目錄

一、基本思想

二、兩個例子說明貪心算法的適用場景：

背包問題：

0-1背包問題：

三、活動安排問題（選擇、調(diào)度問題）

問題描述

算法設(shè)計

算法復(fù)雜度

算法正確性證明

四、最優(yōu)裝載問題

問題描述

算法設(shè)計

算法描述

算法復(fù)雜度

五、背包問題

貪心策略

算法描述

算法復(fù)雜度

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一、基本思想

求解組合優(yōu)化問題的貪心算法包含一系列步驟。每一步都在一組選擇中做出在當(dāng)前看來最好的選擇，希望通過做出局部優(yōu)化選擇達(dá)到全局優(yōu)化選擇，但貪心算法不一定總產(chǎn)生優(yōu)化解，所以一個貪心算法是否產(chǎn)生優(yōu)化解，需要嚴(yán)格證明。

貪心選擇性：每一步都在一組選擇中做出在當(dāng)前看來最好的選擇。

二、兩個例子說明貪心算法的適用場景：

背包問題：

給定n種物品和一個背包。物品i的重量是wi，其價值為vi,背包的容量為c。問應(yīng)如何選擇物品裝入背包，使得裝入背包中的物品的總價值最大?在選擇物品i裝入背包時，可以選擇物品i的一部分，而不一定要全部。用貪心算法，每次選單位重量價值vi/ wi最大的物品i放進包中。背包問題具有最優(yōu)子結(jié)構(gòu)性質(zhì)，它可以用動態(tài)規(guī)劃算法來解。但用貪心算法更簡單，解題效率更高。貪心算法總是做出在當(dāng)前看來是最好的選擇。也就是說貪心算法并不從整體最優(yōu)上加以考慮，所以貪心算法不是對所有問題都能得到整體最優(yōu)解。

0-1背包問題：

????????給定n種物品和- -個背包。物品i的重量是wi,其價值為vi，背包的容量為C。問應(yīng)如何選擇物品裝入背包，使得裝入背包中的物品的總價值最大?在選擇物品裝入背包時，對每種物品i只有兩種選擇，要么裝入，要么不裝入，不能將物品i裝入背包多次，也不能只裝入物品i的一部分。因此，該問題稱為0-1背包問題。

????????設(shè)有3物品，這3個物品的重量W={3,5,7}，價值為V={9,10,12}，背包容量c=10。用貪心法會將物品1和2裝包，獲得的價值為19，但最優(yōu)解是將物品1和3裝包，獲得的價值為21。

????????0-1背包問題也具有最優(yōu)子結(jié)構(gòu)性質(zhì)。但是0-1背包問題卻不能用貪心算法求解。對于0-1背包問題，貪心選擇之所以不能得到最優(yōu)解是因為在這種情況下，它無法保證最終將背包裝滿，背包部分空間的閑置使每單位重量背包空間所具有的價值降低了(該問題不具有貪。心選擇性)。事實上，在考慮0-1背包問題的物品選擇時，應(yīng)比較選擇該物品和不選擇該物品所導(dǎo)致的最終結(jié)果，然后再做出最好的選擇。

貪心算法求解的問題必須具有最優(yōu)質(zhì)子結(jié)構(gòu)和貪心選擇性。

三、活動安排問題（選擇、調(diào)度問題）

問題描述

設(shè)有n個活動的集合S三_ {1. 2. . n}，其中每個活動都要求以獨占的方式使用同一資源，如演講會場等，而在同一時間內(nèi)只允許一個活動使用這一資源。每個活動i都有一個要求使用該資
源的起始時間si和一個結(jié)束時間fi，且si<fi。如果選擇了活動i，則它在半開的時間區(qū)間[si，fi)內(nèi) 占用資源。若區(qū)間[si, fi)與區(qū)間[sj，fj)不相交，則稱活動i與活動j是相容的。也就是說，當(dāng)si≥fj或Sj 近時，活動i與活動j是相容。活動安排問題是要在所給的活動集合中選出最大的(兩兩)相容活動子集合。

算法設(shè)計

貪心思想：為了選擇最多的相容活動，每次選fi最小的活動，使剩余的可安排時間段極大化，以便接待盡可能多的相容活動。

例：

設(shè)活動集S = {1，2，.....，11}中的活動已按結(jié)束時間非降序排列。

第1步，選活動1；

第2步，在剩余相容活動子集{4，6，7，8，9，11}中選結(jié)束時間最早的活動4.

第3步，在剩余相容活動子集{8，9，11}中選結(jié)束時間最早的活動8.

第4步，在剩余相容活動子集{11}中選結(jié)束時間最早的活動11.

這時，剩余相容活動子集{}變?yōu)榭占?#xff0c;從而得S的一個最優(yōu)解A = {1，4，8，11}

void GreedySelector(int n,Type s[],Type f[],bool A[]){A[1] = true;//選擇活動1int j = 1;// j記錄最近一次添加到A中的活動for(int i = 2;i<=n;i++){if(s[i]>=f[j]){//找到相容活動 A[i] = true;j = i;}else A[i] = false} }

算法復(fù)雜度

按結(jié)束時間已排序：O（n）

按結(jié)束時間未排序：O（nlogn）

算法正確性證明

①證明問題具有優(yōu)化子結(jié)構(gòu)

②證明問題具有貪心選擇性

③活動安排問題的貪心算法是按選擇性進行局部優(yōu)化

四、最優(yōu)裝載問題

問題描述

????????有一批集裝箱要裝_上一艘載重量為c的輪船。其中，集裝箱i的重量為wi。最優(yōu)裝載問題要求確定，在裝載體積不受限制的情況下，應(yīng)如何裝載才能將盡可能多的集裝箱裝，上輪船。

????????設(shè)n是集裝箱總數(shù)。該問題可形式化地描述為:求一個n維的0-1向量(X1, X2, . , Xn) (x,∈{0,1},i = 1,2,3...,n.在滿足wixi<=c（i從1開始到n結(jié)束）時，使xi（i從1開始到n結(jié)束）最大，其中xi = 0表示不裝入集裝箱i，xi = 1表示裝入集裝箱i。

算法設(shè)計

貪心思想：用重量最輕者先裝的貪心選擇策略，由此可產(chǎn)生裝載問題的最優(yōu)解。

算法描述

假設(shè)集裝箱已按重量遞增的次序排序。

void Loading(int x[],Type w[],Type c,int n){for(int i = 1;i<=n;i++)x[i] = 0;//初始化全部為0，數(shù)組元組X[i] = 0表示 不裝入集裝箱ifor(int i = 1;i<=n&&w[i]<=c;i++){x[i] = 1;c -= w[i];} }

算法復(fù)雜度

當(dāng)集裝箱已按重量從小到大排序：O（n）

未排序：O（nlogn）

五、背包問題

問題前面已描述，這里省略.....

貪心策略

????????選擇單位重量價值vi/ wi最大的物品。每次從物品集合中.選擇單位重量價值最大的物品，如果其重量小于背包容量，就可以把它裝入，并將背包價值增加該物品的價值，同時背包容量減去該物品的重量，然后就面臨了一個最優(yōu)子問題一一它 同樣是背包問題，只不過背包容量減少了，物品集合減少了。因此可以證明背包問題,具有最優(yōu)子結(jié)構(gòu)性質(zhì)。

算法描述

//n為物品數(shù)量，c為背包容量，v存放物品價值， w存放物品重量 ，x存放物品是否裝的狀態(tài)，value為得到的最終總價值 void Knapsack(int n,float c,float v[],float w[],float x[],float &value){ // 假設(shè)已將各種物品依其單位重量的價值 vi/wi從大到小排序float value = 0;// 最大價值for(int i = 1;i<=n;i++)x[i] = 0;//初始化 for(int i = 1;i<=n&&w[i]<=c;i++){x[i] = 1;//裝入背包 c -= w[i];//減少背包能裝入 的余下重量 value += v[i];//累計總價值 }if(i<=n){//當(dāng)w[i]>c時，即不能完整放入下面的物品時 x[i] = c/w[i];//將物品i 的一部分裝入value += x[i]*v[i] } }

算法復(fù)雜度

已排序：O（n）

未排序：O（nlogn）

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總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的【算法设计与分析】-- 贪心法的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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