現在從接觸無窮級數到現在一共差不多2個星期了，一直沒有很正視他，但是今天做題的時候突然發現自己在這個方面還有很多不懂的地方。為了完成作業，我看了會相關資料，現在將我的一點收獲在這里總結一下。 （我現在只學到到了正向級數和交錯級數）
級數就是無窮項之和，正向級數指的是每一項都為正數的級數，交錯級數為級數里存在符號差異的級數。 關于級數，我們有幾個要關注的地方，一個是收斂性，另外一個就是如果收斂 那么到底是絕對收斂還是條件收斂。 收斂表明當級數的部分和（即級數的前n項和，一般用Sn表示）的n趨向于無窮時，部分和趨向于一個固定的數。發散就與之相對。由此我們可以得到一個收斂級數的必要條件，就是當n趨向于無窮時，Un（級數的第n項）趨向于0，這一點很好理解，不做贅述。（我們在判斷一個級數的收斂性的時候，這一步往往是第一步）。 關于收購連級數還有一個重要性質，就是將收斂級數的各項按照一定規則組合起來，得到的新級數仍然收斂（例如將∑1/n^2的每一個奇數項和其后的偶數項相加作為新級數的一項）（同時注意反過來不一定成立，比如∑（-1）^n）。這個性質往往可以被利用來證明一個技術發散。 關對于正項級數的收斂性判斷主要有一下5個方法 1比較判別法 0<Un<Vn 當∑Un發散的時候∑Vn 發散 ? ? ? 當∑Vn收斂時Un收斂 這個性質也很容易想象，同時這個也是一個很常用的方法。我們在做題的時候需要要得到一個正項級數的收斂性的時候要多考慮一下這個方法，當需要證明一個級數發散的時候，就將該級數的每一項縮小并討論這個新級數（最好能得到一個遞歸式 比如Un 單調增加（且大于0） 級數每一項為（Un+1 - Un）/Un，那么把每一項的分母換為U1），當需要證明一個級數收斂的時候，我們就將每一項放大并討論新級數。 合理的使用比較判別法能很大程度上簡化過程。
2比值判別法（又叫達蘭貝爾判別法） Lim（Un+1/Un）n趨向于無窮， 當結果大于1時，級數發散，當結果小于1時，級數收斂，當結果等于1時，這種方法失效，這種方法可以看作是根據結果將該級數和一個等比數列進行比較。
3根號判別法（又叫柯西判別法） lim√Un ? ?當n趨向于無窮時 如果結果大于1 級數發散 結果小于1時 級數收斂 當結果等于1時，這種方法失效，這個方法的具體證明過程我還不知道，這里就不裝大頭了。 （2，3這兩個方法是比較常用的方法，3比2適用范圍更廣）
4函數判別法 當級數的每一項可以組成一個單調遞減的數列，那么幾個將級數化作一個函數（如∑1/n等價于 ∫Ln x）。
5（忘記名字了，還是叫他比較判別法把） LIM Un/Vn 將兩個正項級數各項相除，當N趨向于無窮的時候，如果結果大于等于0 時，Vn收斂則Un收斂 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 如果結果大于0，Vn發散，Un也發散 這個也保證了正項級數可以使用等價無窮小/大 進行替換操作。
接下來談絕對收斂和條件收斂的概念 當∑Un收斂∑|Un|也收斂，那么級數絕對收斂 ? ∑Un收斂∑|Un|發散，那么級數發散 同時當∑|Un|收斂的時候∑Un必定收斂可以證明，即這樣可以直接得到級數絕對收斂
同時 絕對收斂+絕對收斂 = 絕對收斂 ? ?絕對收斂+條件收斂 = 條件收斂 ?? ? ?條件收斂+ 條件收斂 = ？
討論的絕對收斂和條件收斂的時候，我們要處理的對象一般不是正項級數。但是分析每一項的絕對值的時候就可以用到正項級數的判別方法。
關于交錯級數的收斂性的判別方法：如果級數的各項可以表示成 （-1）^n An ? 那么如果滿足 An > An-1 同時 lim An ? n趨向于 正無窮的時候 結果為0 ?那么交錯級數收斂。 憑借這個性質 ?我們很容易的得到無窮級數 ∑（-1）^n 1/（n）^p ? 但p>0的時候 級數 收斂 ?<=0的時候 級數 發散
關于對于可以表示成∑AnBn無窮級數的證明 還有 2個比較特別的方法 1 阿貝爾判別法 當級數 ∑An ?部分和 收斂 ?｛Bn｝單調趨向于 0 ?級數收斂 2 狄利克萊判別法 當級數∑An 收斂 ? ?｛Bn｝單調 ? 級數收斂
剩下的以后接觸到我再進行補充或修正

總結

以上是生活随笔為你收集整理的关于的无穷级数的一点总结的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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