一、算法思想

貪心就是把整個問題分解成多個步驟，在每個步驟中選取當前步驟的最優(yōu)方案，直到所有步驟結束。其中每一步都不考慮對后續(xù)步驟的影響，后續(xù)步驟也不考慮前面步驟的選擇，在特定規(guī)則下能夠使局部最優(yōu)達到全局最優(yōu)，或者近似全局最優(yōu)。這就是貪心思想。

二、貪心法的性質(zhì)

1.最優(yōu)子結構性質(zhì)。當一個問題的最優(yōu)解包含子問題的最優(yōu)解時，這種情況下就稱滿足最優(yōu)子結構性質(zhì)，能從局部最優(yōu)達到全局最優(yōu)。

2.貪心選擇性質(zhì)。問題的全局最優(yōu)解可以由局部最優(yōu)解所得到。

三、求解過程

1.將具體問題抽象成數(shù)學模型，并選擇合適的貪心策略；

2.將要求解的問題分成若干個子問題；

3.尋求每個子問題的局部最優(yōu)解；

4.將局部最優(yōu)解整合得到全局最優(yōu)解。

四、簡單問題

1.活動安排問題（區(qū)間調(diào)度問題）

有若干個電視節(jié)目，給出它們放映的起止時間，其中有些節(jié)目時間會發(fā)生沖突，問能完整看完的電視節(jié)目最多有多少個？

根據(jù)題目所給的條件，有三種貪心策略可供選擇：

（1）最早開始時間；（2）最早結束時間；（3）放映最短時間。

通過簡單的分析判斷可知，（1）和（3）的策略都是不可行的，原因是如果只考慮最早開始時間，而不考慮終止時間，那么會存在最早開始但是最晚結束的情況；如果選擇放映最短時間，那么節(jié)目放映的時間點關系就不得而知，無法進行合理判斷。（2）的策略是可行的，按最早結束時間進行排序，就可以安排接下來要看的節(jié)目，進而通過判斷條件達到題目的要求。

知道了用什么策略，接下來就是考慮對這個策略的貪心算法步驟：

（1）將 n 個活動按結束時間從小到大進行排序；

（2）選擇第 1 個結束的活動，并排除與它時間沖突的活動；

（3）每次選擇剩下的活動種最早結束的活動再進行（2）的步驟，直到?jīng)]有活動可以選擇為止。

再檢查一下以上算法，可以發(fā)現(xiàn)它符合貪心算法的性質(zhì)，大功告成！

AC的C++代碼如下：

#include <iostream> #include <cstring> #include <algorithm>using namespace std; typedef long long ll; const int N = 100 + 5;struct node{ // 定義活動起止時間int start, end; }telecast[N];bool cmp(const node& a, const node& b){ // 結束時間從小到大排序規(guī)則return a.end < b.end; }int main() {int n;while(cin >> n && n){for(int i = 0; i < n; i++)cin >> telecast[i].start >> telecast[i].end;sort(telecast, telecast + n, cmp); // 按結束時間從小到大進行排序int cnt = 0;int lastend = -1; // 上一個節(jié)目結束時間，初值賦為-1for(int i = 0; i < n; i++){if(telecast[i].start >= lastend){cnt++;lastend = telecast[i].end; // 記錄該活動終止時間，用于下次判斷}}cout << cnt << endl;}return 0; }

例題：hdu2037 今年暑假不AC

2.區(qū)間覆蓋問題

農(nóng)場主John有 N 頭牛，他分配這些牛去打掃圈地衛(wèi)生（給出每頭牛的工作起止時間），John把一天分成若干個時間段讓牛去打掃，每頭牛打掃的時間是整段時間（不可被分割），你的任務是安排盡量少的牛去完成一天的打掃任務。

根據(jù)題意，可以很容易想到，要想安排的牛盡量少，每頭牛工作的時間就得盡量長，因此我們考慮的貪心策略為：每頭牛的工作時間。當然，同時還得考慮上每頭牛的工作開始時間，使得最終的安排充斥整個時間段。開始分析貪心步驟：

（1）把每頭牛的工作時間按起始時間遞增排序；

（2）更新已經(jīng)覆蓋的區(qū)間，再在剩下的牛的工作時間中找到起始時間小于等于區(qū)間右端點且終止時間最大的工作時間，再將這個區(qū)間加入到已覆蓋的區(qū)間；

（3）重復步驟（2），直到區(qū)間全部覆蓋。

再檢查一下以上算法，可以發(fā)現(xiàn)它符合貪心算法的性質(zhì)，大功告成！

AC的C++代碼如下：

#include <iostream> #include <cstring> #include <algorithm>using namespace std;const int N = 25000 + 5;struct node{int start, end; }cow[N];bool cmp(const node& a, const node& b){return a.start < b.start; }int main() {int n, t;cin >> n >> t;for(int i = 0; i < n; i++)cin >> cow[i].start >> cow[i].end;sort(cow, cow + n, cmp);cow[n].start = 0x3f3f3f3f;int right = 0, left = 1, flag = 0, cnt = 0;for(int i = 0; i < n; i++){if(cow[i].start <= left){if(cow[i].end > right){right = cow[i].end;flag = 1;}if(cow[i + 1].start > left && flag){left = right + 1;flag = 0;cnt++;}}}if(left - 1 == t) cout << cnt << endl;else cout << -1 << endl;return 0; }

例題：poj2376 Cleaning Shifts

3.最優(yōu)裝載問題

有 n 種藥水，體積都是 V，濃度不同，把它們混合起來，得到濃度不大于w%的藥水，問怎么混合才能得到最大體積藥水？注意一種藥水要么全用，要么都不用，不能只取一部分。

根據(jù)題意，可以很自然想到貪心策略為：找濃度最小的藥水。那么貪心的步驟為：

（1）對藥水濃度按從小到大的順序排序；

（2）循環(huán)藥水，并每次對其進行判斷：如果濃度不大于w%就加入，如果大于w%，計算混合后總濃度，不大于w%就加入，否則結束判斷。

再檢查一下以上算法，可以發(fā)現(xiàn)它符合貪心算法的性質(zhì)，大功告成！

AC的C++代碼如下：

#include <iostream> #include <cstring> #include <algorithm> #include <iomanip>using namespace std;const int N = 100 + 5; int liquid[N];int main() {int c, n, v, w;cin >> c;while(c--){cin >> n >> v >> w;for(int i = 0; i < n; i++)cin >> liquid[i];sort(liquid, liquid + n);int vsum = 0;double csum = 0;for(int i = 0; i < n; i++){//if(liquid[i] <= w) csum = (csum * vsum + liquid[i] * v) / (vsum + v); if(csum * vsum + liquid[i] * v <= w * (vsum + v)){csum = (csum * vsum + liquid[i] * v) / (vsum + v);vsum += v;}else break;}if(vsum == 0) cout << 0 << ' ' << "0.00" << endl;else cout << vsum << ' ' << setiosflags(ios::fixed) << setprecision(2) << csum / 100 << endl;}return 0; }

由于不論是藥水濃度小于等于w%還是大于w%，都得更新一次濃度，并且更新濃度的式子是相同的，因此實際代碼中只需判斷加入第 i 瓶藥水后的濃度是否小于w%（可以轉化為物質(zhì)的量的比較），然后更新即可。

例題：hdu2570 迷瘴

4.多機調(diào)度問題

設有 n 個獨立的作業(yè)，由 m 臺相同的計算機進行加工。作業(yè) i 的處理時間為?，每個作業(yè)可在任何一臺計算機上加工處理，但不能間斷、拆分。要求給出一種作業(yè)調(diào)度方案，在盡可能短的時間內(nèi)，由 m 臺計算機加工處理完成這 n 個作業(yè)。

多機調(diào)度問題是個NP問題，目前無法得到最佳解，只能通過貪心得到最佳解的近似解。

求解該問題的貪心策略是把處理時間最長的作業(yè)交給最先空閑的計算機，讓處理時間長的作業(yè)優(yōu)先處理，從而整體獲得盡可能短的處理時間。

該問題有兩種情況：

（1）：需要的時間就是 n 個作業(yè)種最長的處理時間 t。

（2）：先將作業(yè)按處理時間從大到小排序，再按順序分配給空閑的計算機。

C++代碼如下：

#include <iostream> #include <algorithm> #include <queue>using namespace std; const int M = 1e5 + 5; int a[M];priority_queue<int, vector<int>, greater<int> > q;int main() {int n, m;cin >> n >> m;for(int i = 0; i < m; i++){cin >> a[i];}sort(a, a + m, greater<int>());if(n >= m)cout << a[0] << endl;else{for(int i = 0; i < n; i++){q.push(a[i]);}for(int i = n; i < m; i++){a[i] += q.top();q.pop();q.push(a[i]);}for(int i = 0; i < m - 1; i++)q.pop();cout << q.top() << endl;}return 0; }

五、擴展算法

1.哈夫曼（Huffman）編碼

由于每種字符出現(xiàn)的頻次不同，因此用普通的二進制編碼雖然方便，但不節(jié)省空間，這就引出了Huffman編碼的方法。

Huffman編碼是利用貪心思想構造二叉編碼樹的算法。每個二叉樹的分支左邊是0，右邊是1，二叉樹的末端的葉子放編碼，這樣可以保證每個編碼不發(fā)生重復。將出現(xiàn)頻次最高的字符放在靠近根的葉子上，編碼最短；將出現(xiàn)頻次最低的字符放在二叉樹最深處的葉子上，編碼最長。這樣就可以實現(xiàn)空間節(jié)省的效果，并且能做到每個編碼都不發(fā)生重復。

那么接下來的問題就是如何構造這樣的一棵編碼二叉樹：

（1）對所有字符按出現(xiàn)的頻次從小到大進行排序；

（2）從出現(xiàn)頻次最少的字符開始，用貪心思想安排在二叉樹上（每一步都要按頻次重新排序，排序要包括生成的二叉樹的當前根結點），具體步驟如下圖。

可以證明，以上步驟符合貪心法的性質(zhì)，因此這樣編碼的結果是最優(yōu)的。

接下來就該考慮代碼如何實現(xiàn)了，我們來看一道例題：

輸入一個字符串，分別用普通ASCII編碼（每個字符8bit）和Huffman編碼，輸出編碼后的長度，并輸出壓縮比。

AC的C++代碼如下：

#include <iostream> #include <algorithm> #include <cstring> #include <iomanip> #include <vector> #include <queue>using namespace std;int main() {string s;priority_queue<int, vector<int>, greater<int> > q; // 優(yōu)先隊列存儲，頻次最小的在隊首while(cin >> s && s != "END"){int ans1 = 8 * s.size(); // ASCII碼的編碼長度int t = 1;sort(s.begin(), s.end()); // 對字符進行排序int len = s.size();for(int i = 1; i < len; i++){ // 統(tǒng)計各字符出現(xiàn)的次數(shù)，并放入優(yōu)先隊列中if(s[i] != s[i - 1]){q.push(t);t = 1;}else t++;}q.push(t);int ans2 = 0;if(q.size() == 1) ans2 = q.top(); // 字符串只有一個字符的情況while(q.size() > 1){int a = q.top(); // 提取隊列中最小的兩個q.pop();int b = q.top();q.pop();q.push(a + b); // 將當前根結點放回隊列排序ans2 += a + b; // 計算Huffman編碼的總長度}q.pop();cout << ans1 << ' ' << ans2 << ' ' << setiosflags(ios::fixed) << setprecision(1) << (double)ans1 / ans2 << endl;}return 0; }

例題：poj1521 Entropy

2.模擬退火

模擬退火算法基于物理原理：高溫物體降溫的情況是溫度越高降溫越快，溫度越低降溫越慢。基于這種思想，進行多次降溫迭代，直到獲得可行解（無法得到精確解）。

迭代過程中，選擇下一個狀態(tài)有兩種可能：
（1）新狀態(tài)比原狀態(tài)更優(yōu)，那么接受新狀態(tài)；

（2）新狀態(tài)比原狀態(tài)更差，那么以一定概率接受新狀態(tài)，這個概率隨迭代次數(shù)逐漸降低。

因此模擬退火算法的步驟如下：

（1）設置初始溫度T、降溫系數(shù)Δ和終止溫度eps；

（2）每次迭代溫度按降溫系數(shù)下降，以新的溫度計算當前狀態(tài)；

（3）溫度降到設定的終止溫度時，迭代停止。

我們來看道典型應用——求函數(shù)最值問題：

函數(shù)。輸入y值，求函數(shù)的最小值。

AC的C++代碼如下：

#include <iostream> #include <algorithm> #include <cstring> #include <cmath> #include <cstdlib> #include <iomanip>using namespace std; const double eps = 1e-8; // 終止溫度 double y; // 函數(shù)值double cal(double x){return 6 * pow(x, 7.0) + 8 * pow(x, 6.0) + 7 * pow(x, 3.0) + 5 * pow(x, 2.0) - y * x; }double anneal(){double T = 100; // 初始溫度double delta = 0.98; // 降溫系數(shù)double x = 50.0; // x的初始值double now = cal(x); // 計算初始函數(shù)值double ans = now;while(T > eps){int f[2] = {1, -1};double newx = x + f[rand() % 2] * T; // 按溫度概率改變x的值，概率隨溫度降低而降低if(newx >= 0 && newx <= 100){double next = cal(newx);ans = min(ans, next);if(now - next > eps){x = newx;now = next;}}T *= delta;}return ans; }int main() {int t;cin >> t;while(t--){cin >> y;cout << setiosflags(ios::fixed) << setprecision(4) << anneal() << endl;}return 0; }

例題：hdu2899 Strange function

總結

以上是生活随笔為你收集整理的基础算法思想之贪心法的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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