回歸模型是做數據分析，統計建模和機器學習最先接觸的模型，在大學讀書的時候關注的就是計算過程，很多人在學習數學以及在數學基礎上的研究，常常被復雜的公式所影響。有時候需要跳出來，看這些公式的目的，用途等，或許可以了解的更好。我準備從背景、數學原理、機器學習算法、python語言、模型解釋和模型變化等方面來和大家交流回歸模型。
一、回歸模型產生的背景
“回歸”是由英國著名生物學家兼統計學家高爾頓(Francis Galton，1822～1911，生物學家達爾文的表弟)在研究人類遺傳問題時提出來的。為了研究父代與子代身高的關系，高爾頓搜集了1078對父親及其兒子的身高數據。他發現這些數據的散點圖大致呈直線狀態，也就是說，總的趨勢是父親的身高增加時，兒子的身高也傾向于增加。但是，高爾頓對試驗數據進行了深入的分析，發現了一個很有趣的現象—回歸效應。因為當父親高于平均身高時，他們的兒子身高比他更高的概率要小于比他更矮的概率；父親矮于平均身高時，他們的兒子身高比他更矮的概率要小于比他更高的概率。它反映了一個規律，即這兩種身高父親的兒子的身高，有向他們父輩的平均身高回歸的趨勢。對于這個一般結論的解釋是:大自然具有一種約束力，使人類身高的分布相對穩定而不產生兩極分化，這就是所謂的回歸效應。
1855年， 高爾頓發表《遺傳的身高向平均數方向的回歸》一文，他和他的學生卡爾?皮爾遜Karl?Pearson通過觀察1078對夫婦的身高數據，以每對夫婦的平均身高作為自變量，取他們的一個成年兒子的身高作為因變量，分析兒子身高與父母身高之間的關系，發現父母的身高可以預測子女的身高，兩者近乎一條直線。當父母越高或越矮時，子女的身高會比一般兒童高或矮，他將兒子與父母身高的這種現象擬合出一種線形關系，分析出兒子的身高y與父親的身高x大致可歸結為一下關系：
y=33.73+0.516x (單位為英寸)
根據換算公式1英寸=0.0254米， 1米=39.37英寸。單位換算成米后：
Y= 0.8567+0.516X (單位為米);
假如父母輩的平均身高為1.75米，則預測子女的身高為1.7597米。
這種趨勢及回歸方程表明父母身高每增加一個單位時，其成年兒子的身高平均增加0.516個單位。這就是回歸一詞最初在遺傳學上的含義。
有趣的是，通過觀察，高爾頓還注意到，盡管這是一種擬合較好的線形關系，但仍然存在例外現象:矮個父母所生的兒子比其父要高，身材較高的父母所生子女的身高卻回降到多數人的平均身高。換句話說，當父母身高走向極端，子女的身高不會象父母身高那樣極端化，其身高要比父母們的身高更接近平均身高，即有**“回歸”到平均數去的趨勢**，這就是統計學上最初出現“回歸”時的涵義，高爾頓把這一現象叫做“向平均數方向的回歸” (regression toward mediocrity)。雖然這是一種特殊情況，與線形關系擬合的一般規則無關，但“線形回歸”的術語卻因此沿用下來，作為根據一種變量(父母身高)預測另一種變量(子女身高)或多種變量關系的描述方法。
下圖可視為回歸的圖示（基于高斯分布）。

二、回歸的數學原理
1.指數族分布(Exponential Family)
i. 指數族分布的表達式是

從概率密度圖的角度上，概率密度分布圖的形狀與指數函數的圖形有一定的類似，說明了概率密度的分布可以用指數函數框架來表示。
η被稱為分布的自然參數（natural parameter，也稱為規范參數canonical parameter）；
T(y)是充分統計量（sufficient statistic），通常情況下有T(y)=y；
a(η)被稱為對數劃分函數log partition function。
很多分布都可以寫成指數族分布。
ii.伯努利分布（Bernoulli distribution）與高斯分布（Gaussian distribution）的指數族分布標準表達式。
伯努利分布（Bernoulli distribution）：邏輯回歸的數學假設
p(y=1;?)=?;p(y=0;?)=1??

則


高斯分布（Gaussian distribution）：線性回歸的數學假設
令高斯分布N(μ,1)，μ為分布的均值，方差對最終θ和h(θ)的選擇沒有影響，設置為1。

則

2. 廣義線性回歸
廣義線性模型是把自變量的線性預測函數當做因變量的預測值，廣義線性模型是基于指數族分布的。
三個前提：
1）
2）給定x，目標函數是T(y)的期望E[T(y)|x]，并且通常T(y)=y
3）自然參數η與輸入特征x呈線性相關，即
實數時，
向量時，

總結

以上是生活随笔為你收集整理的回归模型（背景和原理）的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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