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在腦科學(xué)中，通常采用重復(fù)測量的方式來開展研究。也就是設(shè)計不同的任務(wù)，讓同一個被試都做一遍，來找出差異。這樣做不僅是為了節(jié)約經(jīng)費(想想如果4個條件，每個條件找20人，就得給出80人的被試費！)，另一方面也是盡量將個體差異進(jìn)行控制，因為不管是EEG/ERP、還是fMRI，都是噪聲富聚的信號，而且個體差異也是非常大的。

圖1 要點在于被試間和被試內(nèi)進(jìn)行分解

當(dāng)然，重復(fù)測量也有其弊端，如滯留效應(yīng)，潛隱效應(yīng)和學(xué)習(xí)效應(yīng)，這里不展開來說。重復(fù)測量方差分析可以說是我們最常用到的工具。比如：要研究不同情緒圖片，在回憶和再認(rèn)任務(wù)中在各個電極上theta波的差異。那就是一個情緒(高興、悲傷和中性)×任務(wù)(回憶、再認(rèn))×電極(4個電極)實驗，即3因素方差分析。如果把被試分為兩組，分別完成回憶和再認(rèn)任務(wù)，這就更復(fù)雜了，成了混合設(shè)計的3因素方差分析。比較可悲的是，翻閱很多教科書，都重點講單因素方差分析，或者是完全隨機(jī)設(shè)計的方差分析。對我們常用的重復(fù)測量多因素方差分析，保持了集體的沉默。看了許多研究報告，發(fā)現(xiàn)同學(xué)們在寫F(x,y)=???, P=???，通常把自由度x,y寫錯。這里我總結(jié)一下常用的實驗設(shè)計如何確定自由度，希望對大家實踐有幫助。

(注意本講義不包括因素?zé)o交互作用的情況，亦不包括自由度要矯正的情況！)

分解要訣：
方差分析多因素
先看設(shè)計定思路
重復(fù)與否是關(guān)鍵
項目數(shù)定總自由度

先把被試來數(shù)數(shù)
定出被試間自由度

混合設(shè)計要小心
組間因素分解出

被試內(nèi)有自由度
總減被試間可得出
定下被試內(nèi)因素
誤差自然不會誤

核心思想：
把總自由度分解為被試間(between subject)自由度和被試內(nèi)(within subject)自由度

1.重復(fù)測量單因素方差分析
被試數(shù):n組內(nèi)因素：a
總自由度：an-1
被試間自由度:n-1
被試內(nèi)自由度：n(a-1)
*因素：a-1
*因素×被試間：(n-1)(a-1)
生成的結(jié)果：
F(a-1,(n-1)(a-1))

2.重復(fù)測量2因素方差分析
被試數(shù):n組內(nèi)因素：a,b
總自由度：abn-1
被試間自由度：n-1
被試內(nèi)自由度：n(ab-1)
*因素a：a-1
*因素b：b-1
*交互：(a-1)(b-1)
*因素a×被試間：(n-1)(a-1)

*因素b×被試間：(n-1)(a-1)

*因素a×因素b×被試間：(n-1)(a-1)
生成的結(jié)果：
F(a-1,(n-1)(a-1))
F(b-1,(n-1)(b-1))

F((a-1)(b-1),(n-1)(a-1)(b-1))

3.混合設(shè)計(既有組間，又有組內(nèi)的)2因素方差分析
被試數(shù):n組間因素：a組內(nèi)因素：b
總：abn-1
被試間:an-1
*組間因素:a-1
*被試:a(n-1)
被試內(nèi)：an(b-1)
*組內(nèi)因素：b-1
*組內(nèi)×組間：(a-1)(b-1)
*誤差：a(b-1)(n-1)
生成的結(jié)果：
F(a-1,a(n-1))
F(b-1,a(b-1)(n-1))

4.重復(fù)測量3因素方差分析，這在腦科學(xué)研究中非常常用！
被試數(shù):n組內(nèi)因素：a,b,c
總：abcn-1
被試間：n-1
被試內(nèi)：n(abc-1)
*因素a：a-1
*因素b：b-1
*因素c：c-1
*交互ab：(a-1)(b-1)
*交互bc：(b-1)(c-1)
*交互ac：(a-1)(c-1)
*交互abc：(a-1)(b-1)(c-1)
*因素a×被試間：(a-1)(n-1)
*因素ab×被試間：(a-1)(b-1)(n-1)
*因素abc×被試間：(a-1)(b-1)(c-1)(n-1)

生成的結(jié)果：
F(a-1,(a-1)(n-1))
F(b-1,(b-1)(n-1))

F((a-1)(b-1),(a-1)(b-1)(n-1))
F((a-1)(b-1)(c-1),(a-1)(b-1)(c-1)(n-1))

5.混合設(shè)計(既有組間，又有組內(nèi)的)3因素方差分析
如果a因素處理的學(xué)習(xí)效應(yīng)很強(qiáng)，無法采用方案4，通常采用方案5來避免學(xué)習(xí)效應(yīng)，因此，本方案在腦科學(xué)研究中也很常用！
被試數(shù):n組間因素：a組內(nèi)因素：b,c
總：abcn-1
被試間：an-1
*組間因素a: a-1
*被試：a(n-1)
被試內(nèi)自由度：an(bc-1)
*組內(nèi)因素b：b-1
*組內(nèi)因素c：c-1
*交互ab：(a-1)(b-1)
*交互bc：(b-1)(c-1)
*交互ac：(a-1)(c-1)
*交互abc：(a-1)(b-1)(c-1)
*誤差：a(bc-1)(n-1)
生成的結(jié)果：
F(a-1,a(n-1))
F(b-1,a(bc-1)(n-1))

6.注意和完全隨機(jī)設(shè)計的區(qū)別

舉例如下：
被試數(shù):abn組間因素：a,b
如果把a(bǔ)bn個被試隨機(jī)分到a,b兩個因素下,就構(gòu)成了完全隨機(jī)設(shè)計的2因素方差分析。
分解順序和重復(fù)測量也不同，沒有被試間和被試內(nèi)這一步，變成了直接進(jìn)行處理間和處理內(nèi)分解。
總自由度：abn-1
處理間:ab-1
*因素a：a-1
*因素b：b-1
*交互ab：(a-1)(b-1)
*處理內(nèi)：ab(n-1)
生成的結(jié)果：
F(a-1,ab(n-1))
F(b-1,ab(n-1))

7.如果把a(bǔ)bcn個被試隨機(jī)分到a,b,c三個因素下,就構(gòu)成了完全隨機(jī)設(shè)計的3因素方差分析。
直接進(jìn)行處理間和處理內(nèi)分解。
總：abcn-1
處理間:abc-1
*因素a：a-1
*因素b：b-1
*因素c：c-1
*交互ab：(a-1)(b-1)
*交互bc：(b-1)(c-1)
*交互ac：(a-1)(c-1)
*交互abc：(a-1)(b-1)(c-1)
*處理內(nèi)：abc(n-1）
生成的結(jié)果：
F(a-1,abc(n-1))
F(b-1,abc(n-1))

給出了以上自由度，我們來證明一個觀點：“同樣的實驗因素和每個處理下的被試量，完全隨機(jī)比混合設(shè)計自由度高，混合設(shè)計比重復(fù)測量自由度高”。取3因素方差分析為例：

完全隨機(jī)：a和b

F(a-1,abc(n-1))
F(b-1,abc(n-1))

混合設(shè)計：組間a和組內(nèi)b

F(a-1,a(n-1))
F(b-1,a(bc-1)(n-1))

重復(fù)測量：a和b

F(a-1,(a-1)(n-1))
F(b-1,(b-1)(n-1))

可以看到，對于a因素：abc(n-1)>a(n-1)>(a-1)(n-1)；

對于b因素：abc(n-1)>a(bc-1)(n-1)>(b-1)(n-1)；

所以上面的觀點是成立的。還可以看到，對于混合設(shè)計：a(n-1)<=a(bc-1)(n-1)，也就是在a=b時，組內(nèi)條件比組間條件自由度大。

下面是做anova的matlab命令，注意matlab軟件自帶的命令只提供完全隨機(jī)設(shè)計方差分析，要做重復(fù)測量方差分析需要到mathworks官網(wǎng)下載

1. 完全隨機(jī)設(shè)計單因素方差分析

anova1

2. 完全隨機(jī)設(shè)計兩因素方差分析

anova2

3. 完全隨機(jī)設(shè)計多因素方差分析

anovan

4. 重復(fù)測量單因素方差分析

anova_rm

5. 重復(fù)測量兩因素方差分析

rm_anova2

6. 重復(fù)測量三因素方差分析

RMAOV33

點擊命令可直接下載

下面是實驗數(shù)據(jù)統(tǒng)計分析的常規(guī)路線圖

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的多因素方差分析：自由度的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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