拉梅系数以及雅克比行列式
文章目錄
- ①直角坐標：
- ②圓柱坐標：
- ③球坐標：（$\phi是2\pi那個角$）
- 然后就有一個統一的矢量場公式：
- 雅克比行列式
u1,u2,u3u_1,u_2,u_3u1?,u2?,u3?分別是不同坐標系的三個坐標， h1,h2,h3h_1,h_2,h_3h1?,h2?,h3?就是拉梅系數
①直角坐標：
u1=xu2=yu3=zu_1=x\ u_2=y\ u_3=zu1?=x?u2?=y?u3?=z
h1=h2=h3=1h_1=h_2=h_3=1h1?=h2?=h3?=1
②圓柱坐標：
u1=ρ,u2=?,u3=zu_1=\rho,u_2=\phi,u_3=zu1?=ρ,u2?=?,u3?=z
h1=1,h2=ρ,h3=1h_1=1,h_2=\rho,h_3=1h1?=1,h2?=ρ,h3?=1
③球坐標：（?是2π那個角\phi是2\pi那個角?是2π那個角）
u1=r,u2=θ,u3=?u_1=r,u_2=\theta,u_3=\phiu1?=r,u2?=θ,u3?=?
h1=1,h2=r,h3=rsinθh_1=1,h_2=r,h_3=r sin\thetah1?=1,h2?=r,h3?=rsinθ
然后就有一個統一的矢量場公式：
雅克比行列式
以前只在線性代數中聽過這個，但是高數中也有一個
比如dxdy=rdrdθdxdy=rdrd\thetadxdy=rdrdθ怎么來的哇？
以前只能用畫圖來解釋，沒想到竟然有變換的公式，一直都想有，以為沒有，結果真的有。。。
{x=x(u,v)y=y(u,v)\left\{\begin{matrix} x=x(u,v)\\ \\ y=y(u,v) \end{matrix}\right.????x=x(u,v)y=y(u,v)?
J=∣?x?u?x?v?y?u?y?v∣J=\begin{vmatrix} \frac{\partial x}{\partial u}&\frac{\partial x}{\partial v}\\ \\\frac{\partial y}{\partial u} &\frac{\partial y}{\partial v} \end{vmatrix}J=∣∣∣∣∣∣??u?x??u?y???v?x??v?y??∣∣∣∣∣∣?
dxdy=∣J∣?dudvdxdy=|J|\cdot dudvdxdy=∣J∣?dudv
有了這個公式就知道極坐標這個怎么來的了
{x=rcosθy=rsinθ\left\{\begin{matrix} x=rcos\theta\\ \\ y=rsin\theta \end{matrix}\right.????x=rcosθy=rsinθ?
J=∣?x?r?x?θ?y?r?y?θ∣=∣cosθ?rsinθsinθrcosθ∣=r(cos2θ+sin2θ)=rJ=\begin{vmatrix} \frac{\partial x}{\partial r}&\frac{\partial x}{\partial \theta}\\ \\\frac{\partial y}{\partial r} &\frac{\partial y}{\partial \theta} \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} cos\theta&-rsin\theta \\ & \\ sin\theta&rcos\theta \end{vmatrix}=r(cos^2\theta+sin^2\theta)=rJ=∣∣∣∣∣∣??r?x??r?y???θ?x??θ?y??∣∣∣∣∣∣?=∣∣∣∣∣∣?cosθsinθ??rsinθrcosθ?∣∣∣∣∣∣?=r(cos2θ+sin2θ)=r
∴dxdy=r?drdθ\therefore dxdy=r\cdot drd\theta∴dxdy=r?drdθ
總結
以上是生活随笔為你收集整理的拉梅系数以及雅克比行列式的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。
- 上一篇： STM32F407通过SPI连接W510
- 下一篇： 利用AT89C52定时器输出可调PWM