量子搜索算法 Grover search

問題定義：

Problem：

f:{0,1,2,3,……,N?1}→{0,1}f:{0,1,2,3,……,N?1}→{0,1}

找到?f(x)=1 的x

解法

經典解法：

經典解法很簡單，就是把每一個都看一遍，如果只有一個x對應的f(x)=1，那么平均是要看一半，才能找到那個x。

時間復雜度O(N)

量子解法：

使用Grover search 算法，時間復雜度在?O(根號N)

Grover search 算法

Grover search 算法一共分為兩步：

Phase Inversion

Inversion about the Mean

然后不斷的迭代這兩步我們就能夠得到結果了。

首先我們先看看這兩個步驟分別在做什么：

我們把?f(x)=1的?|x? 稱為?x? ，我們要找的也就是這個?x? 。

Phase Inversion:

這一步主要是把?x? 的概率幅翻轉，變成負數，而其他的保持不變。

即，

Inversion about the Mean

用圖可能更好表達這兩個步驟究竟在做什么：

圖1到圖2，就是Phase Inversion，把x?的概率幅翻轉到了下面，圖2中的虛線就是我的概率幅的平均值，圖2到圖3 就是我們的Inversion about the Mean，對著平均值翻轉一次，其余x的概率幅是高于平均值的，所以?2μ?αx 讓他們變小了，而我們的?x? 他的概率幅是個負數，所以?2μ?αx后他增加了。

不斷的重復這個步驟，?x? 他的概率幅會越來越大，最后我們測量的時候就會很容的找到他。

進行了 √N?后，他的概率幅就會達到?1/√2?，算概率就是1/2。

那么接下來的問題就是，這些操作是怎么實現的？

Phase Inversion:

這個步驟要做的事情就是，

符號是和f(x)是否為1相關的，進一步化簡就是?

有沒有一絲熟悉感？

把f(x)的結果給放到相位上去，這是我們在Parity Problem中就遇到的問題。

當時的解決方法是把答案比特變成?|??。

一般情況，如果我們打算放置答案的比特是?|b?，那么輸入的比特就是|b⊕f(x)?

最后一個比特的值如果在|+?|??坐標下測量，一定是?|??，f(x)的差別也變到了符號上，即?(?1)f(x)

Inversion about the Mean

把?αx變成?2μ?αx，這個就要比前一個麻煩了

這其實是要求我把現在的態對著?μ 翻轉。

對著?μ 翻轉會嗎？

不太會。

但是我會對著?|0? 的翻轉啊。

對角線第一個值為1，其余為-1，非對角線的都為0。

這個矩陣輕而易舉的可以讓?|0? 保持不變，非?|0?的符號全都翻轉。

量子變換要求矩陣式酉矩陣，這個矩陣很明顯滿足?UU?=U?U=I

接下來怎么做呢？

我們先把我們的態整體來一個從?|μ??到?|0? 的旋轉，對著?|0? 翻轉后，又從?|0? 到?|μ? 翻轉回去。

|μ? 是一個怎樣的態？

所有的x的概率都一樣，也就是我們的superposition?

|x? 和?|0?之間的相互轉換，這就是我們最最熟悉的Hadamard Transform了

第二部分的電路圖如下：

這個矩陣是可以直接計算的：

我這里直接給出答案，得到的矩陣值呢是下圖左邊的這個矩陣：

在對應的?αx的結果恰好是?

而? 恰好就是?2μ

至此，呈上最完整的電路圖模塊：

第一個H門是數據的初始化，第二個門是為了翻轉?x?，第三四五個門是為了對?|μ? 翻轉，二三四五這四個門就是要給重復的模塊了，不斷的重復他們就可以不斷的提高?x?的概率幅，最終找到?x?。

?

參考資料：

Quantume Mechanics & Quantume Computation Lecture 11

總結

以上是生活随笔為你收集整理的量子搜索算法 Grover search的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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