目錄寫在前面湊微分法原理幾種基本形式1、 ex型2、三角函數(shù)型3、1/x型4、xu型例題（千萬(wàn)不要跳過(guò)啊）

寫在前面

昨天講到了不定積分，屬于積分學(xué)的入門，如果感到困難也沒(méi)關(guān)系。可以買習(xí)題書多練練題。總之基本積分公式是基礎(chǔ)。這一步走好了剩下的都不會(huì)太難。那么今天說(shuō)說(shuō)會(huì)了這些公式我們又該學(xué)習(xí)什么？顯然考研數(shù)學(xué)不可能只從基本公式里出題，還會(huì)涉及一些變化，那么我來(lái)講講第一點(diǎn)——湊微分法。也叫第一類換元積分法。

湊微分法原理

在學(xué)習(xí)湊微分法之前我們得先明白其內(nèi)在原理。

湊微分法其實(shí)就是復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的逆過(guò)程，復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)后會(huì)產(chǎn)生兩個(gè)部分

外部函數(shù)f（...）的導(dǎo)數(shù)（外部函數(shù)是指原函數(shù)的最外層函數(shù)）
中間變量g（x）的導(dǎo)數(shù)

湊微分法做的就是找出被積函數(shù)的中間變量g（x）和外部函數(shù)f（...），再把g（x）放到微分符號(hào)里面，函數(shù)部分只留下f（...）的導(dǎo)數(shù),這樣湊微分法就完成了。

看不懂可以看看圖，還是看不懂也沒(méi)關(guān)系，接下來(lái)我會(huì)帶大家看看實(shí)際的題，抽象理論不好懂，但是到了題中會(huì)好很多。

幾種基本形式

1、 e^x型

這是最簡(jiǎn)單的一種類型,在這一類型中,

e^...就代表外部函數(shù)f(...)求導(dǎo)后的結(jié)果（e^...求導(dǎo)后仍然是e^...）,
而指數(shù)就是中間變量g(x)也就是圖中紫色圈出的f（x）。

這類題型的中間變量求導(dǎo)后的核心部分會(huì)和除了e^...外的部分基本相同,最多系數(shù)不同要自己添加。

看幾道例題

第二題就是所謂的核心部分相同,但系數(shù)不同

第三題的意思是這種情況下如果指數(shù)部分(中間變量)求導(dǎo),核心部分不一樣那么一定是題錯(cuò)了.XD

2、三角函數(shù)型

這一類的外部函數(shù)的f(...)的導(dǎo)數(shù)是sin.../cos...,中間變量就是x表示的部分.

同樣中間變量求導(dǎo)和除了sin.../cos...之外的核心部分最多系數(shù)不同,之后這一點(diǎn)就不會(huì)再講了,我想應(yīng)該也記住了.

推廣成一般形式:這里的f(x)也就是中間變量

同樣看幾道題

第一題就是中間變量求導(dǎo)核心變量完全相同,第二題就是核心部分原式的一半,需要在前面*2

3、1/x型

這一題型外部函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是1/...，中間變量是分母部分。

同樣給幾道例題

最后一道第一次見(jiàn)可能比較頭疼，但可以看出它和1/...這種形式比較接近。接下來(lái)只需要找到中間變量g（x），實(shí)在看不出可以依次求導(dǎo)，隨后就會(huì)發(fā)現(xiàn)lnlnx求導(dǎo)后恰好等于1/xlnx，這樣g（x）就找到了。套用1/x形式得出結(jié)果即可。

4、x^u型

前面基本本分公式講到過(guò)這一公式，這屬于湊微分法中比較難的而一種類型，主要是涉及到根號(hào)會(huì)很難看出外部函數(shù)和中間變量。就如推廣的形式外部函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是...^1/2中間變量是f（x）。

看看題仔細(xì)體會(huì)

這道題初見(jiàn)可能會(huì)覺(jué)得束手無(wú)策。解題步驟還是一樣

看到根號(hào)可以先考慮外部函數(shù)為...^1/2（別問(wèn)我怎么知道用這種形式，問(wèn)就是去熟悉基本積分公式！！！）
看看里面如何求導(dǎo)能湊成里面的形式（一個(gè)小技巧：一般求導(dǎo)后會(huì)更簡(jiǎn)單）

由此我們用分子求導(dǎo)，發(fā)現(xiàn)剛好等于分母。這樣問(wèn)題就解決了。

例題（千萬(wàn)不要跳過(guò)啊）

又到了最重要的環(huán)節(jié)，想要深化自己學(xué)的知識(shí)。光靠理解理論是不夠的。學(xué)一樣?xùn)|西要形成輸入->加工->輸出這一閉環(huán)才能真正學(xué)會(huì)，輸入的是理論，加工成自己能理解的話，而輸出就數(shù)學(xué)而言就是做題。

以下每一道題你可以先抄下來(lái)不要看答案，做完了看看那些不會(huì)！

那么開始之前：先提個(gè)習(xí)慣——做題三問(wèn)，這道題考的那個(gè)公式？？？（該不會(huì)真以為有三個(gè)問(wèn)題吧？知識(shí)三個(gè)問(wèn)號(hào)而已XD，開個(gè)玩笑剩下兩個(gè)超哥還沒(méi)講）

上題

到這里為止不知道大家發(fā)現(xiàn)沒(méi)有我都是直接找出了外部函數(shù)f（....），那么中間變量自然而然的就知道了，這屬于進(jìn)攻型解法如果遇到了一眼看不出外部函數(shù)的怎們辦呢？

其實(shí)之前基本形式已經(jīng)告訴大家，可以試試先找g（x），找出g（x）外部函數(shù)也就知道了，這就屬于防守型解法這一方法最重要的就是把握求導(dǎo)后更簡(jiǎn)單這一基本方向。（其實(shí)也不準(zhǔn)確，三角函數(shù)求導(dǎo)后可能更復(fù)雜比如tanx求導(dǎo)等于sec²x。說(shuō)成一部分可以由另一部分求導(dǎo)得出可能更合適，自己把握好就可以了）

在基礎(chǔ)階段對(duì)基本公式不太熟悉可以用這種方法。比如還是第九題

很容易發(fā)現(xiàn)2-3x²求導(dǎo)后和分子有關(guān)，這樣就繞過(guò)了看出外部函數(shù)這一步驟，知道了g（x）外部函數(shù)的導(dǎo)數(shù)就自己體現(xiàn)出來(lái)了。

再舉個(gè)栗子

法1就是直接找出外部函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，g（x）也就知道了

法2通過(guò)求導(dǎo)找到了g（x），寫成標(biāo)準(zhǔn)形式后外部函數(shù)的導(dǎo)數(shù)就體現(xiàn)出來(lái)了

好了咱繼續(xù)

這里再啰嗦一下

繼續(xù)出題

最后兩道稍微難點(diǎn)兒

最后一道會(huì)了可以自己編題hhh

好啦第一類換元法就講到這里啦，如果這些題都能一下做出來(lái)了就可以找找真題寫寫啦。

剩下的還沒(méi)看，有空再寫吧。

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的一元函数积分学——第一类换元法的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問(wèn)題。

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