CART算法(转)
來源：http://www.cnblogs.com/pinard/p/6053344.html
作者：劉建平Pinard
對(duì)于C4.5算法，我們也提到了它的不足，比如模型是用較為復(fù)雜的熵來度量，使用了相對(duì)較為復(fù)雜的多叉樹，只能處理分類不能處理回歸等。對(duì)于這些問題， CART算法大部分做了改進(jìn)。CART算法也就是我們下面的重點(diǎn)了。由于CART算法可以做回歸，也可以做分類，我們分別加以介紹，先從CART分類樹算法開始，重點(diǎn)比較和C4.5算法的不同點(diǎn)。接著介紹CART回歸樹算法，重點(diǎn)介紹和CART分類樹的不同點(diǎn)。然后我們討論CART樹的建樹算法和剪枝算法，最后總結(jié)決策樹算法的優(yōu)缺點(diǎn)。
1.CART（Classification And Regression Tree）分類回歸樹算法的最優(yōu)特征選擇方法
我們知道，在ID3算法中我們使用了信息增益來選擇特征，信息增益大的優(yōu)先選擇。在C4.5算法中，采用了信息增益比來選擇特征，以減少信息增益容易選擇特征值多的特征的問題。但是無論是ID3還是C4.5,都是基于信息論的熵模型的，這里面會(huì)涉及大量的對(duì)數(shù)運(yùn)算。能不能簡(jiǎn)化模型同時(shí)也不至于完全丟失熵模型的優(yōu)點(diǎn)呢？有！CART分類樹算法使用基尼系數(shù)來代替信息增益比，基尼系數(shù)代表了模型的不純度，基尼系數(shù)越小，則不純度越低，特征越好。這和信息增益(比)是相反的。
具體的，在分類問題中，假設(shè)有K個(gè)類別，第k個(gè)類別的概率為pkpk, 則基尼系數(shù)的表達(dá)式為：
Gini(p)=∑k=1Kpk(1−pk)=1−∑k=1Kp2kGini(p)=∑k=1Kpk(1−pk)=1−∑k=1Kpk2
如果是二類分類問題，計(jì)算就更加簡(jiǎn)單了，如果屬于第一個(gè)樣本輸出的概率是p，則基尼系數(shù)的表達(dá)式為：
Gini(p)=2p(1−p)Gini(p)=2p(1−p)
對(duì)于個(gè)給定的樣本D,假設(shè)有K個(gè)類別, 第k個(gè)類別的數(shù)量為CkCk,則樣本D的基尼系數(shù)表達(dá)式為：
Gini(D)=1−∑k=1K(|Ck||D|)2Gini(D)=1−∑k=1K(|Ck||D|)2
特別的，對(duì)于樣本D,如果根據(jù)特征A的某個(gè)值a,把D分成D1和D2兩部分，則在特征A的條件下，D的基尼系數(shù)表達(dá)式為：
Gini(D,A)=|D1||D|Gini(D1)+|D2||D|Gini(D2)Gini(D,A)=|D1||D|Gini(D1)+|D2||D|Gini(D2)
大家可以比較下基尼系數(shù)表達(dá)式和熵模型的表達(dá)式，二次運(yùn)算是不是比對(duì)數(shù)簡(jiǎn)單很多？尤其是二類分類的計(jì)算，更加簡(jiǎn)單。但是簡(jiǎn)單歸簡(jiǎn)單，和熵模型的度量方式比，基尼系數(shù)對(duì)應(yīng)的誤差有多大呢？對(duì)于二類分類，基尼系數(shù)和熵之半的曲線如下：
從上圖可以看出，基尼系數(shù)和熵之半的曲線非常接近，僅僅在45度角附近誤差稍大。因此，基尼系數(shù)可以做為熵模型的一個(gè)近似替代。而CART分類樹算法就是使用的基尼系數(shù)來選擇決策樹的特征。同時(shí)，為了進(jìn)一步簡(jiǎn)化，CART分類樹算法每次僅僅對(duì)某個(gè)特征的值進(jìn)行二分，而不是多分，這樣CART分類樹算法建立起來的是二叉樹，而不是多叉樹。這樣一可以進(jìn)一步簡(jiǎn)化基尼系數(shù)的計(jì)算，二可以建立一個(gè)更加優(yōu)雅的二叉樹模型。
2.CART分類樹算法對(duì)于連續(xù)特征和離散特征處理的改進(jìn)
對(duì)于CART分類樹連續(xù)值的處理問題，其思想和C4.5是相同的，都是將連續(xù)的特征離散化。唯一的區(qū)別在于在選擇劃分點(diǎn)時(shí)的度量方式不同，C4.5使用的是信息增益，則CART分類樹使用的是基尼系數(shù)。
具體的思路如下，比如m個(gè)樣本的連續(xù)特征A有m個(gè)，從小到大排列為a1,a2,...,ama1,a2,...,am,則CART算法取相鄰兩樣本值的中位數(shù)，一共取得m-1個(gè)劃分點(diǎn)，其中第i個(gè)劃分點(diǎn)Ti表示Ti表示為：Ti=ai+ai+12Ti=ai+ai+12。對(duì)于這m-1個(gè)點(diǎn)，分別計(jì)算以該點(diǎn)作為二元分類點(diǎn)時(shí)的基尼系數(shù)。選擇基尼系數(shù)最小的點(diǎn)作為該連續(xù)特征的二元離散分類點(diǎn)。比如取到的基尼系數(shù)最小的點(diǎn)為atat,則小于atat的值為類別1，大于atat的值為類別2，這樣我們就做到了連續(xù)特征的離散化。要注意的是，與離散屬性不同的是，如果當(dāng)前節(jié)點(diǎn)為連續(xù)屬性，則該屬性后面還可以參與子節(jié)點(diǎn)的產(chǎn)生選擇過程。
對(duì)于CART分類樹離散值的處理問題，采用的思路是不停的二分離散特征。
回憶下ID3或者C4.5，如果某個(gè)特征A被選取建立決策樹節(jié)點(diǎn)，如果它有A1,A2,A3三種類別，我們會(huì)在決策樹上一下建立一個(gè)三叉的節(jié)點(diǎn)。這樣導(dǎo)致決策樹是多叉樹。但是CART分類樹使用的方法不同，他采用的是不停的二分，還是這個(gè)例子，CART分類樹會(huì)考慮把A分成{A1}和{A2,A3}{A1}和{A2,A3},{A2}和{A1,A3}{A2}和{A1,A3},{A3}和{A1,A2}{A3}和{A1,A2}三種情況，找到基尼系數(shù)最小的組合，比如{A2}和{A1,A3}{A2}和{A1,A3},然后建立二叉樹節(jié)點(diǎn)，一個(gè)節(jié)點(diǎn)是A2對(duì)應(yīng)的樣本，另一個(gè)節(jié)點(diǎn)是{A1,A3}對(duì)應(yīng)的節(jié)點(diǎn)。同時(shí)，由于這次沒有把特征A的取值完全分開，后面我們還有機(jī)會(huì)在子節(jié)點(diǎn)繼續(xù)選擇到特征A來劃分A1和A3。這和ID3或者C4.5不同，在ID3或者C4.5的一棵子樹中，離散特征只會(huì)參與一次節(jié)點(diǎn)的建立。
3. CART分類樹建立算法的具體流程
上面介紹了CART算法的一些和C4.5不同之處，下面我們看看CART分類樹建立算法的具體流程，之所以加上了建立，是因?yàn)镃ART樹算法還有獨(dú)立的剪枝算法這一塊，這塊我們?cè)诘?節(jié)講。
算法輸入是訓(xùn)練集D，基尼系數(shù)的閾值，樣本個(gè)數(shù)閾值。
輸出是決策樹T。
我們的算法從根節(jié)點(diǎn)開始，用訓(xùn)練集遞歸的建立CART樹。
1) 對(duì)于當(dāng)前節(jié)點(diǎn)的數(shù)據(jù)集為D，如果樣本個(gè)數(shù)小于閾值或者沒有特征，則返回決策子樹，當(dāng)前節(jié)點(diǎn)停止遞歸。
2) 計(jì)算樣本集D的基尼系數(shù)，如果基尼系數(shù)小于閾值，則返回決策樹子樹，當(dāng)前節(jié)點(diǎn)停止遞歸。
3) 計(jì)算當(dāng)前節(jié)點(diǎn)現(xiàn)有的各個(gè)特征的各個(gè)特征值對(duì)數(shù)據(jù)集D的基尼系數(shù)，對(duì)于離散值和連續(xù)值的處理方法和基尼系數(shù)的計(jì)算見第二節(jié)。缺失值的處理方法和上篇的C4.5算法里描述的相同。
4) 在計(jì)算出來的各個(gè)特征的各個(gè)特征值對(duì)數(shù)據(jù)集D的基尼系數(shù)中，選擇基尼系數(shù)最小的特征A和對(duì)應(yīng)的特征值a。根據(jù)這個(gè)最優(yōu)特征和最優(yōu)特征值，把數(shù)據(jù)集劃分成兩部分D1和D2，同時(shí)建立當(dāng)前節(jié)點(diǎn)的左右節(jié)點(diǎn)，做節(jié)點(diǎn)的數(shù)據(jù)集D為D1，右節(jié)點(diǎn)的數(shù)據(jù)集D為D2.
5) 對(duì)左右的子節(jié)點(diǎn)遞歸的調(diào)用1-4步，生成決策樹。
對(duì)于生成的決策樹做預(yù)測(cè)的時(shí)候，假如測(cè)試集里的樣本A落到了某個(gè)葉子節(jié)點(diǎn)，而節(jié)點(diǎn)里有多個(gè)訓(xùn)練樣本。則對(duì)于A的類別預(yù)測(cè)采用的是這個(gè)葉子節(jié)點(diǎn)里概率最大的類別。
4. CART回歸樹建立算法
CART回歸樹和CART分類樹的建立算法大部分是類似的，所以這里我們只討論CART回歸樹和CART分類樹的建立算法不同的地方。
首先，我們要明白，什么是回歸樹，什么是分類樹。兩者的區(qū)別在于樣本輸出，如果樣本輸出是離散值，那么這是一顆分類樹。如果果樣本輸出是連續(xù)值，那么那么這是一顆回歸樹。
除了概念的不同，CART回歸樹和CART分類樹的建立和預(yù)測(cè)的區(qū)別主要有下面兩點(diǎn)：
1)連續(xù)值的處理方法不同
2)決策樹建立后做預(yù)測(cè)的方式不同。
對(duì)于連續(xù)值的處理，我們知道CART分類樹采用的是用基尼系數(shù)的大小來度量特征的各個(gè)劃分點(diǎn)的優(yōu)劣情況。這比較適合分類模型，但是對(duì)于回歸模型，我們使用了常見的均方差的度量方式，CART回歸樹的度量目標(biāo)是，對(duì)于任意劃分特征A，對(duì)應(yīng)的任意劃分點(diǎn)s兩邊劃分成的數(shù)據(jù)集D1和D2，求出使D1和D2各自集合的均方差最小，同時(shí)D1和D2的均方差之和最小所對(duì)應(yīng)的特征和特征值劃分點(diǎn)。表達(dá)式為：
min??????A,s[min??????c1∑xi∈D1(A,s)(yi−c1)2+min??????c2∑xi∈D2(A,s)(yi−c2)2]min?A,s[min?c1∑xi∈D1(A,s)(yi−c1)2+min?c2∑xi∈D2(A,s)(yi−c2)2]
其中，c1c1為D1數(shù)據(jù)集的樣本輸出均值，c2c2為D2數(shù)據(jù)集的樣本輸出均值。
對(duì)于決策樹建立后做預(yù)測(cè)的方式，上面講到了CART分類樹采用葉子節(jié)點(diǎn)里概率最大的類別作為當(dāng)前節(jié)點(diǎn)的預(yù)測(cè)類別。而回歸樹輸出不是類別，它采用的是用最終葉子的均值或者中位數(shù)來預(yù)測(cè)輸出結(jié)果。
除了上面提到了以外，CART回歸樹和CART分類樹的建立算法和預(yù)測(cè)沒有什么區(qū)別。
5. CART樹算法的剪枝
CART回歸樹和CART分類樹的剪枝策略除了在度量損失的時(shí)候一個(gè)使用均方差，一個(gè)使用基尼系數(shù)，算法基本完全一樣，這里我們一起來講。
由于決策時(shí)算法很容易對(duì)訓(xùn)練集過擬合，而導(dǎo)致泛化能力差，為了解決這個(gè)問題，我們需要對(duì)CART樹進(jìn)行剪枝，即類似于線性回歸的正則化，來增加決策樹的返回能力。但是，有很多的剪枝方法，我們應(yīng)該這么選擇呢？CART采用的辦法是后剪枝法，即先生成決策樹，然后產(chǎn)生所有可能的剪枝后的CART樹，然后使用交叉驗(yàn)證來檢驗(yàn)各種剪枝的效果，選擇泛化能力最好的剪枝策略。
也就是說，CART樹的剪枝算法可以概括為兩步，第一步是從原始決策樹生成各種剪枝效果的決策樹，第二部是用交叉驗(yàn)證來檢驗(yàn)剪枝后的預(yù)測(cè)能力，選擇泛化預(yù)測(cè)能力最好的剪枝后的數(shù)作為最終的CART樹。
首先我們看看剪枝的損失函數(shù)度量，在剪枝的過程中，對(duì)于任意的一刻子樹T,其損失函數(shù)為：
Cα(Tt)=C(Tt)+α|Tt|Cα(Tt)=C(Tt)+α|Tt|
其中，αα為正則化參數(shù)，這和線性回歸的正則化一樣。C(Tt)C(Tt)為訓(xùn)練數(shù)據(jù)的預(yù)測(cè)誤差，分類樹是用基尼系數(shù)度量，回歸樹是均方差度量。|Tt||Tt|是子樹T的葉子節(jié)點(diǎn)的數(shù)量。
當(dāng)α=0α=0時(shí)，即沒有正則化，原始的生成的CART樹即為最優(yōu)子樹。當(dāng)α=∞α=∞時(shí)，即正則化強(qiáng)度達(dá)到最大，此時(shí)由原始的生成的CART樹的根節(jié)點(diǎn)組成的單節(jié)點(diǎn)樹為最優(yōu)子樹。當(dāng)然，這是兩種極端情況。一般來說，αα越大，則剪枝剪的越厲害，生成的最優(yōu)子樹相比原生決策樹就越偏小。對(duì)于固定的αα，一定存在使損失函數(shù)Cα(T)Cα(T)最小的唯一子樹。
看過剪枝的損失函數(shù)度量后，我們?cè)賮砜纯醇糁Φ乃悸罚瑢?duì)于位于節(jié)點(diǎn)t的任意一顆子樹TtTt，如果沒有剪枝，它的損失是
Cα(Tt)=C(Tt)+α|Tt|Cα(Tt)=C(Tt)+α|Tt|
如果將其剪掉，僅僅保留根節(jié)點(diǎn)，則損失是
Cα(T)=C(T)+αCα(T)=C(T)+α
當(dāng)α=0α=0或者αα很小時(shí)，Cα(Tt)<Cα(T)Cα(Tt)<Cα(T), 當(dāng)αα增大到一定的程度時(shí)
Cα(T)=C(T)+αCα(T)=C(T)+α
。當(dāng)αα繼續(xù)增大時(shí)不等式反向，也就是說，如果滿足下式：
α=C(T)−C(Tt)|Tt|−1α=C(T)−C(Tt)|Tt|−1
TtTt和TT有相同的損失函數(shù)，但是TT節(jié)點(diǎn)更少，因此可以對(duì)子樹TtTt進(jìn)行剪枝，也就是將它的子節(jié)點(diǎn)全部剪掉，變?yōu)橐粋€(gè)葉子節(jié)點(diǎn)TT。
最后我們看看CART樹的交叉驗(yàn)證策略。上面我們講到，可以計(jì)算出每個(gè)子樹是否剪枝的閾值αα，如果我們把所有的節(jié)點(diǎn)是否剪枝的值αα都計(jì)算出來，然后分別針對(duì)不同的αα所對(duì)應(yīng)的剪枝后的最優(yōu)子樹做交叉驗(yàn)證。這樣就可以選擇一個(gè)最好的αα，有了這個(gè)αα，我們就可以用對(duì)應(yīng)的最優(yōu)子樹作為最終結(jié)果。
好了，有了上面的思路，我們現(xiàn)在來看看CART樹的剪枝算法。
輸入是CART樹建立算法得到的原始決策樹TT。
輸出是最優(yōu)決策子樹TαTα。
算法過程如下：
1）初始化αmin=∞αmin=∞， 最優(yōu)子樹集合ω={T}ω={T}。
2）從葉子節(jié)點(diǎn)開始自下而上計(jì)算各內(nèi)部節(jié)點(diǎn)t的訓(xùn)練誤差損失函數(shù)Cα(Tt)Cα(Tt)（回歸樹為均方差，分類樹為基尼系數(shù)）, 葉子節(jié)點(diǎn)數(shù)|Tt||Tt|，以及正則化閾值α=min{C(T)−C(Tt)|Tt|−1,αmin}α=min{C(T)−C(Tt)|Tt|−1,αmin}, 更新αmin=ααmin=α
3) 得到所有節(jié)點(diǎn)的αα值的集合M。
4）從M中選擇最大的值αkαk，自上而下的訪問子樹t的內(nèi)部節(jié)點(diǎn)，如果C(T)−C(Tt)|Tt|−1≤αkC(T)−C(Tt)|Tt|−1≤αk時(shí)，進(jìn)行剪枝。并決定葉節(jié)點(diǎn)t的值。如果是分類樹，則是概率最高的類別，如果是回歸樹，則是所有樣本輸出的均值。這樣得到αkαk對(duì)應(yīng)的最優(yōu)子樹TkTk
5）最優(yōu)子樹集合ω=ω∪Tkω=ω∪Tk，M=M−{αk}M=M−{αk}。
6) 如果M不為空，則回到步驟4。否則就已經(jīng)得到了所有的可選最優(yōu)子樹集合ωω.
7) 采用交叉驗(yàn)證在ωω選擇最優(yōu)子樹TαTα
6. CART算法小結(jié)
上面我們對(duì)CART算法做了一個(gè)詳細(xì)的介紹，CART算法相比C4.5算法的分類方法，采用了簡(jiǎn)化的二叉樹模型，同時(shí)特征選擇采用了近似的基尼系數(shù)來簡(jiǎn)化計(jì)算。當(dāng)然CART樹最大的好處是還可以做回歸模型，這個(gè)C4.5沒有。下表給出了ID3，C4.5和CART的一個(gè)比較總結(jié)。希望可以幫助大家理解。
| 算法 | 支持模型 | 樹結(jié)構(gòu) | 特征選擇 | 連續(xù)值處理 | 缺失值處理 | 剪枝 |
| ID3 | 分類 | 多叉樹 | 信息增益 | 不支持 | 不支持 | 不支持 |
| C4.5 | 分類 | 多叉樹 | 信息增益比 | 支持 | 支持 | 支持 |
| CART | 分類，回歸 | 二叉樹 | 基尼系數(shù)，均方差 | 支持 | 支持 | 支持 |
看起來CART算法高大上，那么CART算法還有沒有什么缺點(diǎn)呢？有！主要的缺點(diǎn)我認(rèn)為如下：
1）應(yīng)該大家有注意到，無論是ID3, C4.5還是CART,在做特征選擇的時(shí)候都是選擇最優(yōu)的一個(gè)特征來做分類決策，但是大多數(shù)，分類決策不應(yīng)該是由某一個(gè)特征決定的，而是應(yīng)該由一組特征決定的。這樣絕息到的決策樹更加準(zhǔn)確。這個(gè)決策樹叫做多變量決策樹(multi-variate decision tree)。在選擇最優(yōu)特征的時(shí)候，多變量決策樹不是選擇某一個(gè)最優(yōu)特征，而是選擇最優(yōu)的一個(gè)特征線性組合來做決策。這個(gè)算法的代表是OC1，這里不多介紹。
2）如果樣本發(fā)生一點(diǎn)點(diǎn)的改動(dòng)，就會(huì)導(dǎo)致樹結(jié)構(gòu)的劇烈改變。這個(gè)可以通過集成學(xué)習(xí)里面的隨機(jī)森林之類的方法解決。
7. 決策樹算法小結(jié)
終于到了最后的總結(jié)階段了，這里我們不再糾結(jié)于ID3, C4.5和 CART，我們來看看決策樹算法作為一個(gè)大類別的分類回歸算法的優(yōu)缺點(diǎn)。這部分總結(jié)于scikit-learn的英文文檔。
首先我們看看決策樹算法的優(yōu)點(diǎn)：
1）簡(jiǎn)單直觀，生成的決策樹很直觀。
2）基本不需要預(yù)處理，不需要提前歸一化，處理缺失值。
3）使用決策樹預(yù)測(cè)的代價(jià)是O(log2m)O(log2m)。 m為樣本數(shù)。
4）既可以處理離散值也可以處理連續(xù)值。很多算法只是專注于離散值或者連續(xù)值。
5）可以處理多維度輸出的分類問題。
6）相比于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)之類的黑盒分類模型，決策樹在邏輯上可以得到很好的解釋
7）可以交叉驗(yàn)證的剪枝來選擇模型，從而提高泛化能力。
8） 對(duì)于異常點(diǎn)的容錯(cuò)能力好，健壯性高。
我們?cè)倏纯礇Q策樹算法的缺點(diǎn):
1）決策樹算法非常容易過擬合，導(dǎo)致泛化能力不強(qiáng)。可以通過設(shè)置節(jié)點(diǎn)最少樣本數(shù)量和限制決策樹深度來改進(jìn)。
2）決策樹會(huì)因?yàn)闃颖景l(fā)生一點(diǎn)點(diǎn)的改動(dòng)，就會(huì)導(dǎo)致樹結(jié)構(gòu)的劇烈改變。這個(gè)可以通過集成學(xué)習(xí)之類的方法解決。
3）尋找最優(yōu)的決策樹是一個(gè)NP難的問題，我們一般是通過啟發(fā)式方法，容易陷入局部最優(yōu)。可以通過集成學(xué)習(xí)之類的方法來改善。
4）有些比較復(fù)雜的關(guān)系，決策樹很難學(xué)習(xí)，比如異或。這個(gè)就沒有辦法了，一般這種關(guān)系可以換神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)分類方法來解決。
5）如果某些特征的樣本比例過大，生成決策樹容易偏向于這些特征。這個(gè)可以通過調(diào)節(jié)樣本權(quán)重來改善。
總結(jié)
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