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矩阵的分解——LU分解

發(fā)布時(shí)間：2023/12/20 59 豆豆

生活随笔收集整理的這篇文章主要介紹了矩阵的分解——LU分解小編覺得挺不錯(cuò)的,現(xiàn)在分享給大家,幫大家做個(gè)參考.

LU分解

LU分解是矩陣分解的一種，將一個(gè)矩陣分解為一個(gè)下三角矩陣和一個(gè)上三角矩陣的乘積，有時(shí)需要再乘上一個(gè)置換矩陣。
LU分解可以被視為高斯消元法的矩陣形式。在數(shù)值計(jì)算上，LU分解經(jīng)常被用來解線性方程組、且在求逆矩陣和計(jì)算行列式中都是一個(gè)關(guān)鍵的步驟。

一、定義

對于方陣 $A$ ， $A$ 的LU分解是將它分解成一個(gè)下三角矩陣 L 與上三角矩陣 U 的乘積，也就是 $A = L U$ 。
舉例來說一個(gè) $3×3{\displaystyle 3\times 3}$ 的矩陣 $A$ ，其 LU 分解會(huì)寫成下面的形式：
$A=[a11a12a13a21a22a23a31a32a33]=[l1100l21l220l31l32l33][u11u12u130u22u2300u33]{\displaystyle A={\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}l_{11}&0&0\\l_{21}&l_{22}&0\\l_{31}&l_{32}&l_{33}\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}u_{11}&u_{12}&u_{13}\\0&u_{22}&u_{23}\\0&0&u_{33}\\\end{bmatrix}}}$

LDU 分解

方陣 A 的LDU分解是是將它分解成一個(gè)單位下三角矩陣 L、對角矩陣 D 與單位上三角矩陣 U 的乘積，即 $A=LDU{\displaystyle A=LDU}$
其中單位上、下三角矩陣是指對角線上全是 1 的上、下三角矩陣。事實(shí)上，LDU 分解可以推廣到 A 是一般的矩陣，而非方陣。

存在性和唯一性

一個(gè)可逆矩陣可以進(jìn)行LU分解當(dāng)且僅當(dāng)它的所有子式都非零。

如果要求其中的L矩陣（或U矩陣）為單位三角矩陣，那么分解是唯一的。

即使矩陣不可逆，LU仍然可能存在。實(shí)際上，如果一個(gè)秩為k的矩陣的前k個(gè)順序主子式不為零，那么它就可以進(jìn)行LU分解，但反之則不然。

二、算法

LU分解在本質(zhì)上是高斯消元法的一種表達(dá)形式。實(shí)質(zhì)上是將A通過初等行變換變成一個(gè)上三角矩陣，其變換矩陣就是一個(gè)單位下三角矩陣。這正是所謂的杜爾里特算法（Doolittle algorithm），從下至上地對矩陣A做初等行變換，將對角線左下方的元素變成零，然后再證明這些行變換的效果等同于左乘一系列單位下三角矩陣，這一系列單位下三角矩陣的乘積的逆就是L矩陣，它也是一個(gè)單位下三角矩陣。

杜爾里特算法

對給定的N × N矩陣 $A=(an,n){\displaystyle A=(a_{n,n})}$ 有 $A^{{(0)}}:=A$
然后定義對于 $n = 1, . . ., N ? 1$ 的情況如下：
在第n步，消去矩陣 $A^{(n-1)}$ 的第n列主對角線下的元素：將 $A^{(n-1)}$ 的第n行乘以 $li,n=?ai,n(n?1)an,n(n?1){\displaystyle l_{i,n}=-{\frac {a_{i,n}^{(n-1)}}{a_{n,n}^{(n-1)}}}}$ 之后加到第 $i$ 行上去。其中 $i=n+1,…,N{\displaystyle i=n+1,\ldots ,N}$ 。這相當(dāng)于在 $A^{(n-1)}$ 的左邊乘上一個(gè)單位下三角矩陣：

$Ln=[10?1ln+1,n???0lN,n1]{\displaystyle L_{n}={\begin{bmatrix}1&&&&&0\\&\ddots &&&&\\&&1&&&\\&&l_{n+1,n}&\ddots &&\\&&\vdots &&\ddots &\\0&&l_{N,n}&&&1\\\end{bmatrix}}}$

于是，設(shè) $A(n)=LnA(n?1){\displaystyle A^{(n)}=L_{n}A^{(n-1)}}$ 經(jīng)過N-1輪操作后，所有在主對角線下的系數(shù)都為0了，于是我們得到了一個(gè)上三角矩陣A(N-1)，這時(shí)就有：
$A=L1?1L1A(0)=L1?1A(1)=L1?1L2?1L2A(1)=L1?1L2?1A(2)=…=L1?1…LN?1?1A(N?1){\displaystyle A=L_{1}^{-1}L_{1}A^{(0)}=L_{1}^{-1}A^{(1)}=L_{1}^{-1}L_{2}^{-1}L_{2}A^{(1)}=L_{1}^{-1}L_{2}^{-1}A^{(2)}=\ldots =L_{1}^{-1}\ldots L_{N-1}^{-1}A^{(N-1)}}$
這時(shí)，矩陣 $A^{(N-1)}$ 就是U， $L=L1?1…LN?1?1{\displaystyle L=L_{1}^{-1}\ldots L_{N-1}^{-1}}$ 。下三角矩陣 $Lk{\displaystyle L_{k}}$ 的逆依然是下三角矩陣，而且下三角矩陣的乘積仍是下三角矩陣，所以 $L{\displaystyle L}$ 是下三角矩陣。于是我們得到分解： $A=LU{\displaystyle A=LU}$ 。

顯然，要是算法成立，在每步操作時(shí)必須有 $an,n(n?1)≠0{\displaystyle a_{n,n}^{(n-1)}\neq 0}$ 。如果這一條件不成立，就要將第n行和另一行交換，由此就會(huì)出現(xiàn)一個(gè)置換矩陣P。這就是為什么一般來說LU分解里會(huì)帶有一個(gè)置換矩陣的原因。

例子：
將一個(gè)簡單的3×3矩陣A進(jìn)行LU分解：

$A=[123257353]{\displaystyle A={\begin{bmatrix}1&2&3\\2&5&7\\3&5&3\\\end{bmatrix}}}$
先將矩陣第一列元素中 $a_{11}$ 以下的所有元素變?yōu)?，即
$L1A=[100?210?301]×[123257353]=[1230110?1?6]{\displaystyle L_{1}A={\begin{bmatrix}1&0&0\\-2&1&0\\-3&0&1\\\end{bmatrix}}\times {\begin{bmatrix}1&2&3\\2&5&7\\3&5&3\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&2&3\\0&1&1\\0&-1&-6\\\end{bmatrix}}}$
再將矩陣第二列元素中 $a_{22}$ 以下的所有元素變?yōu)?，即
$L2(L1A)=[100010011]×[1230110?1?6]=[12301100?5]=U{\displaystyle L_{2}(L_{1}A)={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&1&1\\\end{bmatrix}}\times {\begin{bmatrix}1&2&3\\0&1&1\\0&-1&-6\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&2&3\\0&1&1\\0&0&-5\\\end{bmatrix}}=U}$
$L=L1?1L2?1=[100210301]×[1000100?11]=[1002103?11]{\displaystyle L=L_{1}^{-1}L_{2}^{-1}={\begin{bmatrix}1&0&0\\2&1&0\\3&0&1\\\end{bmatrix}}\times {\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&-1&1\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&0&0\\2&1&0\\3&-1&1\\\end{bmatrix}}}$

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的矩阵的分解——LU分解的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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