所謂計算機，顧名思義，就是用于計算的機器。誠然現在的計算機應用已經遠遠超出了計算本身，不論是電腦、平板、還是手機，我們天天靠著它們看電影、聽音樂、交流感情，看似與計算已經毫無關系，但事實上最初計算機的誕生就是為了滿足人們對數學計算的需求，而如今計算機這些強大功能的底層實現，也依舊靠的是數學計算，這也是為什么我們仍然保留著“計算機”這一稱呼的原因吧。

那么首先就讓我們愉快地從最原始的地方說起。當今世界范圍內廣泛使用的是電子計算機，“電子”這一前綴標明了計算機的實現方式，指依靠那些在原子核周圍飛啊飛啊飛的電子們做成了計算機?，F在人們早已習慣于集成電路、微處理器這類高科技產物，你也許會認為世界上第一臺計算機就是1946年美國的那臺電子計算機ENIAC，但事實遠非如此，在人們能如此得心應手地利用電子之前，計算機早已經歷了數百年甚至可以說數千年的發展。通過對從古至今計算設備的歷史研究，科學家們基本認為，在電子計算機出現以前，計算設備的發展進程大致可以劃分為三個階段：手動時期、機械時期和機電時期。對應的計算機可以分別稱為手工計算機（話說這個能叫計算機么）、機械計算機和機電計算機。（聽著是不是很別扭啊，果然還是電子計算機最順口哈。）

手動時期（遠古時期~17世紀初）

手指

手指是人類（還有許多動物）與生俱來的計數工具，但在那個連語言都尚未出現的遠古時期，盡管人們（猿們？）有著10根手指和10根腳趾，但最先還用不上，因為這些數對他們來說還是太大了，甚至可以說他們還沒有明確的數的概念——在原始森林里，他們認識這棵樹，也認識那棵樹，唯獨沒有這是道旁第幾棵樹的概念，更沒有某一范圍內總共有多少棵數的概念。人類最初用身體的其他部位表示較小的數，比如用眼睛或耳朵表示2，然后才輪到手指。直到解放前，我國還有些文化發展比較遲緩的民族最多只能數到3或10，再往后數就數不清，只將其統稱為“多”。在國外，澳大利亞、新幾內亞和巴西的一些部落也沒有定義2或3以上數字的名稱。想來也是，在沒有下意識計數的情況下，當有一兩個人說你長得帥，你會記得有那么一兩個人說你長得帥，而當有第三、第四人說你長得帥時，你的印象里一定是：好多人都說我長得帥^w^

但人類終究是要與較大的數打交道的，除了每天的吃喝拉撒，我們的祖先們漸漸需要面對打到了多少獵物、部落有多少人這樣簡單的統計問題。他們用上了手指乃至腳趾，但單純的用“一根”表示1最多只能數到20，于是誕生了五花八門的手指計數方式。比如用右手表示個位、左手表示十位，這樣最多就能表示到99。

右手表示個位數，左手表示十位數（圖片來自《計算機技術發展史（一）》P17） 左右手并用可以表示到99（圖片來自《計算機技術發展史（一）》P17）

進階一點，可以用上手指的關節。攤開你的手，可以看到，拇指有2個關節，其他手指均有3個關節。具體如何表示，就可以發揮你的想象力了。比如用拇指和食指的關節（共5個）表示十位，用其他三個手指的關節（共9個）表示個位，單只手就可以表示到59，這種表示方法正是針對古巴比倫使用六十進制的一種假設。

再進階一點，手指的彎曲、指關節的方向、甚至手勢都可以用來表示更大的數，例如古代威尼斯的一種手指計數法，大家感受一下。（仔細一看，我第一個手勢就做不出來……）

古威尼斯的一種手指計數法（圖片來自《計算機技術發展史（一）》P20）

不得不感嘆人類的智慧，在那個無法借助外部工具的時代，人們光靠手指就能計數到成百上千，甚至達到百萬?，F在我們也用手指，卻基本只會從1數到10，折回來再從11數到20，以及一些表示6、8等特殊數字的簡單手勢。

然而僅僅能用手指表示數字并不稀奇，現在聾啞人使用的手語除了數還能表示無比豐富的含義，欲將手指稱為計算工具，起碼還要實現計算功能。手指確實可以進行一些簡單的計算，而且不但能做加減還能做乘除，但通常只能計算特定范圍內的數，往往還需要心算的配合。現在一些數學老師熱衷于開發面向小朋友的手指速算法，確實比純心算要快、要可靠，但仍然需要與口訣和簡單的心算配合。而正是手指的這種局限性，促使著人類去尋求更先進的計算工具，一步步朝牛逼的電子計算機邁進。

石子什么的

用手指計數和計算的一個明顯缺陷就是無法進行存儲，只能顯示一個當前數，而且為了記錄一個數你的手指也不能一直那樣擺著不是。人們最早借助的外物是一些極常見的石子、貝殼、小木棍等，比如可以在地上擺放對應數目的石子來表示圈養了多少獵物，宰殺了兩頭就從中取出兩塊石子，新狩獵到三頭就往進添加三塊石子，人就不需要時刻記著還剩多少頭獵物。

聰明而富有信仰的古人們還會發明了一些有趣的擺法，一則美觀，而則易于讀數，比如美國南部印第安人將石子、木棍和箭結合使用，將21擺成萬字符。

美國南部的印第安人將21擺成萬字符（圖片來自《從算盤到電腦》P27）

在這里，中華民族偉大的先人們就開始犀利了。古老而神秘的河圖、洛書便是由石子計數演變而來，使用黑白兩類石子，不但可以表示數字，還推演出高深的陰陽八卦，早已上升到哲學高度。

結繩

相信大家對“結繩記事”并不陌生，在繩上打結可以代表數字，這個方法在國內外皆有考證。傳說波斯王派軍遠征時，命他的衛隊留下來保衛耶茲德河上的橋60天，但士兵可能沒那么聰明，如何計算天數呢？又不能像現在這樣每天早上掏出手機看是幾月幾號。于是波斯王在皮條上打了60個結，囑咐士兵每天解開一個，解完結就可以回家了。

與手指一樣，結繩法并非只能用一個結表示1，結的打法、結與結之間的距離均可表示不同的數字，比如兩個相鄰的結表示20、雙重結表示200。給繩子染上顏色，更能表示諸多其他含義，比如黃色表示玉米、紅色表示武器。在秘魯等國家甚至使用結繩法記錄歷史傳說，這就是為什么我們常說“結繩記事”而不是“結繩記數”的原因吧。而正是由于結繩有著這樣那樣的豐富內涵，古時許多民族認為它神圣不可侵犯，需要有專人進行管理，沒有權利的人隨意打上或解開繩結會受到嚴厲的處罰。

錯綜復雜的繩結內涵豐富

結繩法除了記數和記事外，還能用于通訊、用作契約憑證，用途如此廣泛，正是由于在文字誕生之前，比起表示數字，結繩更是一種表示文字的有效途徑。然而結繩用于記事雖然穩定長久，但在計算方面似乎就無能就為力了，你總不能為了算個加減法在兩三根繩上不停地打結、解結吧，累不死你。以最有名的秘魯結繩法為例，在現存的一副16世紀左右的圖畫中可以看到，左下角有一個計算盤，在上面用玉米仁進行計算，而后將計算結果轉換為繩結，可見結繩本身并沒有計算功能，僅僅被用來記錄數據。

秘魯結繩法（圖片來自《數學趣聞集錦（上）》P14）

籌碼/算籌

呃，首先要說明一下，這里的籌碼是指古人的一種計算工具，不是現在賭場里那玩意兒！

籌碼（或稱算籌、籌等）在國內外的應用也十分廣泛，直到上世紀前四分之一時期仍有許多民族使用。不同文化中的籌碼形狀各異，有方形、長條形、圓形等等，制作材料也很豐富，如竹、木、骨、鐵、玉、象牙等，凡能削出特定形狀的硬物皆可為之。人們通過用刀在籌碼上刻痕來實現記數，刀痕的數目、組合、深淺、部位，以及籌碼本身的顏色、擺放的相對位置等均有不同含義。

兩種不同類型的籌碼（圖片來自《計算機發展史》P27、28）

由于籌碼制作簡單、使用方便、易于保存，其用途非常之廣泛，可以用作收據，甚至錢票。其中有一種債務籌碼挺有創意，在籌碼上刻上欠債金額，而后劈成兩半，債務人和債權人各執一半，到算賬時兩半拼合，刀痕必須重合，鐵證如山，篡改不得，都不需要像現在這樣雙方簽字、摁手指什么的，真是既方便又實用。

相比前三類工具，籌碼在計算能力上突飛猛進，方可謂一件比較完善的計算工具。愛沙尼亞有一種計算籌碼與后來出現的計算尺略像，做成了可以相對移動的插銷形式，可以進行快速計算，估計算是計算尺的鼻祖了。

說到這里，當然少不了我國古代簡直獨孤求敗的籌算，最遲在春秋戰國時期就已出現，古文中“運籌帷幄”“觥籌交錯”等言皆出于此。所謂籌算，就是以算籌為工具，進行加減乘除四則運算，以及乘方、開方和其他代數運算的運算方法。納尼！乘方？開方？！是的，你沒有看錯，而且遠不止這些，籌算甚至能解方程（組）、求最大公約數和最小公倍數、計算圓周率、解同余式組、造高階查分表等等，甚至還使用到負數等較為抽象的數字，比西方早出一百年甚至好幾百年。公元480年左右，南北朝時期的數學家祖沖之使用籌算將圓周率精確到小數點后7位，這一精度保持了近千年，直到15世紀初才被打破。

籌算能達到如此高的水準，全靠一代代勞動人民和數學家的探索總結。他們以小木棒的組合擺放表示數字，依靠熟記于心的口訣進行運算，九九乘法表就是其一，現在人依然靠它進行乘除法心算。算籌，包括之后的算盤作為工具本身并不復雜，并沒有太強大的功能，真正強大的是使用它們的算法。而為了在簡單的工具上完成復雜的算法，必然需要進行許多機械式的重復步驟，久而久之熟能生巧?；I算熟練者，計算速度應該是比較可觀的，沈括《夢溪筆談》中有“運籌如飛，人眼不能逐”的描述，不知是否有夸張成分，但參考現在嫻熟的算盤手，基本也能想象其景。

算籌以縱式與橫式兩種形式表示1~9（0則以留空表示），個位數用縱式，十位數用橫式，百位數又用縱式，以此類推，間隔使用，正如《孫子算經》中的口訣所言：“一縱十橫，百立千僵，千十相望，萬百相當。”估計與現在許多地方使用間隔色一樣是為了方便人眼區分吧。《夏侯陽算經》在其后又加了四句：“滿位以上，五在上方，六不積算，五不單張?！敝府敂党^5，用一根放在上方的算籌表示5，像極了后來出現的算盤。不過算盤本來就是由算籌發展而來的，不像才怪咧。

算籌表示數字的形式

古人在進行籌算時，先將棍狀的算籌從隨身攜帶的算袋中取出，放到桌上、炕上或地上進行排布，跟現在在紙上打草稿有的一拼，算法也有相似之處。以《孫子算經》所記乘法為例，與現在的演算過程簡直如出一轍。

籌算乘法示例（圖片來自《我國古代算籌的應用》）

算籌如此強大，但也并不就意味著已經登峰造極了，隨著數學家們推出越來越多牛逼的算法——什么重因法、身外加減法、求一法，聽都沒聽說過——靠作為一堆小棍棍的算籌應付起來已經有點有心無力了。何況籌算時所用算籌數量龐大，表示單個數就可能用到5根，數多則致繁亂，三國時期魏國人管輅的《管氏地理指蒙》一書中甚至以籌喻亂：“形如投算，憂愁紊亂。”而且起初的算籌長約14厘米，擺個6（“丄”）就要占200平方厘米，可以想象，做稍微復雜一點的運算時得放多大一塊面積。古人也意識到這個問題，逐步改短算籌，到宋元間縮至1~3寸，但面對大計算量的問題依然不好使。宋代馬永卿《懶真子》一書就有言：“卜者出算子約百余，布地上，幾長丈余。”這要算個東西簡直要鋪滿客廳，還得滿地爬，不僅是個腦力活，更是體力活，搞不好還容易閃著腰啊……

算盤

在手動計算時代，算盤稱得上是件當之無愧的計算神器了，它的功能與算籌同樣強大，因框架和算珠制成一體，攜帶和使用則比算籌方便得多，發展至元中后葉基本取代了算籌。

起初的算盤并不是今天這副模樣的，它有一個逐步發展的過程，不同地區的算盤不盡相同，雖然大抵都是一個規格化的底盤，上有可移動或擺置的算籌，具體實現卻花樣層出，都是鋪天蓋地的智慧啊！這里就以我國的算盤為例，大家都比較熟悉。

階段一：底盤為一個10行若干列的表格，形如棋盤，行號代表0~9，有多少列就可以表示多少位的數，通過在小方格中擺放籌碼來表示數，國內外曾用過石子、貝殼、木塊、金屬塊、果核等，這里統稱為算珠。數的表示方法很簡單，以筆者撰寫該部分內容的日期150622（2015年6月22日）為例。

階段二：使用兩種顏色的算珠，算盤面積減小了一半。0~4用黃算珠，5~9用黑算珠表示，更像下棋了。

階段三：以橫梁為界，將算盤分為上下兩部分，上面的一個算珠表示5，下面的一個算珠表示1，以算珠的位置和數目結合表示數字，不再區分顏色，形成了最終的算盤規格。

這種形式的算盤存在到八世紀（唐朝中期），到十世紀（唐朝后）即采用了目前木框木柱穿木珠的形式（當然任性一點金制、玉制的什么都有），此外當然還有一些非主流的算盤形式出現，從十七世紀（明末期）開始算盤就沒再有何本質上的變化。

閃亮閃亮最閃亮的金算盤和玉算盤

想必大家都多少接觸過算盤，此處就不贅述其使用方法了。就算沒有接觸過，你一定聽說過“三下五除二”吧，這本是句珠算口訣：在某一位上加3時，如果下方珠子將超過4個，就需要撥下一個上方表示5的珠子并去除下方兩個表示1的珠子，以“+5-2”代替“+3”。欲知更多知識，請自百度之。

算盤之所以能稱為神器，是因為用它能解算古代所有的數學問題，古代中國學者甚至認為，只有當一個問題能用算盤求解時，這個問題才算是可解的。在我國研制第一顆原子彈時，計算機不夠用，科學家們就打算盤，打出那原子彈爆炸時中心壓力的正確數據！

要知道算盤用得熟練，計算速度可是相當給力的。在1946年日本東京的一場表演中，一位算盤手PK使用電動計算機（下一篇會提到的機械式計算器的一種）的美國軍官時全盤勝出。就算你使用現在的電子計算器，在基本運算方面也敵不過熟練的算盤手，因為你按鍵的速度趕不上他們撥珠的速度。加上算盤出錯的范圍較小，因此在電子計算器稱霸日常計算領域的今天，依然有不少人喜歡使用算盤。2013年12月4日，珠算成功申遺，被譽為中國的第五大發明。

但算盤的計算速度畢竟已經比不上計算器了，現在更多的是用于培養孩子的心算能力，調查發現，學習珠算的孩子心算能力比不學珠算的孩子強得多。后又出現了一項神技——珠心算，通過在腦海中浮現算盤影像的方式實現快速心算。今年3月13日的《最強大腦》節目中日本9歲神童辻洼凜音震撼全場，6172938×1203490分分鐘，不對，秒秒鐘寫出答案，計算時手指快速搓動，靠的就是珠心算。

答案有多長你造嗎？7429069153620！（萬億級）

納皮爾棒/納皮爾籌

蘇格蘭偉大的數學家約翰·納皮爾（John?Napier）一生最大的成就估計就是對數了，在那個計算工具簡陋的那個年代，對數的出現大大簡化了乘除法的計算，因為使用對數，乘除就可以簡化為加減。事實上，納皮爾棒僅僅是當時納皮爾為計算對數表而發明的輔助工具。

1617年，納皮爾在《Rabdologi?》（這單詞是納皮爾自己造的，個人認為可以翻譯為“籌算法”）一書中介紹了三種計算工具，納皮爾棒是其中最著名的一種。在之后的一兩百年中相繼出現了諸多納皮爾棒的改良版本，它們使用起來都更方便更快捷，然并卵，人們不會記住第二個登上月球的人，這里只介紹納皮爾的設計。

納皮爾棒是一根根零散、獨立的小棒，棒上密密麻麻印著什么呢？其實就是乘法表，每個小格都通過一根斜線劃分成兩部分，左上部分填十位數，右下部分填個位數，這樣設計是由于采用了來自印度的gelosia乘法（或形象地稱之為百葉窗乘法）。

使用時將所需的小棒并排放在一起進行計算，以筆者撰寫該部分內容的時間（6月24日晚9點）為例，計算624×9，先將代表6、2、4的小棒并排放置。讀出它們與9對應的那一行數，以斜線為界，對每一位進行相加，超過9時通過心算進行進位，很快得到最終結果5616。

多位數與多位數的相乘則是先將被乘數與乘數的每一位相乘，最后錯位相加，如此納皮爾棒便巧妙地把乘法化簡為加法。而對過程稍一分析就不難發現，其原理其實十分簡單，與我們現今用的筆算方法一致，皮納爾棒主要是省去了背誦乘法表的功夫，連進位都仍需心算，但在進行大數的乘除時可以節省時間。另外，皮納爾棒還可以用于開平方和開立方，與前面的10根小棒不同，另有專用的小棒，具體算法就不再深究了，感興趣的朋友可移步維基娘。

補充知識：納皮爾棒，英文Napier's?Bones或Napier's?Rods，Rod很明顯是Rabdology的縮寫，而之所以有Napier's?Bones之稱是因為納皮爾棒多由動物的骨、牙、角等制成，因為納皮爾棒也有“納皮爾骨籌”、“納皮爾骨算籌”、甚至“皮納爾的骨頭”等叫法。

計算尺

借助納皮爾的對數，人們可以將乘除法化簡為加減法，具體操作時需要反復查閱對數表。舉個簡單的例子，計算8×16，先從對數表上查得8的對數3、16的對數4（以2為底），8×16便轉換為3+4的計算，最后在對數表上找到7所對應的數128——便是最終結果。

為了簡化這反復查表的過程，1620年，英國數學家埃德蒙·甘特（Edmund Gunter）將對數表刻在了尺上，使用時需要借助一個圓規。再以8×16為例，先將圓規兩腳分別指向1和8的位置，而后保持圓規張角不變，平移使其左腳指向16的位置，此時右腳所指便是計算結果。

實際尺上1~2、2~4等之間都是有連續刻度的，這里偷懶只畫出了關鍵刻度。

1622年左右，同樣來自英國的數學家威廉·奧特雷德（William?Oughtred）將兩把甘特對數尺并排放置，通過相對滑動就實現了尺上示數的相加，不再需要圓規佐助，只要拉動一下就可以輕松得到乘除結果，如此一件方便實用的神器卻過了整整兩個世紀才流行起來。

奧特雷德計算尺的原理十分簡單

與納皮爾棒一樣，計算尺在風靡時期也產生了眾多升級版，除了可以進行乘除、開方等基本運算外，比例、倒數、正弦、余弦、正切等也不在話下。（神奇的是，計算尺不能做加減法，嗯，或者說加減法對計算尺來說太low了。）1850年，一個年僅19歲的法國炮兵中尉在計算尺上加上了游標，這一設計被一直沿用了下來。

直到上世紀六七十年代計算尺才被電子計算器所漸漸取代，許多那個年代過來的前輩們一定都親身使用過，現在也仍能買到，只是不再流行。感興趣的朋友也先別急著打開某寶，老外做了個虛擬計算尺的網站，提供了7種不同的計算尺任君玩耍。這里以筆者撰寫該部分的時間（6月25日晚9點）為例，計算6.25×9，將中間滑尺的起始位置與上側刻度6.25處對齊，將游標與滑尺刻度9處對其，此時游標所指上側尺的刻度即為計算結果，因為精度有限，需要估讀：56.1——與正確答案56.25存在誤差，這也正是計算尺的一個缺點。

或者你是個DIYer，只需一張A4紙、一卷膠帶、一支筆就可以自己動作制作一把，成就感滿滿~

打印該設計圖分分鐘DIY一把計算尺（圖片來自《When Slide Rules Ruled》）

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更多詳細內容，見新版連載：《計算機發展史趣談》

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參考文獻

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[13] 吳師傅. 如果沒有計算器，我們就用計算尺吧[EB/OL]. http://www.guokr.com/article/38752/, 2011-06-08.

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總結

以上是生活随笔為你收集整理的没有计算器的日子怎么过——手动时期的计算工具的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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