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相关点法

發(fā)布時間：2023/12/24 综合教程 45 生活家

生活随笔收集整理的這篇文章主要介紹了相关点法小編覺得挺不錯的,現(xiàn)在分享給大家,幫大家做個參考.

前言

通俗的理解相關(guān)點(diǎn)法，比如某人借助其父親的人脈，融入到其交際圈中，就是相關(guān)點(diǎn)法應(yīng)用的一個例子。

案例理解

案例【相關(guān)點(diǎn)法】在直角坐標(biāo)系(xoy)中，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，(x)軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線(C_1)的方程為(ho(ho-4sin heta)=12)，定點(diǎn)(A(6，0))，點(diǎn)(P)是(C_1)上的動點(diǎn)，(Q)為(AP)的中點(diǎn)，求點(diǎn)(Q)的軌跡(C_2)的直角坐標(biāo)方程；

分析：將曲線(C_1)的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程為(x^2+y^2-4y=12)，即(x^2+(y-2)^2=16),

設(shè)圓上的動點(diǎn)為(P(x'，y'))，線段(AP)的中點(diǎn)為點(diǎn)(Q(x，y))，

由(Q)為(AP)的中點(diǎn)，得到(egin{cases}x'=2x-6\y'=2yend{cases})，代入(x^2+y^2-4y=12)，

即((2x-6)^2+(2y)^2-4(2y)=12)，整理為((x-3)^2+(y-1)^2=4)；

即點(diǎn)(Q)的軌跡(C_2)的直角坐標(biāo)方程為((x-3)^2+(y-1)^2=4)；

典例剖析

例1【2019屆理科數(shù)學(xué)周末訓(xùn)練1第22題】已知直線(l)的極坐標(biāo)方程為(ho sin( heta-cfrac{pi}{3})=0)，以極點(diǎn)為平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)，極軸為(x)軸的正半軸，建立平面直角坐標(biāo)系，曲線(C)的參數(shù)方程為(left{egin{array}{l}{x=2cosalpha}\{y=2+2sinalpha}end{array}ight.(alpha為參數(shù)))。

（1）求直線(l)被曲線(C)截得的弦長(|OA|)。

分析：可以從以下四個角度思考，

①利用兩點(diǎn)間的距離公式；

【法1】直線(l)的普通方程為(y=sqrt{3}x)，圓(C)的普通方程為(x^2+(y-2)^2=2^2)，

聯(lián)立消掉(y)，得到(x^2-sqrt{3}x=0)，

解得，(left{egin{array}{l}{x_1=0}\{y_1=0}end{array}ight.)，或(left{egin{array}{l}{x_2=sqrt{3}}\{y_2=3}end{array}ight.)，

由兩點(diǎn)間距離公式得到(|OA|=2sqrt{3})。

②直線和圓相交求弦長的幾何方法；

【法2】直線為(sqrt{3}x-y=0)，圓心為(C(0，2))，

則圓心到直線的距離為(d=cfrac{|0-2|}{2}=1)，又半徑為(2)，

故半弦長為(sqrt{2^2-1^2}=sqrt{3})，則弦長(|OA|=2sqrt{3})。

③直線的參數(shù)方程法；

【法3】由于直線的普通方程為(y=sqrt{3}x)，經(jīng)過點(diǎn)((0，0))，斜率(k=sqrt{3})，傾斜角( heta=cfrac{pi}{3});

直線(l)的參數(shù)方程為(left{egin{array}{l}{x=0+cfrac{1}{2}t}\{y=0+cfrac{sqrt{3}}{2}t}end{array}ight.(t為參數(shù)))，

將其代入圓的普通方程(x^2+(y-2)^2=2^2)，

整理得到(t^2-2sqrt{3}t=0)，

解得(t_1=0)，(t_2=2sqrt{3})，

則弦長(|OA|=|t_1-t_2|=2sqrt{3})。

解后反思：直線(l)的參數(shù)方程還可以為(left{egin{array}{l}{x=1+cfrac{1}{2}t}\{y=sqrt{3}+cfrac{sqrt{3}}{2}t}end{array}ight.(t為參數(shù)))，得到(t^2+(4-2sqrt{3})t+4-4sqrt{3}=0)，

同理可得，(|OA|=|t_1-t_2|=2sqrt{3});

④極坐標(biāo)法；

【法4】直線的極坐標(biāo)方程為( heta=cfrac{pi}{3})，圓的極坐標(biāo)方程為(ho=4sin heta)，

二者聯(lián)立，得到(ho=4sincfrac{pi}{3}=2sqrt{3})。即所求弦長(|OA|=2sqrt{3})。

解后反思：本題目中直線(l)的極坐標(biāo)方程可以是(ho sin( heta-cfrac{pi}{3})=0)，也可以是( heta=cfrac{pi}{3})，說明同樣的直線(l)的極坐標(biāo)方程可能不唯一；

（2）從極點(diǎn)做曲線(C)的弦，求弦的中點(diǎn)(M)軌跡的極坐標(biāo)方程。

分析：可以從以下三個角度思考：

①利用平面直角坐標(biāo)系下的中點(diǎn)公式；

【法1】在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)過坐標(biāo)原點(diǎn)的直線和圓相交于點(diǎn)(P(x_0，y_0))，則所得弦的中點(diǎn)坐標(biāo)為(M(x，y))

則(left{egin{array}{l}{2x=x_0}\{2y=y_0}end{array}ight.)，又點(diǎn)(P(x_0，y_0))在圓(x^2+(y-2)^2=2^2)上，

代入整理得到普通方程為(x^2+(y-1)^2=1)，

即其極坐標(biāo)方程為(ho=2sin heta)，其中( hetain(0，pi))，而不是( hetain[0，pi))，以保證弦的存在。

②利用圓的參數(shù)方程；

由于圓上任意一動點(diǎn)(P)的坐標(biāo)(P(2cos heta，2+2sin heta))，則弦的中點(diǎn)(M(cos heta，1+sin heta))，

即點(diǎn)(M)的參數(shù)方程為(left{egin{array}{l}{x=cos heta}\{y=1+sin heta}end{array}ight.( heta為參數(shù)))，

消去參數(shù)( heta)，得到普通方程為(x^2+(y-1)^2=1)，

即其極坐標(biāo)方程為(ho=2sin heta)，其中( hetain(0，pi))，而不是( hetain[0，pi))，以保證弦的存在。

③利用極坐標(biāo)法；

【法3】曲線(C)的極坐標(biāo)方程為(ho=4sin heta)，過極點(diǎn)的直線的極坐標(biāo)方程為( heta=alpha)，

設(shè)直線和曲線(C)的交點(diǎn)的極坐標(biāo)為((ho_1，alpha))，則弦的中點(diǎn)(M)的極坐標(biāo)為((ho，alpha))，

由題目可知，(ho_1=2ho)，代入曲線(C)的極坐標(biāo)方程為(2ho=4sinalpha)，

得到(ho=2sinalpha)，其中(alphain(0，pi))。

故弦的中點(diǎn)(M)軌跡的極坐標(biāo)方程為(ho=2sinalpha)，其中(alphain(0，pi))。

說明：由于弦的中點(diǎn)要存在，則必須保證(ho
eq 0)，即原來的(alphain[0，pi))必須變?yōu)?alphain(0，pi))。

對應(yīng)練習(xí)

例7已知點(diǎn)(Q)在橢圓(cfrac{x^2}{16}+cfrac{y^2}{10}=1)上，點(diǎn)(P)滿足(overrightarrow{OP}=cfrac{1}{2}(overrightarrow{OF_1}+overrightarrow{OQ}))(其中(O)為坐標(biāo)原點(diǎn)，(F_1)為橢圓(C)的左焦點(diǎn))，求點(diǎn)(P)的軌跡方程。

提示：設(shè)點(diǎn)(P(x，y))，點(diǎn)(Q(x_1，y_1))，點(diǎn)(F_1(-sqrt{6}，0))，

由(overrightarrow{OP}=cfrac{1}{2}(overrightarrow{OF_1}+overrightarrow{OQ}))，則可知點(diǎn)(P)為線段(F_1Q)的中點(diǎn)，

得到(left{egin{array}{l}{2x=-sqrt{6}+x_1}\{2y=y_1,}end{array}ight.quad)，變形得到(left{egin{array}{l}{x_1=2x+sqrt{6}}\{y_1=2y,}end{array}ight.)

將其代入(cfrac{x^2}{16}+cfrac{y^2}{10}=1)，得到(cfrac{(2x+sqrt{6})^2}{16}+cfrac{2y^2}{5}=1).

即點(diǎn)(P)的軌跡方程為(cfrac{(2x+sqrt{6})^2}{16}+cfrac{2y^2}{5}=1)。

例8(P)為雙曲線(cfrac{x^2}{9}-y^2=1)上的動點(diǎn)，(F_1)、(F_2)是曲線的兩個焦點(diǎn)，求( riangle PF_1F_2)的重心(G)的軌跡方程。

分析：由雙曲線的方程可得(a=3)，(b=1)，(c=sqrt{10})，則(F_{1}(-sqrt{10}, 0))，(F_{2}(sqrt{10}, 0))

設(shè)點(diǎn)(P(m, n))，則(cfrac{m^{2}}{9}-n^{2}=1)，設(shè)( riangle PF_1F_2)的重心(G(x, y))

則由三角形的重心坐標(biāo)公式可得(x=cfrac{m+sqrt{10}-sqrt{10}}{3})，(y=cfrac{n+0+0}{3})

可得(m=3x)，(n=3y)，代入雙曲線(cfrac{x^2}{9}-y^2=1)方程，

化簡可得(x^{2}-9 y^{2}=1)，故( riangle PF_{1}F_{2})的重心(G)的軌跡方程是(x^{2}-9 y^{2}=1quad(y
eq 0)) ^[1]

備注：三角形( riangle ABC)的重心(M)的坐標(biāo)公式：若三角形的三個頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為(A(x_1，y_1))，(B(x_2，y_2))，(C(x_3，y_3))，則其重心(M(x，y))滿足(x=cfrac{x_1+x_2+x_3}{3})，(y=cfrac{y_1+y_2+y_3}{3})。相關(guān)重心坐標(biāo)公式

相關(guān)應(yīng)用

例7下列函數(shù)中，其圖像與函數(shù)(y=ln x)的圖像關(guān)于直線(x=1)對稱的是【】

$A.y=ln (1-x)$ $B.y=ln (2-x)$ $C.y=ln (1+x)$ $D.y=ln (2+x)$

法1：相關(guān)點(diǎn)法，設(shè)函數(shù)(y=ln x)圖像上的任意一點(diǎn)坐標(biāo)(P(x',y'))，其關(guān)于直線(x=1)的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)為(Q(x,y))，

則有(left{egin{array}{l}{cfrac{x+x'}{2}=1}\{y=y'}end{array}ight.quad) 即(left{egin{array}{l}{x'=2-x}\{y'=y}end{array}ight.)

由于點(diǎn)(P(x',y'))在函數(shù)(y=ln x)圖像上，將其代入，得到(y=ln(2-x))，故選(B).

法2：利用特殊點(diǎn)法，函數(shù)(y=ln x)過定點(diǎn)((1,0))，而點(diǎn)((1,0))關(guān)于直線(x=1)對稱的點(diǎn)還是點(diǎn)((1,0))，只有(y=ln (2-x))過此點(diǎn)，故選項(xiàng)(B)正確.

法3：利用圖像變換法，由于(y=lnx)關(guān)于(y)軸對稱的函數(shù)為(y=ln(-x))，將(y=ln(-x))向右平移兩個單位得到(y=ln[-(x-2)]=ln(2-x))，即得到所求函數(shù)，故選(B).

解后反思：法1為這類題目的通用方法，尤其是對稱直線變?yōu)?2x-y+3=0)型的直線時，更能顯示相關(guān)點(diǎn)法的強(qiáng)大作用。

例1由(y=sin(2x-cfrac{pi}{3}))變形得到(y=sin(2x+cfrac{pi}{6}))；

從形上刻畫：向左平移(cfrac{pi}{4})個單位得到；

從數(shù)上刻畫：用(x+cfrac{pi}{4}Rightarrow x)，

原因分析：相位變換即左右平移的本質(zhì)是用(x+phi)替換(x)后整理得到的；

故由(2(x+phi)-cfrac{pi}{3}=2x+2phi-cfrac{pi}{3}=2x+cfrac{pi}{6})，

解得(phi=cfrac{pi}{4})，[左加右減的口訣是用在(x+phi=x+cfrac{pi}{4})上]

即用(x+cfrac{pi}{4})替換(x)，故向左平移(cfrac{pi}{4})個單位得到；^[1:1]

例2由(y=sin(2x-cfrac{pi}{3}))變形得到(y=sin(6x-cfrac{pi}{3}))；

從形上刻畫：橫坐標(biāo)縮短為原來的(cfrac{1}{3})倍得到；

從數(shù)上刻畫：用(3xRightarrow x)，

原因分析：周期變換即橫向伸縮的本質(zhì)是用(omega x)替換(x)后整理得到的；
(y=sin(2x-cfrac{pi}{3}))的原有橫坐標(biāo)系數(shù)(omega_0=2)，
顯然(y=sin(6x-cfrac{pi}{3}))是表達(dá)式(y=sin(2x-cfrac{pi}{3}))中的(x)被(3x)替換后得到的，^[2]

(y=sin[2 imes (3x)-cfrac{pi}{3}]=sin(6x-cfrac{pi}{3}))，

例4【2020屆高三模擬訓(xùn)練】把函數(shù)(y=3^x)的圖像沿(x)軸向左平移(m(m>0))個單位長度，得到函數(shù)(f(x)=10)( imes)(3^x)的圖像，則(f(m))=【】

$A.10$ $B.20$ $C.30$ $D.100$

分析：把函數(shù)(y=3^x)的圖像沿(x)軸向左平移(m(m>0))個單位長度，

得到(y=3^{x+m}=3^x imes 3^m=f(x))，又題目已知(f(x)=10 imes 3^x)

故(3^m=10)，則(f(m)=10 imes 3^m=10 imes 10=100)，故選(D)。

用相關(guān)點(diǎn)法作深度分析，設(shè)變換前函數(shù)圖像上的任一點(diǎn)坐標(biāo)為(P(x,y))，
變換后函數(shù)圖像上對應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為(P'(x_1,y_1))；
則其施行的變換公式為(left{egin{array}{l}{x_1=x+phi}\{y_1=y}end{array}ight.)，即其逆變換公式為(left{egin{array}{l}{x=x_1-phi}\{y=y_1}end{array}ight.)，
將其代入已知的函數(shù)解析式，得到(y_1=sin[2(x_1-phi)-cfrac{pi}{3}])，整理為(y_1=sin(2x_1-2phi-cfrac{pi}{3}))，
變換解釋后我們往往就會將下標(biāo)去掉，得到(y=sin(2x-2phi-cfrac{pi}{3}))，其應(yīng)該等價于(y=sin(2x+cfrac{pi}{6}))，
于是解得(phi=-cfrac{pi}{4})，故我們是用(x_1-(-cfrac{pi}{4})=x_1+cfrac{pi}{4})替換的原解析式中的(x)，
由于是(+)，故應(yīng)該向左平移(cfrac{pi}{4})個單位； ↩? ↩?

用相關(guān)點(diǎn)法作深度分析，設(shè)變換前函數(shù)圖像上的任一點(diǎn)坐標(biāo)為(P(x,y))，
變換后函數(shù)圖像上對應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為(P'(x_1,y_1))；
則其施行的變換公式為(left{egin{array}{l}{x_1=cfrac{1}{3}x}\{y_1=y}end{array}ight.)，即其逆變換公式為(left{egin{array}{l}{x=3x_1}\{y=y_1}end{array}ight.)，
將其代入已知的函數(shù)解析式，得到(y_1=sin[2(3x_1)-cfrac{pi}{3}])，整理為(y_1=sin(6x_1-cfrac{pi}{3}))，
變換解釋后我們往往就會將下標(biāo)去掉，得到(y=sin(6x-cfrac{pi}{3}))；
故我們是用(3x_1)替換的原解析式中的單獨(dú)的(x)，注意不是替換(2x)這個整體， ↩?

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的相关点法的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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