小學(xué)的奧數(shù)題中，最令人頭疼的題型無非是找規(guī)律了，各種毫無規(guī)律的數(shù)列。你可以試試下面的例子：

*1，4，14，53，90，268，977，1586

*1 ，3， 7， 8， 0， 5， 9， 2， 4， 6

*4，2，5，2，6，10，3，7，6，4，6

其實一直以來，我也一直很疑惑有沒有什么找規(guī)律的秒殺解。就像小學(xué)的撓破頭都解不了的應(yīng)用題，到了中學(xué)以連數(shù)學(xué)不及格的人都可以輕而易舉地列個方程解掉。直到看到了一個帖子兩個網(wǎng)友的對話：

@Talentedpope ：哦，設(shè)一個8次多項式，待定系數(shù)法，結(jié)束了。。。

@三哥臭皮匠 ：不如直接說用拉格朗日插值呢……

等等，拉格朗日插值，我學(xué)過。等等？這貨居然可以這么用！？

好吧，作為面向小學(xué)生以及其父母的方法，我覺得有義務(wù)要詳細(xì)解釋一下什么叫做拉格朗日插值法。

首先，這個方法為什么叫做拉格朗日插值法呢？一是因為拉格朗日“提出”了這種方法(其實拉格朗日并不是第一個提出的，只是因為他名氣比較大，很多人都是因為他才了解到這個方法)，所以有“拉格朗日”。

那為什么叫做“插值法”呢？

好吧……所謂的插值，就是“插”“值”，就是指找出一個通過給出離散數(shù)據(jù)點的函數(shù)(好吧，好吧，我知道小學(xué)生不懂函數(shù)和離散)。那么，數(shù)列中給出數(shù)據(jù)可以表示為在坐標(biāo)系上的點，x坐標(biāo)就是第幾項，y坐標(biāo)就是該項的值。

比如說，“1 ，3， 7， 8， 0， 5， 9， 2， 4， 6”這個數(shù)列可以表示為：

在Mathematica中用幾行簡單的代碼即可做到：

接下來，我們找出這些點都在哪一個函數(shù)上面，接著下來把下一項的項數(shù)帶進(jìn)去，就得到了下一項的值——這實際上就是通項公式！

事不宜遲，馬上來試一試！

首先，我們先來看看拉格朗日插值公式是怎么樣的：

好吧，我知道小學(xué)生又看不懂了。

那下面我們先試一一個簡單的數(shù)列：1、8、27…那下一個是什么呢？

首先，這表示存在一個函數(shù)。當(dāng)自變量分別為1、2、3時函數(shù)值為1、8、27。于是我們可以設(shè)一個函數(shù)：

接下來就是關(guān)鍵的一步了！小學(xué)生可以不懂這是怎么回事。但有什么問題？考試會用就行了(如果你不介意再解釋一下一些其他的問題...比如未知數(shù)、自變量和分?jǐn)?shù)的運算)。

容易看到，整個式子是三項的和，每一個點都有一項。對于每一個單獨的點來說，分子是這一點的函數(shù)值乘上x與其他點的自變量的差。而分母就是該店的自變量和其他點的自變量的差的積。

于是，一個通項公式就出來了。是

于是我們迫不及待地把x=4帶進(jìn)去，得到58.

至此，大功告成。

等等，什么答案寫著是64？別管了，肯定是盜版書印錯答案了。有什么可能拉格朗日大牛會錯呢？

什么，我們的規(guī)律不對？正確的是y=x^3?好的，讓我看看。嗯…難道是拉格朗日錯了？但是前面我們的估算也是沒問題的啊。

再仔細(xì)看一下坑爹的高數(shù)課本，才發(fā)現(xiàn)原來是我們一直搞錯了。如果我們給的是n個點，那么拉格朗日給出的函數(shù)將會是(n-1)次的。

這不坑爹嗎…用公式之前還得想清楚這個函數(shù)是幾次的，而且如果是更高次數(shù)的還沒辦法加上點去求(更別說斐波那契數(shù)列這樣的用遞歸定義的數(shù)列了)。

這就意味著，就算是1、2、3、4、5、6…這樣的數(shù)列，拉格朗日插值法在耗盡你大量的考試時間去求出通項公式以后，還會給出一個超級坑爹的答案！

那么這個方法還有什么用！

別急，前面的計算都是為后面做鋪墊的。現(xiàn)在才是主要內(nèi)容。

無論是分布得多么奇怪的點，拉格朗日插值法總能給出一條經(jīng)過這些點的函數(shù)圖象。也就是說，就算是1、2、3、4、5、6、(1568)這樣明顯不靠譜的答案也是“有規(guī)律的”。因為你總可以設(shè)一個六次多項式，找出這個數(shù)列的通項公式。

所以說：

1、3、5、7、9、(1598)，是對的

3、1、4、1、5、9、2、(999)，是對的

1，1，2，3，5，7，(8989)，是對的

2，4，6，8，(5)，是對的

如果老師斗膽把你的答案批錯的話，你大可以把這篇文章打印出來，然后跟老師說：“這個空填任何數(shù)都是可以的，因為你總可以設(shè)一個n次多項式，然后……”

(我承認(rèn)這是偽科普，真娛樂....)

總結(jié)

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