當前位置：首頁 > 编程资源 > 编程问答 >内容正文

编程问答

普通Kriging算法笔记

發布時間：2023/12/20 编程问答 29 豆豆

生活随笔收集整理的這篇文章主要介紹了普通Kriging算法笔记小編覺得挺不錯的,現在分享給大家,幫大家做個參考.

普通Kriging算法筆記

1. 前提假設

區域內已知輸入點坐標 $x_{i}$ ，對應值為 $z_{i}=f(x_{i})$ ；待插值點表示為 $x$ ，估計值為 $z^*$ ，真值為 $z$
1）待插值點可由一系列已知點的加權和表示， $z=∑i=1nλiziz=\sum_{i=1}^{n} \lambda_{i} z_{i}$
2）區域內均值一致，即 $E[z]=μE[z]=\mu$ ；方差一致，即 $Var[z]=δ2Var[z]=\delta^{2}$
3）區域內距離和方差滿足變異函數；

2. 約束條件

1）無偏約束：即估計值是無偏的 $E[z-z^*]=0$
2）估計方差最小： $min?λiVar[z?z?]\min_{ \lambda_{i}} Var[z-z^*]$

3. 推導

3.1 無偏約束

$E[z?z?]=E[z?∑i=1nλizi]=E[z]?∑i=1nλiE[zi]=μ?μ∑i=1nλi=0E[z-z^*]=E[z-\sum_{i=1}^{n} \lambda_{i} z_{i}]=E[z]-\sum_{i=1}^{n} \lambda_{i}E[z_i]=\mu -\mu\sum_{i=1}^{n} \lambda_{i}=0$
得： $∑i=1nλi=1\sum_{i=1}^{n} \lambda_{i}=1$

3.2 估計方差最小

$Var[z?z?]=Var[z]+Var[z?]?2Cov(z,z?){\color{Orange}Var[z-z^*]}={\color{Red}Var[z]}+{\color{Green}Var[z^*]}-2{\color{Blue}Cov(z,z^*)}$
$Var[z]=Cov(z,z){\color{Red}Var[z]}=Cov(z,z)$
$Var[z?]=Var[∑i=1nλizi]=Cov(∑i=1nλizi,∑i=1nλizi)=Cov(∑j=1nλizi,∑i=1nλjzj)=∑i=1n∑j=1nλiλjCov(zi,zj){\color{Green}Var[z^*]}=Var[\sum_{i=1}^{n} \lambda_{i} z_{i}]\\=Cov(\sum_{i=1}^{n} \lambda_{i} z_{i},\sum_{i=1}^{n} \lambda_{i} z_{i})\\=Cov(\sum_{j=1}^{n} \lambda_{i} z_{i},\sum_{i=1}^{n} \lambda_{j} z_{j})\\=\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}\lambda_{i}\lambda_{j}Cov(z_{i},z_{j})$
$Cov(z,z?)=Cov(z,∑i=1nλizi)=∑i=1nλiCov(z,zi){\color{Blue}Cov(z,z^*)}\\=Cov(z,\sum_{i=1}^{n} \lambda_{i} z_{i})\\=\sum_{i=1}^{n} \lambda_{i} Cov(z,z_{i})$
在這里引入半方差函數 $Cov(zi,zj)=δ2?rij{Cov}\left(z_i, z_j\right)=\delta^{2}-r_{i j}$
$Var[z?z?]=(δ2?r00)+∑i=1n∑j=1nλiλj(δ2?rij)?2∑i=1nλi(δ2?ri0)=2∑i=1nλi(ri0)?∑i=1n∑j=1nλiλj(rij)?r00{\color{Orange}Var[z-z^*]}=(\delta^{2}-r_{00})+\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}\lambda_{i}\lambda_{j}(\delta^{2}-r_{i j})-2\sum_{i=1}^{n} \lambda_{i} (\delta^{2}-r_{i0})\\=2 \sum_{i=1}^n \lambda_i\left(r_{i 0}\right)-\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n \lambda_i \lambda_j\left(r_{i j}\right)-r_{00}$
接下來需要尋找使 $Var[z-z^*]$ 最小的一組 $λi\lambda_{i}$ ，需要用到拉格朗日乘數法

回顧拉格朗日乘數法
設給定二元函數 $z = f (x, y)$ ，約束 $φ(x,y)=0\varphi (x,y)=0$ ，為尋找 $z = f (x, y)$ 在約束條件下的極值點，構造拉格朗日函數 $F(x,y,λ)=f(x,y)+λφ(x,y)F(x,y,\lambda)=f(x,y)+\lambda\varphi (x,y)$
令 $F(x,y,λ)F(x,y,\lambda)$ 對 $x,y,λx,y,\lambda$ 的偏導數為0，即
$?F(x,y,λ)?x=?f(x,y)?x+λ?φ(x,y)?x=0\frac{\partial F(x,y,\lambda)}{\partial x} =\frac{\partial f(x,y)}{\partial x} +\lambda \frac{\partial \varphi (x,y)}{\partial x}=0$
$?F(x,y,λ)?y=?f(x,y)?y+λ?φ(x,y)?y=0\frac{\partial F(x,y,\lambda)}{\partial y} =\frac{\partial f(x,y)}{\partial y} +\lambda \frac{\partial \varphi (x,y)}{\partial y}=0$
$?F(x,y,λ)?λ=φ(x,y)=0\frac{\partial F(x,y,\lambda)}{\partial \lambda} =\varphi (x,y)=0$

對上述問題構造拉格朗日函數
$J=F(λ0,,λ1,…,λn,λ)=f(λ0,,λ1,…,λn)+λ?(∑i=1nλi?1)=Var[z?z?]+λ?(∑i=1nλi?1)J=F\left(\lambda_0, ,\lambda_1, \ldots ,\lambda_n, \lambda\right)=f\left(\lambda_0, ,\lambda_1, \ldots,\lambda_n\right)+\lambda \phi\left(\sum_{i=1}^n \lambda_{i}-1\right)\\=Var[z-z^*]+\lambda \phi\left(\sum_{i=1}^n \lambda_{i}-1\right)$
解得：
$ri0?∑i=1nλirij+φ=0r_{i 0}-\sum_{i=1}^n \lambda_i r_{i j}+\varphi =0$

3.3 求解權重

$[r11r12…r1n1r21r22…r2n1……………rn1rn2…rnn111…10][λ1λ2…λnφ]=[r1or2o…rno1]\left[\begin{array}{ccccc} r_{11} & r_{12} & \ldots & r_{1 n} & 1 \\ r_{21} & r_{22} & \ldots & r_{2 n} & 1 \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ r_{n 1} & r_{n 2} & \ldots & r_{n n} & 1 \\ 1 & 1 & \ldots & 1 & 0 \end{array}\right]\left[\begin{array}{c} \lambda_1 \\ \lambda_2 \\ \ldots \\ \lambda_n \\ \varphi \end{array}\right]=\left[\begin{array}{c} r_{1 o} \\ r_{2 o} \\ \ldots \\ r_{n o} \\ 1 \end{array}\right]$
根據變異函數，可將距離轉換為 $r_{i j}$ ，即方程左邊第一項和右邊都已知，可求解出權重和拉格朗日乘子
預測值為： $z=∑i=1nλiziz=\sum_{i=1}^{n} \lambda_{i} z_{i}$
預測方差為： $Var[z?z?]=2∑i=1nλi(ri0)?∑i=1n∑j=1nλiλj(rij)?r00=2∑i=1nλi(∑i=1nλirij?φ)?∑i=1n∑j=1nλiλj(rij)?r00=∑i=1nλi(ri0)?φVar[z-z^*]=2 \sum_{i=1}^n \lambda_i\left(r_{i 0}\right)-\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n \lambda_i \lambda_j\left(r_{i j}\right)-r_{00}\\=2 \sum_{i=1}^n \lambda_i\left(\sum_{i=1}^n \lambda_i r_{i j}-\varphi \right)-\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n \lambda_i \lambda_j\left(r_{i j}\right)-r_{00}\\= \sum_{i=1}^n \lambda_i\left(r_{i 0}\right)-\varphi$

總結

以上是生活随笔為你收集整理的普通Kriging算法笔记的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

如果覺得生活随笔網站內容還不錯，歡迎將生活随笔推薦給好友。

上一篇： SSM框架下打卡签到增加积分功能的实现
下一篇： 4G模块 EC03-DNC的常用AT指令