問題：

n個作業 N={1，2，…，n}要在2臺機器M1和M2組成的流水線上完成加工。每個作業須先在M1上加工，然后在M2上加工。M1和M2加工作業 i 所需的時間分別為 ai 和bi，每臺機器同一時間最多只能執行一個作業。

流水作業調度問題要求確定這n個作業的最優加工順序，使得所有作業在兩臺機器上都加工完成所需最少時間。最優調度應該是：

1.使M1上的加工是無間斷的。即M1上的加工時間是所有ai之和，但M2上不一定是bi之和。

2.使作業在兩臺機器上的加工次序是完全相同的。

則得結論：僅需考慮在兩臺機上加工次序完全相同的調度。

為了得到最優子解結構（比較重要~~~~ 老師說期末考試會考到這個）：

—>機器M1開始加工S中作業時，機器M2還在加工其他作業，要等時間 t 后才可利用,則：

　　1.則完成S中作業所需的最短時間記為T(S,t)

　　2.完成所有作業所需的最短時間為T(N,0)

　　3.T(N,0)=min{ai + T(N-{i}, bi)}, i∈N。

　　　ai：選一個作業i先加工，在M1的加工時間。

　　　T(N-{i},bi}：剩下的作業要等bi時間后才能在M2上加工。注意這里函數的定義，因為一開始工作i是隨機取的，M1加工完了ai之后，要開始加工bi了，這里M1是空閑的可以開始加工剩下的N-i個作業了，但此時M2開始加工bi，所以要等bi時間之后才能重新利用，對應到上面函數T(s,t)的定義的話，這里就應該表示成T(N-{i},bi), 所以最優解可表示為T(N,0)=min{ai + T(N-{i}, bi)}, i∈N，即我們要枚舉所有的工作i，使這個式子取到最小值。這里順便吐槽一句：算法中會利用很多數學知識，一定要搞清楚函數的意義以及每個數學符號所代表的含義，這樣不至于各種懵比。繼續分析T(S,t)可得：

　　　T(S,t)={ai + T(S-{i}, bi+max{t-ai,0})},i∈S

　　 其中：T(S-{i}, bi+max{t-ai,0})：剩下的作業等bi+max{t-ai,0}才能在M2加工，至于這里是怎么推導出來的呢？見下面推導：

最優子結構的證明（問題最優解包括子問題最優解）：

最優子結構：設π是N的一個最優調度，其加工順序為π1,…, πn，其所需的加工時間為 aπ1+T’(即第一個作業π1在M1上加工的時間和其它的加工時間)。記S=N-{π1}，則T’=T(S, bπ1)。

證明：由T的定義知T(S, bπ1)是對S最優的，故T’>=T(S, bπ1)。若T’>T(S, bπ1),設π’是作業集S在機器M2的等待時間為bπ1情況下的一個最優調度。則π1,π’2, …,π’n是N的一個調度，且該調度所需的時間為aπ1+T’ > aπ1+T(S, bπ1)。這與π是N的最優調度矛盾。故T’<=T(S, bπ1), 從而T’=T(S, bπ1)。最優子結構的性質得證。

分析：

　　這段證明我開始有點云里霧里的(第二遍過來看還是云里霧里的，你妹的)，簡單來說就是要證明問題的最優解包含子問題的最優解就行了，那么這里的證明思路是先假設一個最優調度，對于他的子調度T’，因為T(S,t)被定義為是完成S中作業所需的最短時間記為T(S,t)，所以有T’>=T(S, bπ1)，那么如果這個子調度這里不是最優解的話即T’>T(S, bπ1)，會得出aπ1+T’ > aπ1+T(S, bπ1)即原來假設的最優調度不符和最優調度的標準，矛盾，從而推出T’是一定等于T(S, bπ1)，即這個子調度也是最優調度。

問題是：雖然滿足最優子結構性質，也在一定程度滿足子問題重疊性質。N的每個非空子集都計算一次，共2ⁿ-1次，指數級的。

為了解決這個問題引入Johnson不等式:

這上面的數學推導簡直看得蛋疼。。。。。。， 記住結論就好：先把所有作業的ai和bi放在一起，從這之中選個最小的，如果是bi的話這個作業i就放最后，如果是ai的話這個作業就放最前，把這個已經安排好的作業從作業集中刪除。重復上述步驟即可。

總結

以上是生活随笔為你收集整理的动态规划——流水作业调度问题的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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