];}s=n*2-1; t=n*2;ss=0; tt=n*2+1;REP(i,1,n-1){add(s,i,b[i][n]-a[i][n]);add(i+n-1,t,b[n][i]-a[n][i]);}REP(i,1,n-1)REP(j,1,n-1)add(i,j+n-1,b[i][j]-a[i][j]);int sum1=0,sum2=0;REP(i,1,n-1){sum1+=a[i][n];sum2+=a[n][i];}add(s,tt,sum1);add(ss,t,sum2);sum+=sum2;REP(i,1,n-1){if(c[i]>0)sum+=c[i];if(c[i]>0)add(ss,i,c[i]);else add(i,tt,-c[i]);if(c[i+n-1]>0)add(ss,i+n-1,c[i+n-1]);else add(i+n-1,tt,-c[i+n-1]);}add(t,s,inf);return true; }int main(){File();if(init()){T.work();if(sum!=sumf){puts("No");return 0;}ans=flow[cnte];sumf=0;beg[ss]=0; beg[tt]=0;beg[t]=las[beg[t]]; beg[s]=las[beg[s]];REP(i,1,2*n)beg[i]=las[beg[i]];add(ss,s,inf); add(t,tt,inf);T.work();printf("%d\n",(ans+sumf)*3);}else puts("No");return 0; }

總結

以上是生活随笔為你收集整理的[bzoj3698]XWW的难题——有上下界的最大流的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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