題目鏈接

考慮最后形態，一定是有某一個區間 \([l,r]\) 保持初始的樣子， \(l\) 前面都是 <，\(r\) 后面都是 >。

這個區間一定是某兩個相鄰圓點的位置。設 \(f_i\) 為前 \(i\) 個數全部被覆蓋成 < 的概率。設 \(x\) 為 \(l\) 前面圓點的數量，\(y\) 為 \(r\) 后面圓點的數量，那么區間 \([l,r]\) 的概率就是 \(f_{x}\times f_{y}\)（\(y\) 那里是對稱的）。同時區間的 < 數量我們也是好求的。

考慮如何求出 \(f_i\)，從 \(f_{i-1}\) 轉移。此時 \(i\) 這個圓點有 \(2n\) 種選擇（方向兩種，時間 \(n\) 種）。唯一不合法的是在第一次就往右走。所以 \(f_{i}=f_{i-1}\times \frac{2n-1}{2n}\)

// LUOGU_RID: 139275577
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using namespace std;
const int N=2e5+5,P=998244353;
char s[N];
int inv[N],n,f[N],c,g[N],ans,nx[N];
int main()
{
	inv[1]=1;
	for(int i=2;i<N;i++)
		inv[i]=1LL*(P-P/i)*inv[P%i]%P;
	scanf("%d%s",&n,s+1);
	for(int i=f[0]=1;i<=n;i++)
		c+=s[i]=='.',g[i]=g[i-1]+(s[i]=='<'),f[i]=1LL*f[i-1]*(P+1-inv[2*i])%P;
	s[0]='.',s[n+1]='.';
	for(int i=n;~i;i--)
	{
		nx[i]=nx[i+1];
		if(s[i+1]=='.')
			nx[i]=i+1;
	}
	for(int i=0,p=0;i<=n;i++)
	{
		if(s[i]=='.'&&nx[i])
		{
			(ans+=1LL*f[p]*f[c-p]%P*(i+g[nx[i]-1]-g[i])%P)%=P;
//			printf("%d %d %d %d %d %d\n",i,nx[i],p,c-p,i+g[nx[i]-1]-g[i]);
			++p;
		}
	}
	printf("%d",ans);
}

總結

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