前言

正弦定理

文字語言：在一個三角形中，各邊和它所對角的正弦的比相等；

符號語言：(cfrac{a}{sinA}=cfrac{b}{sinB}=cfrac{c}{sinC})；

[拓展：(cfrac{a}{sinA}=cfrac{b}{sinB}=cfrac{c}{sinC}=2R)((R)為三角形的外接圓的半徑)]；

定理證明

【思路一】：利用三角形的高證明正弦定理[易想易證]；

證明：(1).設( riangle ABC)為銳角三角形時，設邊(AB)上的高為(CD)，根據銳角三角函數定義可知，

有(CD=acdot sinB)；(CD=bcdot sinA)；由此得到，(cfrac{a}{sinA}=cfrac{b}{sinB})；

同理得到，(cfrac{b}{sinB}=cfrac{c}{sinC})，故(cfrac{a}{sinA}=cfrac{b}{sinB}=cfrac{c}{sinC})在銳角三角形中成立；

(2).設( riangle ABC)為鈍角三角形時，過點(C)做邊(AB)上的高，交(AB)的延長線于點(D)，根據銳角三角函數定義可知，

有(CD=acdot sinangle CBD=acdot sinangle ABC)；(CD=bcdot sinA)；由此得到，(cfrac{a}{sinA}=cfrac{b}{sinB})；

同理得到，(cfrac{b}{sinB}=cfrac{c}{sinC})，故(cfrac{a}{sinA}=cfrac{b}{sinB}=cfrac{c}{sinC})在鈍角三角形中成立；

(3).當( riangle ABC)為直角三角形時，比如(C=cfrac{pi}{2})，容易驗證(cfrac{a}{sinA}=cfrac{b}{sinB}=cfrac{c}{sinC})成立；

綜上所述，在( riangle ABC)中，一定有(cfrac{a}{sinA}=cfrac{b}{sinB}=cfrac{c}{sinC})；

【思路二】：利用三角形的面積證明正弦定理[易想易證]；

證明：如圖在( riangle ABC)中，邊(AB)上的高為(CD)，則(CD=acdot sinB)，

則(S_{ riangle ABC}=cfrac{1}{2} imes AB imes CD=cfrac{1}{2}acsinB)；

同理可得到(S_{ riangle ABC}=cfrac{1}{2}absinC=cfrac{1}{2}bcsinA)；

則有(acsinB=absinC=bcsinA)，同除以(abc)，得到

(cfrac{a}{sinA}=cfrac{b}{sinB}=cfrac{c}{sinC})；

【思路三】：向量法證明正弦定理

證明：(1).如圖所示，設( riangle ABC)為銳角三角形，過點(A)做與(overrightarrow{AC})垂直的單位向量(vec{j})，

則由圖可知，(<vec{j}，overrightarrow{AC}>=90^{circ})，(<vec{j}，overrightarrow{AB}>=90^{circ}-A)，

(<vec{j}，overrightarrow{CB}>=90^{circ}-C)，延長兩個向量可以看出來；且有(overrightarrow{AC}+overrightarrow{CB}=overrightarrow{AB})，

給上述的向量式同時取與向量(vec{j})的數量積，得到(vec{j}cdot (overrightarrow{AC}+overrightarrow{CB})=vec{j}cdotoverrightarrow{AB})，

整理得到，(vec{j}cdot overrightarrow{AC}+vec{j}cdotoverrightarrow{CB}=vec{j}cdotoverrightarrow{AB})，

則(|vec{j}||overrightarrow{AC}|cos90^{circ}+|vec{j}||overrightarrow{CB}|cos(90^{circ}-C)=|vec{j}||overrightarrow{AB}|cos(90^{circ}-A))

即(acdot sinC=ccdot sinA)；即(cfrac{a}{sinA}=cfrac{c}{sinC})；

過點(C)做與(overrightarrow{CB})垂直的單位向量(vec{i})，則由圖可知，(<vec{i}，overrightarrow{AC}>=90^{circ}-C)，(<vec{i}，overrightarrow{CB}>=90^{circ})，

(<vec{i}，overrightarrow{AB}>=90^{circ}-B)，延長兩個向量可以看出來；且有(overrightarrow{AC}+overrightarrow{CB}=overrightarrow{AB})，

給上述的向量式同時取與向量(vec{i})的數量積，得到(vec{i}cdot (overrightarrow{AC}+overrightarrow{CB})=vec{i}cdotoverrightarrow{AB})，

整理得到，(vec{i}cdot overrightarrow{AC}+vec{i}cdotoverrightarrow{CB}=vec{i}cdotoverrightarrow{AB})，

則(|vec{i}||overrightarrow{AC}|cos(90^{circ}-C)-+|vec{i}||overrightarrow{CB}|cos90^{circ}=|vec{i}||overrightarrow{AB}|cos(90^{circ}-B))

即(bcdot sinC=ccdot sinB)；即(cfrac{b}{sinB}=cfrac{c}{sinC})；

即( riangle ABC)為銳角三角形時，(cfrac{a}{sinA}=cfrac{b}{sinB}=cfrac{c}{sinC})；

(2).當( riangle ABC)為直角或者鈍角三角形時，不妨令(Bgeqslant 90^{circ})，仿照上圖放置角(B)，

則同理可以證明(cfrac{a}{sinA}=cfrac{b}{sinB}=cfrac{c}{sinC})；

綜上所述得到，(cfrac{a}{sinA}=cfrac{b}{sinB}=cfrac{c}{sinC})；證畢。

【思路四】：三角形的外接圓證明

證明：(1).如圖所示，設( riangle ABC)為銳角三角形，做出其外接圓(odot O)，連結(BO)并延長交(odot O)于點(A')，

則由同弧所對的圓周角相等，得到(angle A=angle A')，

在(Rt riangle A'BC)中，(sinA'=cfrac{a}{2R}=sinA)；

連結(AO)并延長交(odot O)于點(B')，則由同弧所對的圓周角相等，得到(angle B=angle B')，

在(Rt riangle AB'C)中，(sinB'=cfrac{b}{2R}=sinB)；

同理得到，(cfrac{c}{2R}=sinC)；故(cfrac{a}{sinA}=cfrac{b}{sinB}=cfrac{c}{sinC}=2R)；

(2).如圖所示，若( riangle ABC)為直角三角形，做出其外接圓(odot O)，連結(BO)并延長交(odot O)于點(A')，

容易證明(cfrac{a}{sinA}=cfrac{b}{sinB}=cfrac{c}{sinC}=2R)；

(3).如圖所示，若( riangle ABC)為鈍角三角形，做出其外接圓(odot O)，連結(BO)并延長交(odot O)于點(A')，

則由同弧所對的圓周角相等，得到(angle A=angle A')，在(Rt riangle A'BC)中，(sinA'=cfrac{a}{2R}=sinA)；

連結(AO)并延長交(odot O)于點(B')，則由同弧所對的圓周角相等，得到(angle B=angle B')，

在(Rt riangle AB'C)中，(sinB'=cfrac{b}{2R}=sinB)；

同理得到，(cfrac{c}{2R}=sinC)；故(cfrac{a}{sinA}=cfrac{b}{sinB}=cfrac{c}{sinC}=2R)；

綜上所述得到，(cfrac{a}{sinA}=cfrac{b}{sinB}=cfrac{c}{sinC})；

【思路五】：用余弦定理證明正弦定理

【思路六】：三角函數定義法

【思路七】：構造向量的射影法[教程上的證法]

如圖所示，設( riangle ABC)為鈍角三角形,以點(A)為原點，以射線(AB)的方向為(x)軸正方向建立直角坐標系，(C)點在(y)軸上的射影為(C')，

由于向量(overrightarrow{AC})與(overrightarrow{BC})在(y)軸上的射影均為(|overrightarrow{OC'}|)，即

(|overrightarrow{OC'}|=|overrightarrow{AC}|cos(A-90^{circ})=bsinA)，

又(|overrightarrow{OC'}|=|overrightarrow{BC}|sinB=asinB)，

所以(asinB=bsinA)，即(cfrac{a}{sinA}=cfrac{b}{sinB})，

同理，(cfrac{a}{sinA}=cfrac{c}{sinC})，

所以，(cfrac{a}{sinA}=cfrac{b}{sinB}=cfrac{c}{sinC})；

若(A)為銳角或者直角，同理可得，(cfrac{a}{sinA}=cfrac{b}{sinB}=cfrac{c}{sinC})；證畢。

總結

以上是生活随笔為你收集整理的正弦定理证明的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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