一、二階矩陣的逆矩陣

　$A^{-1}$的公式：$left[egin{array}{ll}{a} & \ {c} & ozvdkddzhkzdend{array}ight]^{-1}=frac{1}{a d-b c}left[egin{array}{rr}ozvdkddzhkzd & {-b} \ {-c} & {a}end{array}ight]$

　在上面的例子中，我們知道$frac{1}{a d-b c}$其實(shí)就是$frac{1}{det A}$，而$left[egin{array}{rr}ozvdkddzhkzd & {-b} \ {-c} & {a}end{array}ight]$正好是每個(gè)元素的代數(shù)余子式組成的矩陣，然后進(jìn)行了轉(zhuǎn)置，事實(shí)上對(duì)于$n*n$矩陣：

$A^{-1}=frac{1}{operatorname{det} A} C^{T}$

其中$C$是代數(shù)余子式矩陣（注意到轉(zhuǎn)置符號(hào)），$A$第一行的代數(shù)余子式，對(duì)應(yīng)$A^{-1}$中的第一列

　通過(guò)上面的公式計(jì)算逆矩陣，$A$的行列式需要將$n$項(xiàng)和對(duì)應(yīng)的$n-1$矩陣對(duì)應(yīng)的代數(shù)余子式相乘，相比這種方法，使用高斯-約爾當(dāng)消元法求的逆矩陣更為簡(jiǎn)單。

二、證明上面的逆矩陣計(jì)算公式

　我們只需要驗(yàn)證$AC^T=(det A)I$即可

　$A C^{T}=left[egin{array}{ccc}{a_{11}} & {cdots} & {a_{1 n}} \ {vdots} & {ddots} & {vdots} \ {a_{n 1}} & {cdots} & {a_{n n}}end{array}ight]left[egin{array}{ccc}{C_{11}} & {cdots} & {C_{n 1}} \ {vdots} & {ddots} & {vdots} \ {C_{1 n}} & {cdots} & {C_{n n}}end{array}ight]$

　通過(guò)乘法得到的矩陣的第一行第一列的元素是：

$sum_{j=1}^{n} a_{1 j} C_{j 1}=operatorname{det} A$

　$AC^T$對(duì)角線上的每個(gè)元素都是上面計(jì)算得到的結(jié)果。現(xiàn)在我們需要驗(yàn)證$AC^T$對(duì)角線以外的元素都是0

　在二乘二的矩陣中，$A$的第一行乘$C^T$的第二列：$a(-b) + b(-a) = 0$，在高維矩陣中，$A$的第一行與$C^T$第二列的乘積可以看作是第一行第二行相同的矩陣（奇異矩陣）的行列式，故乘積為零。（比較繞口：根據(jù)行列式計(jì)算方法-某行元素分別與各自代數(shù)余子式相乘，然后加和。那么我們想象一下：$A$的第一行與$C^T$第二列的乘積可以看作是哪個(gè)矩陣的行列式呢？這個(gè)矩陣就是第一行和第二行相同的矩陣，其行列式為零）對(duì)于$AC^T$對(duì)角線以外的其他元素，道理相似，均為0，所以上面的計(jì)算逆矩陣公式得以驗(yàn)證

　通過(guò)上面的逆矩陣計(jì)算式子，可以了解當(dāng)矩陣變化時(shí)，逆矩陣會(huì)如何變化

三、克拉默法則（關(guān)于$x=A^{-1}b$）

　如果$A$是非奇異矩陣時(shí)，如果$Ax=b$，則$x=A^{-1}b$，結(jié)合$A^{-1}=frac{1}{operatorname{det} A} C^{T}$，則

$x=frac{1}{operatorname{det} A} C^{T}b$

　克拉默（Crammer's rule）法則提供了一種分解上述等式的方式。為了得到克拉默法則，將$x$的每個(gè)部分進(jìn)行單獨(dú)分析，因?yàn)?C^Tb$的第$i$部分是一組代數(shù)余子式和數(shù)字乘積之和，也可以看作是矩陣$B_j$的行列式，則有：

$x_{j}=frac{operatorname{det} B_{j}}{operatorname{det} A}$

　$B_j$是矩陣$A$中的第$j$列替換為$b$得到的：

但是需要記住的是，使用克拉默法則計(jì)算并沒(méi)有使用消元法效率高。

四、行列式求體積

　1）$|det A|$=盒子的體積

　　$|det A|$是由$A$的列向量組成的平行六面體盒子的體積。（也可以用行向量組成不同的盒子，但是體積是相同的。

　　如果$A=I$，則盒子是單位立方體，其體積為$1$，與行列式性質(zhì)一相同

　　如果$A=Q$，且是正交矩陣，則盒子是一個(gè)不同方向的單位立方體，體積為 $1=|det Q|$，因?yàn)檎?，所?Q^TQ=I$，根據(jù)行列式性質(zhì)9和10，$operatorname{det} Q=pm 1$

　　交換$A$的兩列，并不會(huì)改變盒子的體積（因?yàn)?det A = det A^T$，交換兩列后行列式只是符號(hào)變化，絕對(duì)值不變）

　2）知道盒子邊角坐標(biāo)，求面積

　　如由$left[egin{array}{l}{a} \ end{array}ight]$和$left[egin{array}{l}{c} \ ozvdkddzhkzdend{array}ight]$組成的平行四邊行面積為：$ad-bc$

　　由$left[egin{array}{l}{a} \ end{array}ight]$和$left[egin{array}{l}{c} \ ozvdkddzhkzdend{array}ight]$組成的三角形的面積為平行四邊形的一半：$frac{1}{2}(ad-bc)$

　　另外，由$(x_1, y_1),(x_2, y_2),(x_13 y_3)$構(gòu)成的三角形的面積是：

$frac{1}{2}left|egin{array}{lll}{x_{1}} & {y_{1}} & {1} \ {x_{2}} & {y_{2}} & {1} \ {x_{3}} & {y_{3}} & {1}end{array}ight|$

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的20-克拉默法则、逆矩阵、体积的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問(wèn)題。

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