前言
前兩節課蒟蒻君給大家講解了dfs的基本用法，蒟蒻君來給大家講一下它的時間復雜度優化~
鋪墊一下
1.搜索樹和狀態
我們可以根據搜索狀態構建一張抽象的圖，圖上的一個節點就是一個狀態，而圖上的邊就是狀態之間轉移的關系，包括繼續dfs或者回溯。
搜索樹里每個節點上記錄的就是執行到這個狀態時的值，對于每個數，我們都有幾種選擇，都會使目前的狀態產生分支。
簡單來說，剪枝前的搜索樹每個狀態有k種選擇時，它就是一個完全k叉樹（不會的小伙伴可以把這句話當空氣）。
2.舉個栗子
接下來蒟蒻君現編一道題…

• 題目
  蒟蒻君今天想吃x斤食物 （蒟蒻君是吃貨沒錯） ，現在有n盤食物，第i盤食物有a[i]斤，蒟蒻君想知道有幾種吃法。
• 分析一下
  對與每個食物，我們都有選和不選兩種選擇（即k=2），我們在每次搜索中都要嘗試這兩種選擇，達到條件計數器+1.
• 植樹~
  讓我們來看一下這道題的搜索樹叭（蒟蒻君畫得不咋地）
  我們用S來記錄當前總斤數和，用N來記錄選擇的食物的個數。
  
• 代碼

#include <bits/stdc++.h> using namespace std; const int MAX_N = 15; // n的最大值，這里設它為15 int x, n, sum; // 輸入數據 int res; // 總方案數 int a[MAX_N]; void dfs(int i, int N, int S) {// 遞歸終止條件：所有數都搜索完了（也可以是找到n盤食物了，同理） if (i == x) {if (N == n && S == sum) { // 如果食物數量和重量都符合要求，就把答案+1 ++res;}return ;}dfs(i + 1, N, S); // 如果不選當前菜dfs(i + 1, N + 1, S + a[i]); // 如果選當前菜 } int main() {cin >> x >> n >> sum;for (int i = 0; i < x; ++i) {cin >> a[i]; }dfs(0, 0, 0); // 從編號為0的菜開始搜索，最開始有0個菜，重量和為0cout << res << '\n'; return 0; }

當前，目前的時間復雜度為O(2^n)，明顯有點太慢了。
一會我們會講到四種剪枝優化，其中有一些就是針對這種噠。
知識梳理
剪枝，顧名思義就是從搜索樹上剪掉一些沒用的子樹，讓時間復雜度降低。
一、可行性剪枝
還是剛才的問題。

當n=2的時候，如果當N=2時，已經選了2個數，再繼續選就是沒有意義了，所以我們可以直接減去這個搜索分支。也就是：

再比如，一旦現在的值已經>sum了，也沒必要繼續搜索了。

• 代碼

#include <bits/stdc++.h> using namespace std; const int MAX_N = 15; // n的最大值，這里設它為15 int x, n, sum; // 輸入數據 int res; // 總方案數 int a[MAX_N]; void dfs(int i, int N, int S) {if (N > n) { // 剪枝1 return ;} if (S > sum) { // 剪枝2return ;} // 遞歸終止條件：所有數都搜索完了（也可以是找到n盤食物了，同理） if (i == x) {if (N == n && S == sum) { // 如果食物數量和重量都符合要求，就把答案+1 ++res;}return ;}dfs(i + 1, N, S); // 如果不選當前菜dfs(i + 1, N + 1, S + a[i]); // 如果選當前菜 } int main() {cin >> x >> n >> sum;for (int i = 0; i < x; ++i) {cin >> a[i]; }dfs(0, 0, 0); // 從編號為0的菜開始搜索，最開始有0個菜，重量和為0cout << res << '\n'; return 0; }

二、最優性剪枝
對于求最優解的問題，有些時候可以用最優性剪枝。
比如求解迷宮最短路徑類的問題，如果當前步數已經大于等于答案了，就可以停止搜索。
此外，在判斷是否有可行解的過程中，只要有一個解，后面的搜索就不用進行啦（可以使用exit(0)），這是最優性剪枝的一種特例。

• 代碼
  這里就寫剪枝優化的代碼~

int res = 0x3f3f3f3f; // 答案 int n, m; ...... void dfs(......, int stp) { // stp表示當前步數if (stp >= res) {return ;}if (符合條件) { // 排除來不是最優解的情況后，此時stp肯定是目前的最優解res = stp;return ;}...... }

三、重復性剪枝
對于某些搜索方式，一個方案可能會被搜索多次，這樣是沒必要了。
還是那道題…
我們其實不需要像之前那樣每次dfs都把每個都枚舉了。因為我們只關注最這串數的和，而不關注順序。所以我們可以使用重復性剪枝。
我們設定選出的數的下標是遞增的，所以我們可以設置一個變量表示上次枚舉的下標，這次從上次+1開始枚舉就不會有重復的了。

• 代碼

bool eaten[MAX_N]; // eaten[i]表示第i個食物是否被吃過 void dfs(int N, int S, int pos) {...... // 判斷邊界 + 可行性剪枝for (int i = pos; i <= n; ++i) {if (!eaten[i]) { // 沒吃過就吃eaten[i] = true;dfs(N + 1, S + a[i], i + 1); // 下一個的位置在這個的后面eaten[i] = false; // 回溯，把食物吐出來（蒟蒻君還可以繼續吃...）}} }

四、奇偶性剪枝
大家先看一道題（上次農場里那幾只挑剔的小豬又登場了…）：

• 題目
  農場主嫌這些小豬又懶又饞 （豬豬不都是這樣嗎） ，決定給它們一個考驗。
  他給豬豬們出了一個n * m的迷宮，其中有起點、終點、墻和平地。小豬豬們只能向上下左右走，不能爬墻 （它們貌似也不會爬墻） 。
  它們走每步需要一個小時的時間（因為它們實在是太胖了），到第T個小時時，農場主就會不耐煩，把豬糧送給隔壁的老母豬。
  豬豬們很餓，想讓你判斷一下是否可以吃到豬糧。
  起點：‘A’
  終點：‘B’
  平地：’.’
  墻:’*’
• 分析
  這里會的小伙伴可能會想到小學奧數證明題中的染色問題，其中的一個方法就是黑白染色。
  
  如圖，每隔一個格子染成黑色，其余的為白色。
  在這個圖中，每走一步就會變一次色。
  我們還可以看出來，如果行數+列數為計數，當前格子就為黑色。否則為白色。
  從A走到B要奇數次（即A、B兩格不同色），而T為偶數，或者要偶數次，而T為奇數，則可以剪枝。
  剪枝例題
  
• 分析

這道題其實就是很簡單的dfs+剪枝，別的難點都沒用到（蒟蒻君好不容易挑噠）。
本題思路分為以下幾步：

預處理所有木棍的總長度，保證枚舉答案的值能被總長度整除。

每根木棍的長度可用hash存儲，預處理最長的和最短的木棍的長度，dfs時從最大長度到最小長度枚舉。

記錄當前長度，下次dfs從當前長度-1來枚舉（重復性剪枝）。

若某組拼接不成立，且此時已拼接的長度為0或當前已拼接的長度與剛才枚舉的長度之和為最終枚舉的答案時，則可直接跳出循環（可行性剪枝）。

• 代碼

#include <bits/stdc++.h> using namespace std; const int N = 70; int n; int res; int maxn, minn = N; int box[N]; // step2 void dfs(int pre, int sum, int x, int y) {if (pre == 0) { // step4 cout << x << '\n';exit(0);}if (sum == x) { // step3 dfs(pre - 1, 0, x, maxn);return ;}for (int i = y; i >= minn; --i) { // step2 & step3if (box[i] > 0 && i + sum <= x) {--box[i];dfs(pre, sum + i, x, i);++box[i]; // 回溯if (sum == 0 || sum + i == x) { // step4break;}}} }int main() {cin >> n;while (n--) {int t;cin >> t;if (t > 50) { // 過濾 continue;}++box[t];res += t;maxn = max(maxn, t); // step1minn = min(minn, t);}int en = res >> 1; // 由于res一直在改變，所以需要在循環前定義一個變量存儲 for (int i = maxn; i <= en; ++i) {if (res % i == 0) {dfs(res / i, 0, i, maxn);}} cout << res << '\n'; return 0; }

dfs的課程到此結束，接下來蒟蒻君將為大家講解bfs~

總結

以上是生活随笔為你收集整理的算法初探系列3 -深度优先搜索之剪枝策略的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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