哇，開始重新補數學知識了以后，才發現有好多“XX空間”這樣的概念啊，這本書說這個，那篇文章又用那個，搞得人云里霧里，所以在這里把基礎知識整理一下，主要關注“空間”概念本身和概念之間的區別。

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線性空間/向量空間

線性空間=向量空間！！這兩個概念是等價的。線性空間的概念如下：

簡單來說，線性空間就是定義了加法和數乘運算、且滿足上述八條運算規律的非空集合。

常見的線性空間有：實數域；全體n維向量構成的n維空間（實線性空間）或(復線性空間）；實數域上所有矩陣按照矩陣加法和數與矩陣的乘法構成的線性空間等。

線性空間的性質有：

線性空間中零元素是唯一的。

線性空間中任一元素的負元素是唯一的。

對于線性空間中的任意元素有?。

如果?，則??或?。

還有非常重要的“線性相關”、“基”、“維數”、“線性子空間”的概念，想必大家都很熟悉了，在這里就不多說了，有疑問的可以點這里。

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范數+線性賦范空間

線性賦范空間就是定義了范數的線性空間，范數和線性賦范空間的定義如下：

在這里需要說明一下，一個線性空間可以引入多個范數。常用的范數有：

• L1范數: ?||x|| 為x向量各個元素絕對值之和，
• L2范數: ?||x|| 為x向量各個元素平方和的1/2次方，L2范數又稱Euclidean范數或者Frobenius范數，
• Lp范數: ?||x|| 為x向量各個元素絕對值p次方和的1/p次方，
• L∞范數: ?||x|| 為x向量各個元素絕對值最大的那個元素的絕對值，
• L-∞范數: ?||x|| 為x向量各個元素絕對值最小的那個元素的絕對值，

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度量空間/距離空間+線性度量空間

度量空間亦稱距離空間，在數學中是指一個集合，并且該集合中的任意元素之間的距離是可定義的。

在一維、二維、三維線性空間中，“距離”的概念都是很直觀的，但是再往更高維度線性空間或者非線性空間擴展，物理意義上“距離”的定義顯然不適用了，因此我們可以采用更抽象的方式定義“距離”和“距離空間（度量空間）”：

設X是非空集合，對于X中任意的兩個元素x與y，若按某一法則都對應唯一的實數d(x，y)，而且滿足下述三個性質：

(1) 【非負性】d(x，y)≥0，[d(x，y)=0，當且僅當x=y]；

(2) 【對稱性】d(x，y)=d(y，x)；

(3) 【三角不等性】對于任意的x，y，z∈X，恒有 d(x，y)≤d(x，z)+d(z，y)。

則稱d(x, y)為x與y的距離，并稱X是以d為距離的距離空間。

線性度量空間，很顯然，就是在線性空間的基礎上在定義距離的空間。

在這里，我們還可以把距離和范數聯系起來：

• 曼哈頓距離（對應L1范數）
• 歐式距離（對應L2范數）
• 切比雪夫距離（對應L∞范數）

同一個空間可以由多個范數，但是只能定義一個距離，所以，我們可以通過范數來定義距離，但是不能通過距離來定義范數。

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內積空間+歐氏空間+酉空間

線性空間中僅定義了線性運算（加法和數乘），之后，我們可以引入“距離”的概念，使得向量具有了“模（長度）”的特征。如果我們進一步定義了內積（也稱為點積或標量基），將一對矢量與一個純量連接起來，那就相當于我們在這個空間中引入了“夾角”的概念，并可以進一步談論矢量的正交、投影等。

定義了內積的線性空間被稱為內積空間，具體定義如下：

當K是實數域時，我們將U稱為實內積空間，也稱為歐幾里得（Euclid）空間或歐氏空間；當K是復數域時，我們將U稱為復內積空間，也稱為酉空間或U空間。

內積空間滿足以下性質：

?

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希爾伯特空間+巴拿赫空間

完備的內積空間稱為希爾伯特（Hilbert）空間，而完備的賦范空間稱為巴拿赫（Banach）空間。在這里，完備性的意思就是柯西序列在內部收斂。希爾伯特空間是巴拿赫空間的特例，是用內積定義的范數。這個按我目前學到的用的不多，我也太了解，就不詳細展開了，以后用到了再補充吧，Bye~

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參考

http://ishare.iask.sina.com.cn/f/6sgceP9H45f.html

https://wenku.baidu.com/view/084bd34124c52cc58bd63186bceb19e8b8f6ec0e.html

https://blog.csdn.net/lulu950817/article/details/80424288

https://max.book118.com/html/2017/1008/136508481.shtm

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總結

以上是生活随笔為你收集整理的【MQ笔记】聊一聊空间（线性空间、赋范空间、度量空间、内积空间、欧氏空间、酉空间）的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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