題目1：求 ${\lim }_{n\to +\infty }\frac{1}{\sqrt{n^2+1}}+\frac{1}{\sqrt{n^2+2}}+?+\frac{1}{\sqrt{n^2+n}}$

分析：

無(wú)窮項(xiàng)和求極限，首先分析每一項(xiàng)之間的不同之處。這道題每一項(xiàng)的差別，只有分母根號(hào)里面的一個(gè)一次項(xiàng)，也就是一個(gè)二分之一次項(xiàng)。當(dāng)每一項(xiàng)分母的差別，都是一個(gè)次數(shù)較小的項(xiàng)時(shí)，直接使用夾逼準(zhǔn)則即可。在每一項(xiàng)的分母中，找到最大值M和最小值m，設(shè)分子求和為sum，則夾逼準(zhǔn)則的下界為 $\frac{sum}{M}$，上界為 $\frac{sum}{m}$。

還有一個(gè)問(wèn)題，以什么標(biāo)準(zhǔn)判斷每一項(xiàng)分母的差別，是一個(gè)次數(shù)較小的項(xiàng)呢？答案很簡(jiǎn)單，如果分母中有差別的項(xiàng)不是分母的最高次項(xiàng)，就可以認(rèn)為分母的差別是一個(gè)次數(shù)較小的項(xiàng)。

當(dāng)然，如果每一項(xiàng)只有分子有差別，也可以使用夾逼準(zhǔn)則，同樣要求有差別的項(xiàng)不是分子的最高次項(xiàng)，不過(guò)有時(shí)候，分子和分母的次數(shù)相差太大，具體來(lái)說(shuō)，如果分母的最高次項(xiàng)的次數(shù)減分子最高次項(xiàng)的次數(shù)大于1，那么不管分子的差別項(xiàng)是不是分子的最高次項(xiàng)，都可以使用夾逼準(zhǔn)則。

答案：

設(shè) f(x) = $\frac{n}{\sqrt{n^2+1}}$，g(x) = $\frac{n}{\sqrt{n^2+n}}$

顯然，${\lim }_{n\to +\infty }f(x)$ = 1，${\lim }_{n\to +\infty }g(x)$ = 1

又 $\because$ f(x) < $\frac{1}{\sqrt{n^2+1}}+\frac{1}{\sqrt{n^2+2}}+?+\frac{1}{\sqrt{n^2+n}}$ < g(x)

$\therefore$ ${\lim }_{n\to +\infty }\frac{1}{\sqrt{n^2+1}}+\frac{1}{\sqrt{n^2+2}}+?+\frac{1}{\sqrt{n^2+n}}$ = 1

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的无穷项和求极限（夹逼准则）的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問(wèn)題。

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