一、加減乘除運算

張量（數(shù)組）之間的+、-、*、/，在python支持自動Broadcast機(jī)制。不過不是所有的張量之間都支持，需要進(jìn)行普適性判斷
Broadcasting普適性判斷：
首先將兩個shape靠右對齊，
對于長度為1的維度，默認(rèn)這個數(shù)據(jù)普遍適合于當(dāng)前維度的其他位置；
對于不存在的維度，則在增加新維度后默認(rèn)當(dāng)前數(shù)據(jù)也是普適于新維度的，從而可以擴(kuò)展為更多維度數(shù)、任意長度的張量形狀。
若對齊之后shape對應(yīng)維度的值都大于1且不相等，則不滿足。例如：

a.shape:(2,32,32,4),b.shape:(2,1,32,4),c.shape:(2,32,4),d.shape:(2,32,32,2) a*b滿足普適性 b會自動擴(kuò)展為(2,32,32,4) a*c不滿足普適性 a*d不滿足普適性

張量之間的加減乘除運算要求張量維度一樣或者滿足普適性原則（自動擴(kuò)展后維度一樣）

張量之間的加減乘除運算都是逐元素的，滿足交換律

import numpu as np a = np.array([1,2,3]) b = np.array([2,2,3]) a*b：array([2, 4, 9]) b*a：array([2, 4, 9])

可以通過np.sum和運算符*實現(xiàn)向量投影

a = np.array([1,2,3]) b = np.array([2,2,3]) c = np.sum(a*b,0)/np.linalg.norm(b) # 向量a在向量b上的投影

可以通過np.sum和運算符*實現(xiàn)類似np.dot的效果，例如將多組向量批量旋轉(zhuǎn)到世界坐標(biāo)系

# dirs 是相機(jī)坐標(biāo)系的多組向量構(gòu)成的，dirs.shape:(1024,1024,3)，即1024*1024組方向向量 # c2w 是由相機(jī)坐標(biāo)系變換到世界坐標(biāo)系的矩陣（視圖矩陣的逆矩陣） # c2w[:3, :3] 是視圖矩陣中旋轉(zhuǎn)矩陣的轉(zhuǎn)置 world_dirs = np.sum(dirs[..., np.newaxis, :] * c2w[:3, :3], -1) # 以上代碼實現(xiàn)效果類似于c2w@dirs，但由于dirs.shape是(1024,1024,3)，雖然意義上是1024*1024組方向向量 # 但實際存儲是將dirs作為多維數(shù)組 # 所以c2w@dirs（屬于下面⑤）:(3,3)X(1024,1024,3)不滿足普適性，不能用矩陣乘法

二、矩陣相乘運算

方式：可以通過@運算符；可以通過np.dot；可以通過tf.mutmul函數(shù)

通過上述方式進(jìn)行運算時，若兩個張量均是二維矩陣則即是普通的矩陣乘法，而其他類型有所不同，具體如下：
np.dot(a,b)
①如果a、b均是1維數(shù)組，則為向量內(nèi)積
②如果a、b均是2維數(shù)組，則均為矩陣乘法
③如果a或b是標(biāo)量，則與上述運算符*相同
④如果a是N(>=2)維數(shù)組，b是1維數(shù)組，進(jìn)行運算時，會首先將后面一項進(jìn)行自動轉(zhuǎn)置操作并將1維數(shù)組自動轉(zhuǎn)換為矩陣，之后再進(jìn)行矩陣乘法運算,最后結(jié)果還原成N階向量
注意不滿足交換律，np.dot(a,b)和np.dot(b,a)結(jié)果都是N階向量，但向量元素值不一樣
注意，在numpy中，若b.shape:(3,1)則代表b是一維矩陣，與向量不同，若此時a@b則屬于第二類，是矩陣乘法，結(jié)果為(N,1)的矩陣
⑤如果a是N(N>2)維數(shù)組，b是M(M>=2)維數(shù)組，則采用批量方式,選擇a和b的最后兩個維度進(jìn)行矩陣相乘，前面所有的維度都視作Batch維度。
根據(jù)矩陣相乘的定義，𝑨和𝑩能夠矩陣相乘的條件是：
a的倒數(shù)第一個維度長度(列)和b的倒數(shù)第二個維度長度(行)必須相等
示例：

import numpy as npx = np.array([[1, 2, 3],[3, 4, 4],[0, 1, 1]]) y = np.array([1, 2, 3]) # x.shape:(3,3)；y.shape:(1,3) => (3,1);矩陣乘法：(3,3)X(3,1) => (3,1) = >(3,) result1 = np.dot(x, y) # 1×1 + 2×2 + 3×3 = 14（result1的第一個元素） # x.shape:(3,3)；y.shape:(1,3);矩陣乘法：(1,3)X(3,3) => (1,3) = >(3,) result2 = np.dot(y, x) # 1×1 + 2×3 + 3×0 = 7 （result2的第一個元素）a = np.array([[[1,2],[3,4]],[[5,6],[7,8]],[[9,10],[11,12]]]) b = np.array([[1,2],[3,4]]) # a.shape:(3,2,2)；b.shape:(2,2)；矩陣乘法:(2,2)X(2,2) => (2,2) # result.shape:(3,2,2) result3 = np.dot(a,b) # a的一個batch為[[1,2],[3,4]]

矩陣相乘同樣自動支持Broadcast機(jī)制，但是普適性判斷有點不同，兩個shape的最后兩個維度只需滿足矩陣相乘的條件即可，而其他維度規(guī)則不變。

PS：建議不要將運算和點乘、叉乘的名稱對應(yīng)起來，向量的點乘、叉乘和矩陣的點乘、叉乘不一樣，很繞。。。

參考

[1]np.dot()函數(shù)的用法詳解
[2]向量和矩陣的點乘和叉乘
[3]Python 矩陣與矩陣以及矩陣與向量的乘法
[4]Tensorflow深度學(xué)習(xí)

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的Python中的数学运算的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

如果覺得生活随笔網(wǎng)站內(nèi)容還不錯，歡迎將生活随笔推薦給好友。