0：關(guān)于基本數(shù)學(xué)應(yīng)用的問題：

????我的一些市場分析博文中，用了一些很淺顯的數(shù)學(xué)知識，但仍有博友覺得不大好理解。我采集了一些常用的基本函數(shù)的曲線和簡單說明，以備速查。

?

1：正弦余弦曲線：更一般應(yīng)用的正弦曲線公式為：

A 為波幅（縱軸）， ω為（相位矢量）角頻率=2PI/T，T為周期， t 為時間（橫軸）， θ 為相位（橫軸左右）。

周期函數(shù)：正余弦函數(shù)可用來表達周期函數(shù)。

???例如，正弦和余弦函數(shù)被用來描述簡諧運動，還可描述很多自然現(xiàn)象，比如附著在彈簧上的物體的振動，掛在繩子上物體的小角度擺動。正弦和余弦函數(shù)是圓周運動一維投影。

???三角函數(shù)在一般周期函數(shù)的研究中極為有用。這些函數(shù)有作為圖像的特征波模式，在描述循環(huán)現(xiàn)象比如聲波或光波的時候很有用。每一個信號都可以記為不同頻率的正弦和。

?

諧波數(shù)目遞增的方波的加法合成的動畫。

余弦函數(shù)的（通常是無限的）和；這是傅立葉分析的基礎(chǔ)想法。例如，方波可以寫為傅立葉級數(shù)：

在動畫中，可以看到只用少數(shù)的項就已經(jīng)形成了非常準確的估計。

如果明白了上書基本原理，也就不難理解我所用的浮動頻率合成曲線的道理。

?

2：指數(shù)函數(shù)：形如y=ka^x 的函數(shù)，k為常系數(shù)，這里的 a 叫做“底數(shù)”，是不等于 1的任何正實數(shù)。指數(shù)函數(shù)按恒定速率翻倍，可以用來表達形象與刻畫發(fā)展型的體系，比如金價2001年以來的牛市軌跡基本就是指數(shù)方程曲線。

特例：應(yīng)用到值 x 上的這個函數(shù)可寫為exp(x)。還可以等價的寫為 e^x，這里的e 是數(shù)學(xué)常數(shù)，就是自然對數(shù)的底數(shù)，近似等于 2.718281828，還叫做歐拉數(shù)。

即函數(shù)：

定義于所有的 a >0，和所有的實數(shù) x。它叫做底數(shù)為 a 的指數(shù)函數(shù)。注意這個 的定義依賴于先前確立的定義于所有實數(shù)上的函數(shù) 的存在。注意上述等式對于 a = e 成立，因為

指數(shù)函數(shù)可“在加法和乘法之間轉(zhuǎn)換”，在下列“指數(shù)定律”的前三個和第五個中表述:

它們對所有正實數(shù) a 與 b 和所有實數(shù)x 與 y 都是有效的。

3：冪函數(shù)：是形如f(x)=x^a的函數(shù)，a可以是自然數(shù)，有理數(shù)，也可以是任意實數(shù)或復(fù)數(shù)。

?

下圖是冪函數(shù); 自上至下: x^1/8, x^1/4,x^1/2, x¹, x²,x⁴, x⁸

?

?注意到上圖中a值有分數(shù)的情形，這個就是分形數(shù)學(xué)的源頭。分數(shù)維意味著兩個量x，y之間存在著冪函數(shù)關(guān)系,即y=ax^b 。而這里的b可以不是正整數(shù)。

語言學(xué)中Zipf定律與經(jīng)濟學(xué)中的Pareto定律都是簡單的冪函數(shù)，也稱之為冪律分布；還有其它形式的冪律分布，像名次——規(guī)模分布、規(guī)模——概率分布，這四種形式在數(shù)學(xué)上是等價的，冪律分布的示意圖如圖1右圖所示，其通式可寫成y=c*x^(-r)，其中x，y是正的隨機變量，c，r均為大于零的常數(shù)。這種分布的共性是絕大多數(shù)事件的規(guī)模很小，而只有少數(shù)事件的規(guī)模相當(dāng)大。對上式兩邊取對數(shù)，可知lny與lnx滿足線性關(guān)系，也即在雙對數(shù)坐標下，冪律分布表現(xiàn)為一條斜率為冪指數(shù)的負數(shù)的直線，這一線性關(guān)系是判斷給定的實例中隨機變量是否滿足冪律的依據(jù)。

冪率的另一層重要意義：理解冪律分布就是所謂的馬太效應(yīng)，二八原則，即少數(shù)人聚集了大量的財富，而大多數(shù)人的財富數(shù)量都很小。

4：對數(shù)函數(shù)曲線：群論對于對數(shù)的視角，是俺常用的：即從純數(shù)學(xué)的觀點來看，恒等式

，

在兩種意義上是基本的。首先，其他算術(shù)性質(zhì)可以從它得出。進一步的，它表達了在正實數(shù)的乘法群和所有實數(shù)的加法群之間的同構(gòu)。對數(shù)函數(shù)是從正實數(shù)的乘法群到實數(shù)的加法群的唯一連續(xù)同構(gòu)。

?

?

5：均勻分布：

先看一下離散型均勻分布，在概率論中，離散型均勻分布是一個離散型概率，其中有限個數(shù)值擁有相同的概率。設(shè)隨機變量X取n個不同的值，其概率分布為：

P｛X=xi}=1/n,i=1,2...n;??則稱X服從n個點{x1,x2,...xn}上的均勻分布。

這個東西表面看起來抽象，其實只需要記住一個例子就很好理解,賭博用的有6個面的骰子，6個面出現(xiàn)的幾率是相等的，即為均勻分布。

?

連續(xù)型均勻分布，如果連續(xù)型隨機變量具有如下的概率密度函數(shù)，則稱服從上的均勻分布（uniformdistribution）,記作

概率密度函數(shù)：

?

?

期望值（即均值）：

均勻分布具有下屬意義的等可能性。若,則X落在[a,b]內(nèi)任一子區(qū)間[c,d]上的概率：

只與區(qū)間[c,d]的長度有關(guān)，而與他的位置無關(guān)。

?

均勻分布可以代表信息極度貧乏的體系或無序狀態(tài)的體系。而如果一個系統(tǒng)不屬于均勻分布或隨機游走，即均勻分布或隨機游走的否定，就等于肯定了該系統(tǒng)具有信息，或者說具有某種程度的有序性。這個就是均勻分布的實際應(yīng)用價值之一。

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的一些常用函数的曲线图及应用简说的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

如果覺得生活随笔網(wǎng)站內(nèi)容還不錯，歡迎將生活随笔推薦給好友。