1.用途

現實是我們的處理和測量模型都是非線性的，結果就是一個不規則分布，KF能夠使用的前提就是所處理的狀態是滿足高斯分布的，為了解決這個問題，EKF是尋找一個線性函數來近似這個非線性函數，而UKF就是去找一個與真實分布近似的高斯分布。

KF處理線性模型:

EKF 通過雅克比和偏導數近似非線性模型，但是忽略了高階導數：（強非線性系統下誤差大，另一方面Jacobian矩陣的計算復雜）

UKF 通過去點的方式近似非線性模型，因為沒有用雅克比和偏導數，讓計算變得更加簡單，同時也沒有忽略高階導數項。
PF不一定限于高斯分布

2.KF

卡爾曼濾波是一種高效率的遞歸濾波器(自回歸濾波器), 它能夠從一系列的不完全包含噪聲的測量(英文:measurement)中，估計動態系統的狀態，然而簡單的卡爾曼濾波必須應用在符合高斯分布的系統中。

百度百科是這樣說的，也就是說卡爾曼濾波第一是遞歸濾波，其次KF用于線性系統。

但經過研究和改進，出現了很多卡爾曼，如EKF（extended kalman filter）擴展卡爾曼，UKF（UnscentedKalmanFilter）無跡卡爾曼等等。

而我們就來研究EKF，而EKF的中心思想就是將非線性系統線形化后再做KF處理。

狀態方程　　

當我們從最簡單的系統開始，我們假定k時刻的系統狀態與k-1時刻有關，于是我們可以得到方程：

其中a為常量，但是當系統內部有噪聲，我們稱為過程噪聲，計為w。所以方程可以寫成：

而我們實際觀測的時候會出現觀測噪聲，于是我們將觀測值計為Z，觀測噪聲為v，那我們可以把k時刻的觀測值與系統狀態值寫成方程：

于是最簡單的系統狀態方程就有啦。

卡爾曼濾波算法核心思想在于預測+測量反饋，它由兩部分組成，第一部分是 線性系統狀態預測方程，第二部分是 線性系統觀測方程。

這里系統的預測時候，我們要將通過系統狀態方程計算的預測值作為先驗信息，之后在觀測部分在重新更新這個信息。

回頭說狀態的預測，我們引入一個符號^在相應的變量上表示該變量是預計值。再說一個新概念：新息。一個時間序列{X(t)}里，根據歷史數據的預測值，新息是真實值減去預測值。

注：上有波浪線表示新息，也有用字母e表示的；上面尖的是預測值；無標注為真實值

我們給出一個優化過的預測值，新預測值 = 上一輪預測值（先驗） + 權重× 新息，即：

那下一個問題就是權重g是怎么計算得出的呢？答案是間接的從噪聲里求得的。當我們將估計協方差叫做p，而傳感器的協方差為r，我們通過這兩個值計算權重。

既然獲得了g，我們下一步將先驗信息輸入到上面的兩個方程中獲得后驗預測值，也就是我們的輸出值。

那整個計算步驟和過程就應該是這樣的：

先預測后更新。具體計算過程和曲線生成可以參考levys教程的Part7。

之后我們再說更復雜一點的系統，系統地狀態方程引入了輸入量U。換句話說有一個U會時刻影響系統狀態量。

而觀測到的觀測值為

那我們新的計算方法就需要引入這兩個新的變量，

同樣是預測，更新，預測下一時刻，更新的計算方式。

而當系統用矩陣的方式寫的狀態方程，就需要以矩陣的方式計算。相同的數學公式及計算方法。如P的計算，

又如G，

還有P的更新，

這樣的話，我們的系統方程及計算步驟方式如下

需要注意的是我們使用的R是對測量誤差v的協方差，當我們在引入一個Q代表過程噪聲引起的誤差時，可以使系統表現更好，即使Q很小，

2.1 非線性系統之EKF

那如果系統是非線性的呢？我們如果將觀測值Z計做X的非線性函數組成的，我們的模型可以改成。

而我們的中心思想是將其線性化，如果我們使用函數一階導為C來計算G和P。

最后系統復雜到這樣的程度，

那我們就引入雅科比矩陣，雅各比矩陣就是方程矩陣對每一個變量的偏導數。

則在向量分析中，雅可比矩陣Jacobian matrix是該函數的所有分量（個）對向量的所有分量（個）的一階偏導數組成的矩陣。

函數有個分量，于是有行。向量有個分量，于是有列。

而最終，F為f方程的雅可比，H為h方程的雅可比。最終計算如下：

到這里簡單的EKF就已經完成基本介紹啦。

3.UKF

https://blog.csdn.net/qq_36355662/article/details/84300082

3.0 模型

z(k+1)=h(x(k+1))

3.1 生成sigma點

計算每一個sigma點的權重：

3.2 預測

1.根據模型預測sigma point（k+1步的分布點）

2.預測均值（Xpred)和方差(Ppred)

無跡變換：

3.預測測量值

z(k+1)i=h(x(k+1)i)

從而zpred：

3.3更新

1.更新卡爾曼系數

其中：

2.更新最終值：

總結

以上是生活随笔為你收集整理的卡尔曼滤波总结——KF、EFK、UKF的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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