算法設(shè)計與分析-----貪心法(c語言）

• • 一、貪心法
  • • 1、定義
    • 2、貪心法具有的性質(zhì)
    • • 1、貪心選擇性質(zhì)
      • 2、最優(yōu)子結(jié)構(gòu)性質(zhì)
    • 3、貪心法的算法框架
    • 5、求解活動安排問題
    • 6、求解最優(yōu)裝載問題
  • 二、 貪心法實驗
  • • 1、實驗一 求解田忌賽馬問題
    • 2、實驗二 求解多機調(diào)度問題
    • 3、實驗三 哈夫曼編碼

一、貪心法

1、定義

? 貪心法的基本思路是在對問題求解時總是做出在當(dāng)前看來是最好的選擇，也就是說貪心法不從整體最優(yōu)上加以考慮，所做出的僅是在某種意義上的局部最優(yōu)解。

? 人們通常希望找到整體最優(yōu)解，所以采用貪心法需要證明設(shè)計的算法確實是整體最優(yōu)解或求解了它要解決的問題。

2、貪心法具有的性質(zhì)

1、貪心選擇性質(zhì)

? 所謂貪心選擇性質(zhì)是指所求問題的整體最優(yōu)解可以通過一系列局部最優(yōu)的選擇，即貪心選擇來達到。

也就是說，貪心法僅在當(dāng)前狀態(tài)下做出最好選擇，即局部最優(yōu)選擇，然后再去求解做出這個選擇后產(chǎn)生的相應(yīng)子問題的解。

2、最優(yōu)子結(jié)構(gòu)性質(zhì)

? 如果一個問題的最優(yōu)解包含其子問題的最優(yōu)解，則稱此問題具有最優(yōu)子結(jié)構(gòu)性質(zhì)。

? 問題的最優(yōu)子結(jié)構(gòu)性質(zhì)是該問題可用動態(tài)規(guī)劃算法或貪心法求解的關(guān)鍵特征。

3、貪心法的算法框架

SolutionType Greedy(SType a[],int n) //假設(shè)解向量(x0,x1,…,xn-1)類型為SolutionType，其分量為SType類型 { SolutionType x={}； //初始時，解向量不包含任何分量for (int i=0;i<n;i++) //執(zhí)行n步操作{ SType xi=Select(a); //從輸入a中選擇一個當(dāng)前最好的分量if (Feasiable(xi)) //判斷xi是否包含在當(dāng)前解中solution=Union(x,xi); //將xi分量合并形成x }return x; //返回生成的最優(yōu)解 }

5、求解活動安排問題

? 【問題描述】假設(shè)有一個需要使用某一資源的n個活動所組成的集合S，S={1，…，n}。該資源任何時刻只能被一個活動所占用，活動i有一個開始時間bi和結(jié)束時間ei（bi<ei），其執(zhí)行時間為ei-bi，假設(shè)最早活動執(zhí)行時間為0。

? 一旦某個活動開始執(zhí)行，中間不能被打斷，直到其執(zhí)行完畢。若活動i和活動j有bi≥ej或bj≥ei，則稱這兩個活動兼容。

? 設(shè)計算法求一種最優(yōu)活動安排方案，使得所有安排的活動個數(shù)最多。

? 【問題求解】假設(shè)活動時間的參考原點為0。一個活動i（1≤i≤n）用一個區(qū)間[bi，ei)表示，當(dāng)活動按結(jié)束時間（右端點）遞增排序后，兩個活動[bi，ei)和[bj，ej)兼容（滿足bi≥ej或bj≥ei）實際上就是指它們不相交。

? 用數(shù)組A存放所有的活動，A[i].b（1≤i≤n），存放活動起始時間，A[i].e存放活動結(jié)束時間。

i1234567891011

開始時間	1	3	0	5	3	5	6	8	8	2	12
結(jié)束時間	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	15

產(chǎn)生最大兼容活動集合的過程：

活動1 √

活動2 ′

活動3 ′

活動4 √

活動5 ′

活動6 ′

活動7 ′

活動8 √

活動9 ′

活動10 ′

活動11 √

代碼如下：

#include <stdio.h> #include <string.h> #include <algorithm> using namespace std; #define MAX 51struct Action { int b; //活動起始時間int e; //活動結(jié)束時間bool operator<(const Action &s) const //重載<關(guān)系函數(shù){return e<=s.e; //用于按活動結(jié)束時間遞增排序} }; int n=11; Action A[]={{0},{1,4},{3,5},{0,6},{5,7},{3,8},{5,9},{6,10},{8,11},{8,12},{2,13},{12,15}}; //下標(biāo)0不用 //求解結(jié)果表示 bool flag[MAX]; //標(biāo)記選擇的活動 int Count=0; //選取的兼容活動個數(shù) void solve() //求解最大兼容活動子集 {memset(flag,0,sizeof(flag));//初始化為falsesort(A+1,A+n+1); //A[1..n]按活動結(jié)束時間遞增排序int preend=0; //前一個兼容活動的結(jié)束時間for (int i=1;i<=n;i++){ if (A[i].b>=preend){ flag[i]=true; //選擇A[i]活動preend=A[i].e;}} } int main() {solve();printf("求解結(jié)果\n");printf(" 選取的活動:");for (int i=1;i<=n;i++)if (flag[i]){printf("[%d,%d] ",A[i].b,A[i].e);Count++;}printf("\n 共%d個活動\n",Count); }

【算法分析】算法的主要時間花費在排序上，排序時間為O(nlog2n)，所以整個算法的時間復(fù)雜度為O(nlog2n)。

6、求解最優(yōu)裝載問題

【問題描述】有n個集裝箱要裝上一艘載重量為W的輪船，其中集裝箱i（1≤i≤n）的重量為wi。

? 不考慮集裝箱的體積限制，現(xiàn)要選出盡可能多的集裝箱裝上輪船，使它們的重量之和不超過W。

【問題求解】第5章討論了簡單裝載問題，采用回溯法選出盡可能少的集裝箱個數(shù)。這里的最優(yōu)解是選出盡可能多的集裝箱個數(shù)，并采用貪心法求解。

? 當(dāng)重量限制為W時，wi越小可裝載的集裝箱個數(shù)越多，所以采用優(yōu)先選取重量輕的集裝箱裝船的貪心思路。

? 對wi從小到大排序得到{w1，w2，…，wn}，設(shè)最優(yōu)解向量為x={x1，x2，…，xn}，顯然，x1=1，則x’={x2，…，xn}是裝載問題w’={w2，…，wn}，W’=W-w1的最優(yōu)解，滿足貪心最優(yōu)子結(jié)構(gòu)性質(zhì)。

代碼如下：

#include <stdio.h> #include <string.h> #include <algorithm> using namespace std; #define MAXN 20 //最多集裝箱個數(shù)int w[]={0,5,2,6,4,3}; //各集裝箱重量,不用下標(biāo)0的元素 int n=5,W=10;int maxw; //存放最優(yōu)解的總重量 int x[MAXN]; //存放最優(yōu)解向量void solve() //求解最優(yōu)裝載問題 {memset(x,0,sizeof(x)); //初始化解向量sort(w+1,w+n+1); //w[1..n]遞增排序maxw=0;int restw=W; //剩余重量for (int i=1;i<=n && w[i]<=restw;i++){x[i]=1; //選擇集裝箱irestw-=w[i]; //減少剩余重量maxw+=w[i]; //累計裝載總重量} } int main() {solve();printf("最優(yōu)方案\n");for (int i=1;i<=n;i++)if (x[i]==1)printf(" 選取重量為%d的集裝箱\n",w[i]);printf("總重量=%d\n",maxw); }

【算法分析】算法的主要時間花費在排序上，時間復(fù)雜度為O(nlog2n)。

二、 貪心法實驗

1、實驗一 求解田忌賽馬問題

? 【問題描述】二千多年前的戰(zhàn)國時期，齊威王與大將田忌賽馬。雙方約定每人各出300匹馬，并且在上、中、下三個等級中各選一匹進行比賽，由于齊威王每個等級的馬都比田忌的馬略強，比賽的結(jié)果可想而知。現(xiàn)在雙方各n匹馬，依次派出一匹馬進行比賽，每一輪獲勝的一方將從輸?shù)囊环降玫?00銀幣，平局則不用出錢，田忌已知所有馬的速度值并可以安排出場順序，問他如何安排比賽獲得的銀幣最多。

? 輸入：輸入包含多個測試用例，每個測試用例的第一行正整數(shù)n（n≤1000）馬的數(shù)量，后兩行分別是n個整數(shù)，表示田忌和齊威王的馬的速度值。輸入n=0結(jié)束。

? 輸出：每個測試用例輸出一行，表示田忌獲得的最多銀幣數(shù)。

輸入樣例：

3 92 83 71 95 87 74 2 20 20 20 20 2 20 19 22 18 0

樣例輸出：

200 0 0

【問題求解】田忌的馬速度用數(shù)組a表示，齊威王的馬速度用數(shù)組b表示，將a、b數(shù)組遞增排序。采用常識性的貪心思路，分以下幾種情況：

（1）田忌最快的馬比齊威王最快的馬快即a[righta]>b[rightb]，則兩者比賽（兩個最快的馬比賽），田忌贏。因為此時田忌最快的馬一定贏，而選擇與齊威王最快的馬比賽對于田忌來說是最優(yōu)的，下圖中“■”代表已經(jīng)比賽的馬，“□”代表尚未比賽的馬，箭頭指向的馬速度更快。

（2）田忌最快的馬比齊威王最快的馬慢即a[righta]<b[rightb]，則選擇田忌最慢的馬與齊威王最快的馬比賽，田忌輸。因為齊威王最快的馬一定贏，而選擇與田忌最慢的馬比賽對于田忌來說是最優(yōu)的。

（3）田忌最快的馬與齊威王最快的馬的速度相同即a[righta]=b[rightb]，又分為以下3種情況：

? ① 田忌最慢的馬比齊威王最慢的馬快即a[lefta]>b[leftb]，則兩者比賽（兩個最慢的馬比賽），田忌贏。因為此時齊威王最慢的馬一定輸，而選擇與田忌最慢的馬比賽對于田忌來說是最優(yōu)的。

? ② 田忌最慢的馬比齊威王最慢的馬慢，并且田忌最慢的馬比齊威王最快的馬慢，即a[lefta]≤b[leftb]且a[lefta]<b[rightb]，則選擇田忌最慢的馬與齊威王最快的馬比賽，田忌輸。因為此時田忌最慢的馬一定輸，而選擇與齊威王最快的馬比賽對于田忌來說是最優(yōu)的。

? ③ 其他情況，即a[righta]=b[rightb]且a[lefta]≤b[leftb]且a[lefta]≥b[rightb]，則a[lefta]≥b[rightb]=a[righta]，即a[lefta]=a[righta]，b[leftb]≥a[lefta]=b[rightb]，即b[leftb]=b[rightb]，說明比賽區(qū)間的所以馬的速度全部相同，任何兩匹馬比賽都沒有輸贏。

上述過程看出每種情況對于田忌來說都是最優(yōu)的，因此最終獲得的比賽方案也一定是最優(yōu)的。

代碼如下：

#include <stdio.h> #include <algorithm> using namespace std; #define MAX 1001int n; int a[MAX]; int b[MAX];int ans; void solve() //求解算法 {sort(a,a+n); //對a遞增排序sort(b,b+n); //對b遞增排序ans=0;int lefta=0,leftb=0;int righta=n-1,rightb=n-1;while (lefta<=righta) //比賽直到結(jié)束{if (a[righta]>b[rightb]) //田忌最快的馬比齊威王最快的馬快，兩者比賽{ans+=200;righta--;rightb--;}else if (a[righta]<b[rightb]) //田忌最快的馬比齊威王最快的馬慢，選擇田忌最慢的馬與比齊威王最快的馬比賽{ans-=200;lefta++;rightb--;}else //田忌最快的馬與齊威王最快的馬的速度相同{if (a[lefta]>b[leftb]) //田忌最慢的馬比齊威王最慢的馬快，兩者比賽{ans+=200;lefta++;leftb++;}else{if (a[lefta]<b[rightb]) //否則，用田忌最慢的馬與齊威王最快的馬比賽ans-=200;lefta++;rightb--;}}} } int main() {while (true){scanf("%d",&n);if (n==0) break;for (int i=0;i<n;i++)scanf("%d",&a[i]);for (int j=0;j<n;j++)scanf("%d",&b[j]);solve();printf("%d\n",ans);}return 0; }

【算法分析】算法的主要時間花費在排序上，時間復(fù)雜度為O(nlog2n)。

2、實驗二 求解多機調(diào)度問題

【問題描述】設(shè)有n個獨立的作業(yè){1，2，…，n}，由m臺相同的機器{1，2， …，m}進行加工處理，作業(yè)i所需的處理時間為ti（1≤i≤n），每個作業(yè)均可在任何一臺機器上加工處理，但未完工前不允許中斷，任何作業(yè)也不能拆分成更小的子作業(yè)。

多機調(diào)度問題要求給出一種作業(yè)調(diào)度方案，使所給的n個作業(yè)在盡可能短的時間內(nèi)由m臺機器加工處理完成。

【問題求解】貪心法求解多機調(diào)度問題的貪心策略是最長處理時間作業(yè)優(yōu)先，即把處理時間最長的作業(yè)分配給最先空閑的機器，這樣可以保證處理時間長的作業(yè)優(yōu)先處理，從而在整體上獲得盡可能短的處理時間。

按照最長處理時間作業(yè)優(yōu)先的貪心策略，當(dāng)m≥n時，只要將機器i的[0，ti)時間區(qū)間分配給作業(yè)i即可；

當(dāng)m<n時，首先將n個作業(yè)依其所需的處理時間從大到小排序，然后依此順序?qū)⒆鳂I(yè)分配給空閑的處理機。

例如，有7個獨立的作業(yè){1，2，3，4，5，6，7}，由3臺機器{1，2，3}加工處理，各作業(yè)所需的處理時間如下：

作業(yè)編號1234567

作業(yè)的處理時間	2	14	4	16	6	5	3

采用貪心法求解的過程如下：

（1）7個作業(yè)按處理時間遞減排序，其結(jié)果如下表所示。

作業(yè)編號4256371

作業(yè)的處理時間	16	14	6	5	4	3	2

（2）先將排序后的前3個作業(yè)分配給3臺機器。此時機器的分配情況為{{4}，{2}，{5}}，對應(yīng)的總處理時間為{16，14，6}。

作業(yè)編號4256371

作業(yè)的處理時間	16	14	6	5	4	3	2

（3）分配余下的作業(yè)

代碼如下：

#include <stdio.h> #include <queue> #include <vector> #include <algorithm> using namespace std; #define N 100int n=7; int m=3; struct NodeType {int no; //作業(yè)序號int t; //執(zhí)行時間int mno; //機器序號bool operator<(const NodeType &s) const { return t>s.t; } //按t越小越優(yōu)先出隊 }; struct NodeType A[]={{1,2},{2,14},{3,4},{4,16},{5,6},{6,5},{7,3}}; void solve() //求解多機調(diào)度問題 {NodeType e;if (n<=m){ printf("為每一個作業(yè)分配一臺機器\n");return;}printf(" 排序前");for (int s=0;s<n;s++)printf(" [%d:%d]",A[s].no,A[s].t);printf("\n");sort(A,A+n);printf(" 排序后");for (int s=0;s<n;s++)printf(" [%d:%d]",A[s].no,A[s].t);printf("\n");priority_queue<NodeType> qu; //小根堆for (int i=0;i<m;i++){A[i].mno=i+1;printf(" 給機器%d分配作業(yè)%d,執(zhí)行時間為%2d,占用時間段:[%d,%d]\n",A[i].mno,A[i].no,A[i].t,0,A[i].t);qu.push(A[i]);}for (int j=m;j<n;j++){e=qu.top(); qu.pop(); //出隊eprintf(" 出隊:e.no=%d,e.t=%d,e.mno=%d\n",e.no,e.t,e.mno); printf(" 給機器%d分配作業(yè)%d,執(zhí)行時間為%2d,占用時間段:[%d,%d]\n",e.mno,A[j].no,A[j].t,e.t,e.t+A[j].t);e.t+=A[j].t;qu.push(e); //e進隊printf(" 進隊:e.no=%d,e.t=%d,e.mno=%d\n",e.no,e.t,e.mno); } } int main() {printf("多機調(diào)度方案:\n");solve(); }

【算法分析】排序的時間復(fù)雜度為O(nlog2n)，兩次for循環(huán)的時間合起來為O(n)，所以本算法的時間復(fù)雜度為O(nlog2n)。

3、實驗三 哈夫曼編碼

【問題描述】設(shè)要編碼的字符集為{d1， d2， …， dn}，它們出現(xiàn)的頻率為{w1， w2， …， wn}，應(yīng)用哈夫曼樹構(gòu)造最優(yōu)的不等長的由0、1構(gòu)成的編碼方案。

【問題求解】先構(gòu)建以這個n個結(jié)點為葉子結(jié)點的哈夫曼樹，然后由哈夫曼樹產(chǎn)生各葉子結(jié)點對應(yīng)字符的哈夫曼編碼。

? 哈夫曼樹（Huffman Tree）的定義：設(shè)二叉樹具有n個帶權(quán)值的葉子結(jié)點，從根結(jié)點到每個葉子結(jié)點都有一個路徑長度。從根結(jié)點到各個葉子結(jié)點的路徑長度與相應(yīng)結(jié)點權(quán)值的乘積的和稱為該二叉樹的帶權(quán)路徑長度，記作：

? 由n個葉子結(jié)點可以構(gòu)造出多種二叉樹，其中具有最小帶權(quán)路徑長度的二叉樹稱為哈夫曼樹（也稱最優(yōu)樹）。

構(gòu)造一棵哈夫曼樹的方法如下：

（1）由給定的n個權(quán)值{w1，w2，…，wn}構(gòu)造n棵只有一個葉子結(jié)點的二叉樹，從而得到一個二叉樹的集合F={T1，T2，…，Tn}。

（2）在F中選取根結(jié)點的權(quán)值最小和次小的兩棵二叉樹作為左、右子樹構(gòu)造一棵新的二叉樹，這棵新的二叉樹根結(jié)點的權(quán)值為其左、右子樹根結(jié)點權(quán)值之和。即合并兩棵二叉樹為一棵二叉樹。

（3）重復(fù)步驟（2），當(dāng)F中只剩下一棵二叉樹時，這棵二叉樹便是所要建立的哈夫曼樹。

代碼如下：

#include <iostream> #include <queue> #include <vector> #include <string> #include <map> using namespace std; #define MAX 101 int n; struct HTreeNode //哈夫曼樹結(jié)點類型 {char data; //字符int weight; //權(quán)值int parent; //雙親的位置int lchild; //左孩子的位置int rchild; //右孩子的位置 }; HTreeNode ht[MAX]; //哈夫曼樹 map<char,string> htcode; //哈夫曼編碼struct NodeType //優(yōu)先隊列結(jié)點類型 {int no; //對應(yīng)哈夫曼樹ht中的位置char data; //字符int weight; //權(quán)值bool operator<(const NodeType &s) const{ //用于創(chuàng)建小根堆return s.weight<weight;} }; void CreateHTree() //構(gòu)造哈夫曼樹 {NodeType e,e1,e2;priority_queue<NodeType> qu;for (int k=0;k<2*n-1;k++) //設(shè)置所有結(jié)點的指針域ht[k].lchild=ht[k].rchild=ht[k].parent=-1;for (int i=0;i<n;i++) //將n個結(jié)點進隊qu{e.no=i;e.data=ht[i].data;e.weight=ht[i].weight;qu.push(e);}for (int j=n;j<2*n-1;j++) //構(gòu)造哈夫曼樹的n-1個非葉結(jié)點{e1=qu.top(); qu.pop(); //出隊權(quán)值最小的結(jié)點e1e2=qu.top(); qu.pop(); //出隊權(quán)值次小的結(jié)點e2ht[j].weight=e1.weight+e2.weight; //構(gòu)造哈夫曼樹的非葉結(jié)點j ht[j].lchild=e1.no;ht[j].rchild=e2.no;ht[e1.no].parent=j; //修改e1.no的雙親為結(jié)點jht[e2.no].parent=j; //修改e2.no的雙親為結(jié)點je.no=j; //構(gòu)造隊列結(jié)點ee.weight=e1.weight+e2.weight;qu.push(e);} } void CreateHCode() //構(gòu)造哈夫曼編碼 {string code;code.reserve(MAX);for (int i=0;i<n;i++) //構(gòu)造葉結(jié)點i的哈夫曼編碼{code="";int curno=i;int f=ht[curno].parent;while (f!=-1) //循環(huán)到根結(jié)點{if (ht[f].lchild==curno) //curno為雙親f的左孩子code='0'+code;else //curno為雙親f的右孩子code='1'+code;curno=f; f=ht[curno].parent;}htcode[ht[i].data]=code; //得到ht[i].data字符的哈夫曼編碼} } void DispHCode() //輸出哈夫曼編碼 {map<char,string>::iterator it;for (it=htcode.begin();it!=htcode.end();++it)cout << " " << it->first << ": " << it->second << endl; } void DispHTree() //輸出哈夫曼樹 {for (int i=0;i<2*n-1;i++){printf(" data=%c, weight=%d, lchild=%d, rchild=%d, parent=%d\n",ht[i].data,ht[i].weight,ht[i].lchild,ht[i].rchild,ht[i].parent);} } int WPL() //求WPL {int wps=0;for (int i=0;i<n;i++)wps+=ht[i].weight*htcode[ht[i].data].size();return wps; }int main() {n=5;ht[0].data='a'; ht[0].weight=4; //置初值即n個葉子結(jié)點ht[1].data='b'; ht[1].weight=2; ht[2].data='c'; ht[2].weight=1; ht[3].data='d'; ht[3].weight=7; ht[4].data='e'; ht[4].weight=3; CreateHTree(); //建立哈夫曼樹printf("構(gòu)造的哈夫曼樹:\n");DispHTree();CreateHCode(); //求哈夫曼編碼printf("產(chǎn)生的哈夫曼編碼如下:\n");DispHCode(); //輸出哈夫曼編碼printf("WPL=%d\n",WPL()); }

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的算法设计与分析-----贪心法的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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